บทที่ 1 จำนวนเชิงซ้อน

การสร้างจำนวนเชิงซ้อน

จุดประสงค์การเรียนรู้ 1. ผู้เรียนสามารถระบุส่วนจริงและส่วนจินตภาพของจำนวนเชิงซ้อนที่กำหนดให้ได้ 2. ผู้เรียนสามารถหาผลบวกและผลคูณของจำนวนเชิงซ้อนได้ 3. ผู้เรียนสามารถเขียนจำนวนเชิงซ้อนในรูปของหน่วยจินตภาพได้

จำนวนเชิงซ้อน บทนิยาม จำนวนเชิงซ้อน คือ คู่อันดับ (a , b) เรียก a ว่า “ ส่วนจริง ” ( real part ) เรียก b ว่า “ ส่วนจินตภาพ ” ( imaginary part )

a = Re(z) หรือ Re(a , b) และ หมายเหตุ 2. ถ้าให้ z = (a , b) เป็นจำนวนเชิงซ้อนแล้ว ส่วนจริงและส่วนจินตภาพของ z จะเขียนแทนด้วยสัญลักษณ์ ดังนี้ a = Re(z) หรือ Re(a , b) และ b = Im(z) หรือ Im(a , b)

ตัวอย่าง 2 3

ตัวอย่าง -1

ตัวอย่าง 3 -5

การเท่ากันของจำนวนเชิงซ้อน บทนิยาม จำนวนเชิงซ้อน (a , b) และ (c , d) จะเท่ากัน ก็ต่อเมื่อ ส่วนจริงเท่ากันและส่วนจินตภาพเท่ากัน นั่นคือ (a , b) = (c , d) ก็ต่อเมื่อ a = c และ b = d

ตัวอย่าง จงหาค่า x และ y ที่ทำให้ ( 3x , 4y) = (12 , 8) จากบทนิยามจึงได้ว่า 3x = 12 และ 4y = 8 ดังนั้น x = 4 และ y = 2 ตรวจสอบ (3x , 4y) = (3(4) , 4(2)) = (12 , 8)

ผลบวกของจำนวนเชิงซ้อน บทนิยาม ผลบวกของจำนวนเชิงซ้อน (a , b) และ (c , d) เขียนแทนด้วย (a , b) + (c , d) นิยามว่า (a , b) + (c , d) = (a + c , b + d)

ตัวอย่าง จงหาผลบวกของจำนวนเชิงซ้อนต่อไปนี้ 1. (-1 , 2) + (3 , -4) 1. (-1 , 2) + (3 , -4) วิธีทำ (-1 , 2) + (3 , -4) = (-1 + 3 , 2 + (-4)) = (-1 + 3 , 2 - 4) = (2 , -2) 2. (-3 , 1) + (-7 , 8) วิธีทำ (-3 , 1) + (-7 , 8) = ((-3) + (-7) , 1 + 8) = (-10 , 9)

ตัวอย่าง 3. (3 , -) + (- , ) วิธีทำ (3 , -) + (- , ) = (3 + (-) , - +  ) = (3 -  , 0) = (2 , 0)

แบบฝึกหัดเพิ่มเติม 1 จงหาผลบวกของจำนวนเชิงซ้อนต่อไปนี้ แบบฝึกหัดเพิ่มเติม 1 จงหาผลบวกของจำนวนเชิงซ้อนต่อไปนี้ 1. (4 , 3) + (1 , 2) 2. (-5 , 1) + (6 , 3) 4. (10 , -2) + (-5 , 0) + (2 , -3)

แบบฝึกหัดเพิ่มเติม 1 1. (4 , 3) + (1 , 2) 1. (4 , 3) + (1 , 2) วิธีทำ (4 , 3) + (1 , 2) = (4 + 1 , 3 + 2) = (5 , 5) 2. (-5 , 1) + (6 , 3) วิธีทำ (-5 , 1) + (6 , 3) = (-5 + 6 , 1 + 3) = (1 , 4)

แบบฝึกหัดเพิ่มเติม 1 4. (10 , -2) + (-5 , 0) + (2 , -3) 4. (10 , -2) + (-5 , 0) + (2 , -3) วิธีทำ (10 , -2) + (-5 , 0) + (2 , -3) = (10 + (-5) + 2 , -2 + 0 + (-3)) = (10 - 5 + 2 , -2 - 3) = (5 + 2 , -2 - 3)

แบบฝึกหัดเพิ่มเติม 1

ผลคูณของจำนวนเชิงซ้อน บทนิยาม ผลคูณของจำนวนเชิงซ้อน (a , b) และ (c , d) เขียนแทนด้วย (a , b)  (c , d) หรือ (a , b)(c , d) นิยามว่า (a , b)  (c , d) = (ac - bd , ad + bc)

ตัวอย่าง จงหาผลคูณของจำนวนเชิงซ้อนต่อไปนี้ 1. (-1 , 2)(3 , -4) 1. (-1 , 2)(3 , -4) วิธีทำ (-1 , 2)(3 , -4) = ((-1)3 – 2(-4) , (-1)(-4) + (2)(3)) = (- 3 + 8 , 4 + 6) = (5 , 10)

ตัวอย่าง 2. (2 , -4)(4 , 2) วิธีทำ (2 , -4)(4 , 2) = ((2)(4) – (-4)2 , (2)(2) + (-4)4) = (8 + 8 , 4 - 16) = (16 , -12) 3. (3 , 1)(-7 , 8) วิธีทำ (3 , 1)(-7 , 8) = (3(-7) – (1)( 8) , (3)( 8) + 1(-7)) = (-21- 8 , 24 - 7) = (-29 , 17)

แบบฝึกหัดเพิ่มเติม 1 จงหาผลคูณของจำนวนเชิงซ้อนต่อไปนี้ 1. (2 , -5)(3 , 4) 3. (3 , 2)(1 , 1)(0 , 2)

แบบฝึกหัดเพิ่มเติม 1 1. (2 , - 5)(3 , 4) 1. (2 , - 5)(3 , 4) วิธีทำ (2 , - 5)(3 , 4) = ((2)(3) – (- 5)4 , (2)(4) + (- 5)3) = (6 + 20 , 8 - 15) = (26 , - 7)

แบบฝึกหัดเพิ่มเติม 1 3. (3 , 2)(1 , 1)(0 , 2) 3. (3 , 2)(1 , 1)(0 , 2) วิธีทำ (3 , 2)(1 , 1)(0 , -2) = ((3)(1) – (2)(1) , (3)(1) + (2)(1) )(0 , 2) = (3 – 2 , 3 + 2)(0 , 2) = (1 , 5)(0 , 2) = ((1)(0) – 5(2) , (1)(2) + (5)(0)) = (0 - 10 , 2 + 0) = (- 10 , 2)

ข้อสังเกต พิจารณาจำนวนเชิงซ้อนที่อยู่ในรูป (x , 0) จะเห็นว่า (a , 0) + (b , 0) = (a + b , 0) (a , 0)(b , 0) = (ab – 0 , a  0 + 0  b) = (ab , 0) ซึ่งจะเหมือนกับการบวกและการคูณจำนวนจริง ฉะนั้นเราสามารถมองจำนวนเชิงซ้อนในรูป (a , 0) ว่าเป็นจำนวนจริง a ตามข้อสังเกตนี้ จะได้ว่า เซตของจำนวนจริงเป็นสับเซตของจำนวน – เชิงซ้อน เมื่อเราแทนจำนวนเชิงซ้อน (a , b) ด้วยจุด (a , b) ในระนาบ XY จะได้ว่าจำนวนจริง a แทนได้ด้วยจุด (a , 0) บนแกน X นั่นเอง

ความสัมพันธ์ระหว่างจำนวนจริง และจำนวนเชิงซ้อน บทนิยาม กำหนดจำนวนเชิงซ้อน z = (a , b) 1. ถ้า b = 0 แล้ว เรียก z ว่า “ จำนวนจริง ” 2. ถ้า b  0 แล้ว เรียก z ว่า “ จำนวนจินตภาพ ” 3. ถ้า a = 0 และ b  0 เรียก z ว่า “ จำนวนจินตภาพแท้ ”

ตัวอย่าง จงพิจารณาว่าจำนวนเชิงซ้อนต่อไปนี้มีชื่อเรียกว่าอะไร

หน่วยจินตภาพ

ข้อสังเกต

ตัวอย่าง จงหาค่าของ

การเขียนจำนวนเชิงซ้อน ในรูปของหน่วยจินตภาพ สำหรับจำนวนเชิงซ้อน (a , b) ใดๆ (a , b) = (a , 0) + (0 , b) = (a , 0) + (b , 0)(0 , 1) = a + bi ฉะนั้น จำนวนเชิงซ้อน (a , b) สามารถเขียนแทนได้ด้วยสัญลักษณ์ a + bi

ตัวอย่าง จงเขียนจำนวนเชิงซ้อนต่อไปนี้ให้อยู่ในรูปของหน่วยจินตภาพ (3 , 7) = 3 + 7i (- 2 , - 8) = - 2 – 8i

การคำนวณเกี่ยวกับจำนวนเชิงซ้อนในรูปของ a + bi การบวก (a + bi) + (c + di) = (a + c) + (bi + di) = (a + c) + (b + d)i การคูณ (a + bi)(c + di) = a(c + di) + bi(c + di) = (ac – bd) + (ad + bc)i การเท่ากัน a + bi = c + di ก็ต่อเมื่อ a = c และ b = d

ตัวอย่าง (3 + 2i) + (1 – i) = (3 + 1) + (2 – 1)i = 4 + i (3 + 2i)(1 – i) = 3(1 – i) + 2i(1 – i) = (3 + 2) + (- 3 + 2)i = 5 - i

ตัวอย่าง จงหาจำนวนจริง a , b ที่ทำให้ (a + 2i) + (- 1 + 2bi) = 3 + 8i วิธีทำ เนื่องจาก (a + 2i) + (- 1 + 2bi) = (a - 1) + (2 + 2b)i ฉะนั้น a – 1 = 3 และ 2 + 2b = 8 ดังนั้น a = 4 และ b = 3

สมบัติที่เกี่ยวข้องกับการบวกและการคูณของจำนวนเชิงซ้อน

ตัวอย่าง สมบัติการสลับที่การบวก เช่น สมบัติการสลับที่การบวก เช่น (2 + 3i) + (3 + 4i) = (3 + 4i) + (2 + 3i) = 5 + 7i สมบัติการสลับที่การคูณ เช่น (3 + 2i)(1 - i) = (1 - i)(3 + 2i) = 5 – i

ตัวอย่าง สมบัติการเปลี่ยนหมู่การบวก เช่น สมบัติการเปลี่ยนหมู่การบวก เช่น (4 – 2i) + [(5 + i) + (7 + 2i)] = [(4 – 2i) + (5 + i)] + (7 + 2i) = 16 + i สมบัติการเปลี่ยนหมู่การคูณ เช่น (3 + 2i)[(1 + i)(- 2i)] = [(3 + 2i)(1 + i)](- 2i) = 10 – 2i สมบัติการแจกแจง เช่น (2i)[(4 - i) + (- 3 + i)] = [(2i)(4 - i)] + [(2i)(-3 + i)] = 2i

แบบฝึกหัด 1.1 3. จงเขียนผลลัพธ์ให้อยู่ในรูป a + bi เมื่อ a และ b เป็นจำนวนจริง (1) (2 – 3i) + (4 – 5i) = 6 – 8i (5) 4(2 – 3i) - (2 – 8i) = 6 – 4i (7) 5(i + 4) + 3(2i – 7) = - 1 + 11i (9) i(2 - i) = 1 + 2i