สัปดาห์ที่ 7 การแปลงลาปลาซ The Laplace Transform

จุดประสงค์การเรียนรู้ แปลงลาปลาซของฟังก์ชันที่แปรตามเวลาได้ แปลงลาปลาซผกผันของฟังก์ชันในโดเมนความถี่เชิงซ้อนได้ กำหนดนิยามและหาค่าของศูนย์ได้ กำหนดนิยามและหาค่าของโพลได้

เนื้อหา การแปลงลาปลาซ คุณสมบัติการแปลงลาปลาซ การแปลงลาปลาซผกผัน

การแปลงลาปลาซ เป็นการแปลงฟังก์ชันใดๆในโดเมนเวลาให้เป็นฟังก์ชันในโดเมนความถี่เชิงซ้อนหรือโดเมน สมการ เมื่อ คือตัวแปรเชิงซ้อนที่มีค่าเป็น คือส่วนจริงของตัวแปรเชิงซ้อน คือส่วนจินตภาพของตัวแปรเชิงซ้อน คือสัญลักษณ์ในการเเปลงลาปลาซ ฟังก์ชันใดๆที่แปรตามเวลา ค่าการแปลงลาปลาซ ฟังก์ชันที่แปลงเป็นลาปลาซในโดเมนความถี่เชิงซ้อน

ตัวอย่างการแปลงลาปลาซของฟังก์ชันต่างๆ 1.ฟังก์ชันขั้น (Step function) สมการ ถ้ากำหนดให้ เรียกฟังก์ชันขั้นหนึ่งหน่วย (unit step function) หรือ แปลงลาปลาซของฟังก์ชันขั้น

2.ฟังก์ชันเอ๊กซ์โปเนนเชียล (Exponential Function) สมการ การแปลงลาปลาซของฟังก์ชันเอ๊กซ์โปเนนเชียล

3.ฟังก์ชันลาดเอียง(Ramp function) สมการ การอินทิเกรตทีละส่วน(by part) จากสูตร เมื่อ การแปลงลาปลาซฟังก์ชันลาดเอียง

5.ฟังก์ชันรูปคลื่นไซน์(Sinusoidal function) สมการ แปลงฟังก์ชันเป็นเอ๊กซ์โปเนนเชียล สูตรของออยเลอร์ (Euler’s theorem) เมื่อ

ทำการแปลงลาปลาซ การแปลงลาปลาซของสัญญาณคลื่นรูปไซน์ การแปลงลาปลาซของสัญญาณคลื่นรูปไซน์

5 สัญญาณพัลส์ (Pulse function) สมการ ทฤษฎีการเลื่อนทางเวลา การแปลงลาปลาซของสัญญาณพัลส์ที่มีขนาดเป็น ที่ช่วงเวลา

6 ฟังก์ชันอิมพัลส์ (Impulse function) ฟังก์ชันอิมพัลส์คือเป็นพัลส์ที่มีขนาดไม่จำกัดในช่วงเวลาที่แคบมากๆโดยมี พื้นที่ใต้กราฟจำกัดเป็น เรียกเลขหนึ่งนี้ว่าน้ำหนัก (weight) ของสัญญาณอิมพัลส์ สมการ พื้นที่ใต้กราฟจะมีค่าเป็นหนึ่ง หรือ

ทำการแปลงลาปลาซของฟังก์ชันอิมพัลส์ หรือ กรณีทั่วไปของฟังก์ชันอิมพัลส์ หรือ การแปลงลาปลาซของฟังก์ชันที่แปรตามเวลาเพื่อให้ได้ฟังก์ชันในโดเมนความถี่เชิงซ้อน 1.ใช้สูตรในการแปลงลาปลาซ 2.ใช้การเปิดตารางลาปลาซ ตามตารางที่ 5.1

คุณสมบัติการแปลงลาปลาซ การคูณหรือหารด้วยค่าคงที่ การหารด้วยค่าคงที่ ตัวอย่างที่ 1 จงแปลงลาปลาซ ตัวอย่างที่ 2 จงแปลงลาปลาซ

การบวกและการลบ และ ตัวอย่างที่ 3 ฟังก์ชัน การอนุพันธ์ฟังก์ชันที่แปรตามเวลา การอนุพันธ์อันดับหนึ่ง การอนุพันธ์อันดับสอง

ฟังก์ชันที่แปรตามเวลาไม่พิจารณาเงื่อนไขเริ่มต้น การอนุพันธ์อันดับหนึ่ง การอนุพันธ์อันดับสอง การอนุพันธ์อันดับที่

ตัวอย่างที่ 4 ใช้คุณสมบัติการอนุพันธ์หาความสัมพันธ์ของ เมื่อ วิธีทำ

การอินทิเกรทฟังก์ชันที่แปรตามเวลา ฟังก์ชันที่กำหนดให้เงื่อนไขเริ่มต้นเป็นศูนย์ ทฤษฎีค่าเริ่มต้น ทฤษฎีค่าสุดท้าย การเลื่อนทางเวลา

ตัวอย่างที่ 5 จงแปลงลาปลาซโดยใช้คุณสมบัติการเลื่อนทางเวลาา สมการ การคูณด้วยเวลาหรืออนุพันธ์ทางความถี่ ตัวอย่างที่ 6 กำหนดให้

การแปลงลาปลาซผกผัน การเลื่อนทางความถี่ ตัวอย่างที่ 7 กำหนดให้ฟังก์ชัน คูณด้วย การแปลงลาปลาซผกผัน เป็นการแปลงฟังก์ชันในโดเมนความถี่เชิงซ้อนให้เป็นฟังก์ชันใดๆในโดเมนเวลา ความสัมพันธ์

การแปลงลาปลาซผกผ้น เปิดตารางลาปลาซตารางที่ 5.1 ใช้วิธีแยกเศษส่วนย่อย กรณีเลขชี้กำลังของเศษน้อยกว่าของส่วน เมื่อ คือเศษของสมการโพลิโนเมียล รากสมการ เรียกว่า ศูนย์ (Zero) คือส่วนของสมการโพลิโนเมียล รากของสมการ เรียกว่า โพล (Pole) กรณีที่เลขชี้กำลังของเศษมีค่ามากกว่าหรือเท่ากับเลขชี้กำลังของส่วน ต้องใช้วิธีหารก่อนเพื่อให้เลขชี้กำลังของเศษน้อยกว่าเลขชี้กำลังของส่วน

ตัวอย่างที่ 8 จงหาค่าของศูนย์และค่าของโพล วิธีทำ รากของเศษของสมการโพลิโนเมียลเรียกว่า ศูนย์ รากของส่วนของสมการโพลิโนเมียลเรียกว่า โพล

ตัวอย่าง จงแปลงลาปลาซผกผัน กรณีที่เลขชี้กำลังของส่วนมากกว่าของเศษ ทำการหาร เปิดตารางที่ 5.1 กรณีเลขชี้กำลังของเศษน้อยกว่าเลขชี้กำลังของส่วน กรณีที่โพลเป็นจำนวนจริงที่ไม่ซ้ำกัน กรณีที่โพลเป็นจำนวนเชิงซ้อน กรณีที่โพลเป็นจำนวนจริงที่ซ้ำกัน

กรณีที่โพลเป็นจำนวนจริงที่ไม่ซ้ำกัน แยกเศษส่วนย่อย หาค่าของ ต้องการหาค่า นำไปเทียบกับตารางลาปลาซ

จงหา ตัวอย่างที่ 9 กำหนดให้ วิธีทำ ทำการแยกเศษส่วนย่อย หาค่าของ หาค่าของ เปิดตารางที่ 5.1

ใช้การเทียบสัมประสิทธิ์ของฟังก์ชัน ค่าของ และ ที่ได้มีค่าเท่ากันทั้งสองวิธี

กรณีที่โพลเป็นจำนวนเชิงซ้อน สมมติค่าของ แปลงลาปลาซผกผัน สูตรของออยเลอร์

กรณีที่ฟังก์ชันมีโพลเป็นจำนวนเชิงซ้อนเขียนให้อยู่ในรูปกำลังสองสมบูรณ์ แล้วนำไปเทียบกับตารางลาปลาซได้หรือใช้เศษส่วนย่อย ตัวอย่างที่ 10 กำหนดให้ จงหา วิธีทำ โพลเป็นจำนวนเชิงซ้อน แยกเศษส่วนย่อย

ใช้วิธีกำลังสองสมบูรณ์ เปิดตารางที่ 5.1

ตัวอย่างที่ 11 จากสมการเชิงอนุพันธ์อันดับที่สอง ที่แสดงดังสมการข้างล่างนี้ จงหา เงื่อนไขเริ่มต้น วิธีทำ แปลงลาปลาซ แยกเศษส่วนย่อย

เทียบสัมประสิทธิ์ เทียบสัมประสิทธิ์ของ เทียบสัมประสิทธิ์ของ เปิดตารางที่ 5.1

กรณีที่โพลเป็นจำนวนจริงที่ซ้ำกัน ฟังก์ชัน กระจายเทอมโดยใช้เศษส่วนย่อย หาค่าตัวแปรต่างๆ

ตัวอย่างที่ 12 จงแปลงลาปลาซผกผันของ วิธีทำ เขียนสมการใหม่ แยกเศษส่วนย่อย หาค่าของ

กรณีที่เลขชี้กำลังของเศษมีค่ามากกว่าหรือเท่ากับเลขชี้กำลังของส่วน ขั้นตอนการหาคำตอบ หารฟังก์ชันนั้นเพื่อให้เลขชี้กำลังของเศษมีค่าน้อยกว่าเลขชี้กำลังของส่วน ได้ฟังก์ชันที่ประกอบด้วยค่าจำนวนเต็มที่หาคำตอบได้โดยเทียบกับตารางลาปลาซ ส่วนฟังก์ชันที่มีเลขชี้กำลังของเศษน้อยกว่าเลขชี้กำลังของส่วน นำมาแยกเศษส่วนย่อย ตัวอย่างที่ 13 จงหาฟังก์ชัน เมื่อ วิธีทำ ทำการหาร

บทสรุปสัปดาห์ที่ 7 การแปลงลาปลาซ การแปลงลาปลาซ เป็นเทคนิคใช้สำหรับการแปลงสมการเชิงอุพันธ์ในโดเมนเวลาให้เป็นสมการพีชคณิตในโดเมนความถี่เชิงซ้อน การแปลงลาปลาซผกผัน แก้สมการในโดเมนความถี่เชิงซ้อนแปลงกลับในโดเมนเวลา ใช้การแยกเศษส่วนย่อยที่มีเลขชี้กำลังของเศษน้อยกว่าเลขชี้กำลังของส่วน โพลเชิงซ้อน โพลเป็นจำนวนจริง โพลเป็นจำนวนที่ซ้ำกัน