DSP 4 The z-transform การแปลงแซด ผศ.ดร. พีระพล ยุวภูษิตานนท์ ภาควิชา วิศวกรรมอิเล็กทรอนิกส์ CESdSP EEET0485 Digital Signal Processing http://embedsigproc.wordpress.com Asst. Prof. Dr. P.Yuvapoositanon

เป้าหมาย นศ รู้จักความหมายของการแปลง แซด นศ เข้าใจประโยชน์และการนำการแปลงแซด ไปใช้งาน CESdSP EEET0485 Digital Signal Processing http://embedsigproc.wordpress.com Asst. Prof. Dr. P.Yuvapoositanon

ทำไมต้องแปลงแซด ? เราใช้การแปลง DTFT เพื่อช่วยในการวิเคราะห์สัญญาณไม่ต่อเนื่องทางเวลาโดยใช้ และยิ่งมีประโยชน์ ในการวิเคราะห์ในเชิงความถี่ แต่ DTFT เป็นการแปลงที่ใช้กับสัญญาณ steady–state (เช่น cos และ sin ) แต่ใช้กับสัญญาณที่สำคัญบางอย่างไม่ได้ เช่น u(n) หรือ nu(n) การแปลงแซด (Z-transform) ให้คำตอบได้ CESdSP EEET0485 Digital Signal Processing http://embedsigproc.wordpress.com Asst. Prof. Dr. P.Yuvapoositanon

การแปลงแซด (z-Transform) สำหรับ สัญญาณ x(n) จะมีการแปลงแซดเป็น z หมายถึง “ตัวแปรเชิงซ้อน” ซึ่งเราจะให้เป็น ซึ่งมีความหมายถึง “ขนาด” และ “เฟส” Re Im CESdSP EEET0485 Digital Signal Processing http://embedsigproc.wordpress.com Asst. Prof. Dr. P.Yuvapoositanon

การแปลงแซด (z-transform) (ต่อ) หาก “ขนาด” มีค่า เท่า หนึ่ง ( ) จะได้ เราจะได้ ว่า การแปลง z กลายเป็นการแปลงฟูเรียร์ การแปลงฟูริเยร์เป็นกรณีพิเศษ ของการแปลงแซด CESdSP EEET0485 Digital Signal Processing http://embedsigproc.wordpress.com Asst. Prof. Dr. P.Yuvapoositanon

ตัวอย่าง 1 0.8 h(n) 0.7 0.6 n -1 1 2 วิธีทำ CESdSP วิธีทำ CESdSP EEET0485 Digital Signal Processing http://embedsigproc.wordpress.com Asst. Prof. Dr. P.Yuvapoositanon

คูณสมบัติการแปลงแซดที่สำคัญ การเลื่อน การประสาน การคูณ x(n) ด้วย n CESdSP EEET0485 Digital Signal Processing http://embedsigproc.wordpress.com Asst. Prof. Dr. P.Yuvapoositanon

บริเวณการลู่เข้า (Region Of Convergence ) พิจารณา ได้การแปลง z หรือ CESdSP EEET0485 Digital Signal Processing http://embedsigproc.wordpress.com Asst. Prof. Dr. P.Yuvapoositanon

บริเวณการลู่เข้า (ต่อ) ลองดู หรือ ต่าง x(n) คำตอบเหมือนกัน อะไรคือความแตกต่าง? CESdSP EEET0485 Digital Signal Processing http://embedsigproc.wordpress.com Asst. Prof. Dr. P.Yuvapoositanon

บริเวณการลู่เข้า ROC คือ บริเวณสีเทา เป็นบริเวณที่ทำให้สมการเป็นจริง Im Im ROC ROC Re Re โพล ROC อยู่นอกวงกลมรัศมี ROC อยู่ในวงกลมรัศมี CESdSP EEET0485 Digital Signal Processing http://embedsigproc.wordpress.com Asst. Prof. Dr. P.Yuvapoositanon

จงหาผลการแปลง Z และ บริเวณการลู่เข้าของ ตัวอย่าง จงหาผลการแปลง Z และ บริเวณการลู่เข้าของ วิธีทำ เทอม แรก ROC คือ บริเวณ เทอม สอง ROC คือ บริเวณ CESdSP EEET0485 Digital Signal Processing http://embedsigproc.wordpress.com Asst. Prof. Dr. P.Yuvapoositanon

บริเวณการลู่เข้า ROCเป็นบริเวณที่เกิดจากการ interceptionของROC ทั้งสอง Im Im ROC Re Re ROC ไม่มีค่า, ดังนั้นไม่มี X(z) ROC อยู่ระหว่างวงกลม CESdSP EEET0485 Digital Signal Processing http://embedsigproc.wordpress.com Asst. Prof. Dr. P.Yuvapoositanon

ความเป็นคอซัล (Causality) สัญญาณที่เป็น คอซัลตรงกันข้าม (anti-causal) มีค่าในช่วง คอซัล คอซัลตรงกันข้าม หรือดูจาก ROC ก็ได้ CESdSP EEET0485 Digital Signal Processing http://embedsigproc.wordpress.com Asst. Prof. Dr. P.Yuvapoositanon

ROC อยู่นอกวงกลม=คอซัล ROC อยู่ในวงกลม=คอซัลตรงกันข้าม Im Im ROC ROC Re Re โพล ROC อยู่นอกวงกลมรัศมี ROC อยู่ในวงกลมรัศมี CESdSP EEET0485 Digital Signal Processing http://embedsigproc.wordpress.com Asst. Prof. Dr. P.Yuvapoositanon

(Inversion of the z-Transform) เพื่อแปลงกลับจาก โดเมนแซดไปเป็นโดเมนเวลา พิจารณา จัดอยู่ในรูป CESdSP EEET0485 Digital Signal Processing http://embedsigproc.wordpress.com Asst. Prof. Dr. P.Yuvapoositanon

โพลสามกรณี โพลเป็นจำนวนจริงไม่ซ้ำค่า โพลเป็นจำนวนเชิงซ้อนไม่ซ้ำค่า โพลเป็นจำนวนซ้ำค่า ใช้วิธี Partial Fraction Expansion (PFE) CESdSP EEET0485 Digital Signal Processing http://embedsigproc.wordpress.com Asst. Prof. Dr. P.Yuvapoositanon

1.โพลเป็นจำนวนจริงไม่ซ้ำค่า ตัวอย่าง วิธีทำ CESdSP EEET0485 Digital Signal Processing http://embedsigproc.wordpress.com Asst. Prof. Dr. P.Yuvapoositanon

หา C1 และ C2 หา C1 หา C2 CESdSP EEET0485 Digital Signal Processing http://embedsigproc.wordpress.com Asst. Prof. Dr. P.Yuvapoositanon

จากหนังสือ อ พรชัยเปิดตาราง 4.1 หน้า 46 ข้อ 5 และตารางหน้าถัดไป ได้ผลการแปลงผกผันแซดเป็น CESdSP EEET0485 Digital Signal Processing http://embedsigproc.wordpress.com Asst. Prof. Dr. P.Yuvapoositanon

Table of Z-transform pairs CESdSP EEET0485 Digital Signal Processing http://embedsigproc.wordpress.com Asst. Prof. Dr. P.Yuvapoositanon

2.โพลเป็นจำนวนเชิงซ้อนไม่ซ้ำค่า Y(z) แสดงโดย ตัวอย่าง วิธีทำ CESdSP EEET0485 Digital Signal Processing http://embedsigproc.wordpress.com Asst. Prof. Dr. P.Yuvapoositanon

หา C1 =0 CESdSP EEET0485 Digital Signal Processing http://embedsigproc.wordpress.com Asst. Prof. Dr. P.Yuvapoositanon

หา C2 CESdSP EEET0485 Digital Signal Processing http://embedsigproc.wordpress.com Asst. Prof. Dr. P.Yuvapoositanon

แทนค่า C1 และ C2 จาก ตารางที่ 4.1 ข้อ 14 หน้า 46 CESdSP EEET0485 Digital Signal Processing http://embedsigproc.wordpress.com Asst. Prof. Dr. P.Yuvapoositanon

CESdSP EEET0485 Digital Signal Processing http://embedsigproc.wordpress.com Asst. Prof. Dr. P.Yuvapoositanon

3.โพลเป็นจำนวนซ้ำค่า ตัวอย่าง วิธีทำ หา C1 CESdSP EEET0485 Digital Signal Processing http://embedsigproc.wordpress.com Asst. Prof. Dr. P.Yuvapoositanon

แทน z=1 ตรงๆเลย ไม่ได้ (เพราะอะไร?) และ สังเกต การติดค่า C1 ไว้ CESdSP EEET0485 Digital Signal Processing http://embedsigproc.wordpress.com Asst. Prof. Dr. P.Yuvapoositanon

จัดสมการใหม่เพื่อหา C3 ใช้ การหา สลับเทอม 2 กับ3 แทนค่า z=1ในขั้นตอนนี้ เทอม C1 จะหายไปเองเมื่อ z=1 CESdSP EEET0485 Digital Signal Processing http://embedsigproc.wordpress.com Asst. Prof. Dr. P.Yuvapoositanon

แทนค่าลงไป CESdSP EEET0485 Digital Signal Processing http://embedsigproc.wordpress.com Asst. Prof. Dr. P.Yuvapoositanon

ประโยชน์ของ z-Transform ช่วยในการหาผลตอบสนองในโดเมนเวลาของระบบ ตัวอย่าง วิธีทำ CESdSP EEET0485 Digital Signal Processing http://embedsigproc.wordpress.com Asst. Prof. Dr. P.Yuvapoositanon

2. ช่วยหาผลการประสาน ตัวอย่าง วิธีทำ เราทราบว่า CESdSP EEET0485 Digital Signal Processing http://embedsigproc.wordpress.com Asst. Prof. Dr. P.Yuvapoositanon

หา inverse z-transform แปลงกลับ CESdSP EEET0485 Digital Signal Processing http://embedsigproc.wordpress.com Asst. Prof. Dr. P.Yuvapoositanon

3.ช่วยหาเอาท์พุทของ difference equation ตัวอย่าง การหมุนของดาวเทียมแสดงได้ด้วย = ตำแหน่งมุม(angular position) = ทอร์ก (Torque) จากตัวขับ ให้หา y(n) ที่ x(n) เป็น วิธีทำ แปลง z CESdSP EEET0485 Digital Signal Processing http://embedsigproc.wordpress.com Asst. Prof. Dr. P.Yuvapoositanon

ตำแหน่งมุม y(n) หาได้จากการแปลง z ผกผัน ได้ Transfer function ขยายออกเป็น เมื่อ คูณกลับด้วย z ตำแหน่งมุม y(n) หาได้จากการแปลง z ผกผัน CESdSP EEET0485 Digital Signal Processing http://embedsigproc.wordpress.com Asst. Prof. Dr. P.Yuvapoositanon

Transfer function y(n) เอาท์พุทของระบบ มีการแปลง z ข้อกำหนด 1 เราเรียก H(z) ว่าเป็น ฟังก์ชันถ่ายโอน (Transfer function) โดยที่ y(n) เอาท์พุทของระบบ มีการแปลง z หรือROC ของ h(n) จะต้อง overlap กับ ROC ของ x(n) จึงจะมี Y(z) จากระบบ LTI ที่มีสมการความแตกต่างเป็น CESdSP EEET0485 Digital Signal Processing http://embedsigproc.wordpress.com Asst. Prof. Dr. P.Yuvapoositanon

หรือเขียนเป็น H(z) เราได้ zk= ซีโร่ pk =โพล CESdSP EEET0485 Digital Signal Processing http://embedsigproc.wordpress.com Asst. Prof. Dr. P.Yuvapoositanon

หาผลตอบสนองความถี่จากการแปลง z ถ้า ROC ครอบคลุม unit circle จะหาผลตอบสนองความถี่ของระบบได้ Transfer function Magnitude response Phase response CESdSP EEET0485 Digital Signal Processing http://embedsigproc.wordpress.com Asst. Prof. Dr. P.Yuvapoositanon

แสดงเวคเตอร์จากโพลและซีโร่ไปยัง unit circle Re(z) Im(z) Unit circle pk zl เวคเตอร์จากโพล ไป unit circle: เวคเตอร์จากซีโร่ ไป unit circle: CESdSP EEET0485 Digital Signal Processing http://embedsigproc.wordpress.com Asst. Prof. Dr. P.Yuvapoositanon

สำหรับสัญญาณ y(n) โพลซีโร่ พล๊อต ผลตอบสนองความถี่ ตัวอย่าง วิธีทำ CESdSP EEET0485 Digital Signal Processing http://embedsigproc.wordpress.com Asst. Prof. Dr. P.Yuvapoositanon

สรุป หาผลลัพท์การแปลงแซดได้ในบางกรณีที่ใช้การแปลง DTFT ไม่ได้ สมการการแปลงแซดให้ความหมายมากกว่าหนึ่งสัญญาณโดเมนเวลา โดยแตกต่างกันตาม ROC การแปลงแซดช่วยหาผลลัพธ์สมการผลต่างได้ การแปลงแซดช่วยหาผลตอบสนองความถี่ได้ CESdSP EEET0485 Digital Signal Processing http://embedsigproc.wordpress.com Asst. Prof. Dr. P.Yuvapoositanon