MAT 231: คณิตศาสตร์ไม่ต่อเนื่อง (4) ความสัมพันธ์ (Relations) ดร.ธนา สุขวารี ดร.สุรศักดิ์ มังสิงห์ SPU, Computer Science Dept.

วัตถุประสงค์ เพื่อศึกษาความสัมพันธ์ และสมบัติความสัมพันธ์ ประยุกต์ความสัมพันธ์กับข้อมูล และปฏบัติการกับข้อมูลในกระบวนการทางคอมพิวเตอร์

ความสัมพันธ์ (relation) นิยาม : ให้ A และ B เป็นเซต จะเรียก R ว่าเป็น ความสัมพันธ์ทวิภาค (Binary Relation ) จาก A ไป B ถ้า R เป็นเซตย่อยของ R เป็นเซตของคู่อันดับ(ordered pair) โดยที่คู่อันดับตัวแรกมาจาก A และคู่อันดับตัวที่สองมาจาก B a สัมพันธ์กับ b โดย R เมื่อ Example : ลงทะเบียนเรียน (รหัสนักศึกษา, รหัสวิชา) R A B

ความสัมพันธ์บนเซต 0 1 2 a b A B EX: ให้ A = {0,1,2,} และ B = { a, b} แล้วจะได้ว่า R1 = { (0,a) , (0,b) , (1,a) , (2,b) } เป็นความสัมพันธ์จาก A ไป B 0 1 2 a b A B R = { (0,a), (0,b), (1,a), (1,b), (2,a), (2,b) } R1 ⊂ R (อ่านว่าR1 เป็น สับเซตของ R)

ความสัมพันธ์บนเซต EX: ให้ Aและ B เป็นเซต {1, 2, 3, 4} จงเขียนคู่ลำดับของความสัมพันธ์ R = {(a,b)| a หาร b ลงตัว} 1 2 3 4 X table 1 2 3 4 1 2 3 4 A B

EX: หรือ เมื่อ a, b ϵ จำนวนเต็ม R1 R2 R3 R4 R5 (1,1) (1,2) (2,1) (1,-1) (2,2)

ปฏิบัติการบนความสัมพันธ์ EX. กำหนดให้ A = {1, 2, 3} , B = {1, 2, 3, 4} และ R1 = {(1, 1), (2, 2), (3, 3)}, R2 = {(1, 1),(1, 2),(1, 3),(1, 4)} จงหา R1 U R2 = {(1, 1),(1, 2),(1, 3),(1, 4), (2, 2), (3, 3) } R1 ∩ R2 = {(1, 1)} R1 - R2 = {(2, 2), (3, 3)} R2 - R1 = {(1, 2),(1, 3),(1, 4)}

ความรู้ทางตรรก ตารางค่าความเป็นจริง ความรู้ทางตรรก ตารางค่าความเป็นจริง AND IF…THEN NOT A B A^B T F A B A --> B T F A ~A T F xor A B A xor B T F OR A B AVB T F

สมบัติของความสัมพันธ์ นิยาม ให้ R เป็นความสัมพันธ์บนเซต A และ a, b, c เป็นสมาชิกใด ๆ ของ A จะเรียก R ว่า มี 1. สมบัติสะท้อน ( Reflexive ) ถ้า ทุก a ϵ A 2. สมบัติสมมาตร ( Symmetric ) ถ้า แล้ว 3. สมบัติถ่ายทอด ( Transitive ) ถ้า และ แล้ว 4. สมบัติปฏิสมมาตร (Antisymmetric) ถ้า และ แล้ว a = b ความสัมพันธ์สมมูล

สมบัติของความสัมพันธ์ EX: พิจารณาความสัมพันธ์ บนเซต A={1,2,3} ต่อไปนี้ R={(1,1), (1,2), (1,3), (3,3)} S={(1,1), (1,2), (2,1), (2,2), (3,3)} T={(1,1), (1,2), (2,2), (2,3)}

Reflexive R={(1,1), (1,2), (1,3), (3,3)} S={(1,1), (1,2), (2,1), (2,2), (3,3)} T={(1,1), (1,2), (2,2), (2,3)} เมื่อ R,S และ T เป็นเซทของคู่ลำดับที่มีสมาชิกอยู่ในเซทของ A และB ซึ่งประกอบด้วยสมาชิก {1,2,3} คุณสมบัติสะท้อน R ไม่มี refexive เพราะ 2 ϵ A แต่ (2,2) ϵ R T ไม่มี refexive เพราะ 3 ϵ A แต่ (3,3) ϵ T S มี refexive

Symmetric R={(1,1), (1,2), (1,3), (3,3)} S={(1,1), (1,2), (2,1), (2,2), (3,3)} T={(1,1), (1,2), (2,2), (2,3)} เมื่อ R,S และ T เป็นเซทของคู่ลำดับที่มีสมาชิกอยู่ในเซทของ A และB ซึ่งประกอบด้วยสมาชิก {1,2,3} สมบัติสมมาตร R ไม่มี symmetric เพราะ (1,2) ϵ R แต่ (2,1) ϵ R ในทำนองเดียวกัน T ไม่มี symmetric S มี symmetric

Transitive สมบัติถ่ายทอด เมื่อ R,S และ T เป็นเซทของคู่ลำดับที่มีสมาชิกอยู่ในเซทของ A={1,2,3} สมบัติถ่ายทอด -T ไม่มี transitive เพราะ (1,2)และ(2,3)อยู่ใน T แต่ (1,3) ไม่อยู่ใน T - R และ S มี transitive

Antisymmetric สมบัติปฏิสมมาตร เมื่อ R,S และ T เป็นเซทของคู่ลำดับที่มีสมาชิกอยู่ในเซทของ A={1,2,3} สมบัติปฏิสมมาตร S ไม่เป็น Antisym เพราะ (1,2) และ (2,1) อยู่ใน S แต่ 1 ไม่เท่ากับ 2 R และ T เป็น Antisym

โจทย์คำถาม EX:จงพิจารณาความสัมพันธ์ R1,R2, ..,R6 บน A={1, 2, 3, 4} เมื่อ R1 = { (1,1),(1,2),(2,1),(2,2),(3,4),(4,1),(4,4)} R2 = { (1,1),(1,2),(2,1)} R3 = { (1,1),(1,2),(1,4),(2,1),(2,2),(3,3),(4,1),(4,4)} R4 = { (2,1),(3,1),(3,2),(4,1),(4,2),(4,3)} R5 = { (1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(2,2),(2,3),(2,4),(3,3),(3,4),(4,4)} R6 = { (3,4)} ความสัมพันธ์ใดมี สมบัติสะท้อน สมบัติสมมาตร สมบัติปฏิสมมาตร และสมบัติถ่ายทอด

โจทย์คำถาม EX: ให้ Ri เป็นความสัมพันธ์บนเซตของจำนวนเต็ม หรือ จงพิจารณาว่าความสัมพันธ์ใดมี สมบัติสะท้อน สมบัติสมมาตร สมบัติถ่ายทอด หรือสมบัติปฏิสมมาตร

Answer: R5 ให้ เป็นความสัมพันธ์บนเซตของจำนวนเต็ม สมบัติสะท้อน : ให้ เป็นความสัมพันธ์บนเซตของจำนวนเต็ม สมบัติสะท้อน : เนื่องจาก ดังนั้น นั่นคือ R5 ไม่มีสมบัติสะท้อน สมบัติสมมาตร : เนื่องจาก แต่ ดังนั้น แต่ นั่นคือ ไม่มีสมบัติสมมาตร

Answer: R5 สมบัติถ่ายทอด: เนื่องจาก และ แต่ ดังนั้น และ เนื่องจาก และ แต่ ดังนั้น และ นั่นคือ R5 ไม่มีสมบัติถ่ายทอด

Answer: R5

Answer: R3 หรือ ให้

Answer: R3 หรือ

Answer: R3 หรือ

Answer: R3 หรือ

การแทนความสัมพันธ์ (Representing Relations) คู่ลำดับ (ordered pair) ตาราง (table) เมตริกซ์ (matrix) กราฟ (graph)

การแทนความสัมพันธ์ คู่ลำดับ Ex: ให้ R เป็นความสัมพันธ์จากเซต A ไปยังเซต B เมื่อ A = {นงนุช, ภัทร, ธนพรรธน์} B = {CSE101, MAT231, CSE321} R = { (นงนุช, CSE101),(นงนุช, MAT231), (ภัทร, CSE101),(ภัทร, MAT231),(ภัทร, CSE321), (ธนพรรธน์, MAT231) }

การแทนความสัมพันธ์ ตาราง R = { (นงนุช, CSE101),(นงนุช, MAT231), (ภัทร, CSE101),(ภัทร, MAT231),(ภัทร, CSE321), (ธนพรรธน์, MAT231) } ลงทะเบียนเรียน MAT231 CSE101 CSE321 นงนุช ภัทร ธนพรรธน์ X X X X X X

การแทนความสัมพันธ์ เมทริกซ์ การแทนค่าของความสัมพันธ์ในรูปแบบ Matrix (0-1) กำหนดให้ R เป็นความสัมพันธ์จากเซต A = {a1, a2, … , an} ไป เซต B = {b1, b2, … , bn} สามารถแทนด้วย matrix MR = [ mij ] โดยที่

การแทนความสัมพันธ์ เมทริกซ์ EX: ให้ A = { 1, 2, 3 } และ B = { 1, 2, 3, 4} ให้ r เป็นความสัมพันธ์จาก A ไป B ซึ่ง 1 2 3 4 1 2 3 0 1 1 1 0 0 1 1 0 0 0 1

โจทย์คำถาม EX ให้ A = { a1 , a2 , a3 } และ B = { b1 , b2 , b3 , b4 , b5 } จงหาความสัมพันธ์ r ในแบบคู่ลำดับ เมื่อ b1 b2 b3 b4 b5 0 1 0 0 0 1 0 1 1 0 1 0 1 0 1 Mr = a1 a2 a3

การกระทำบนความสัมพันธ์ เมทริกซ์ 0-1 EX: ให้ความสัมพันธ์ R1 และ R2 อยู่บน A จงแสดงผลลัพธ์ MR1 U MR2 และ MR1 ∩ MR2 1 0 1 1 0 0 0 1 0 1 0 1 0 1 1 1 0 0 MR2 = MR1 = 1 0 1 1 1 1 1 1 0 1 0 1 0 0 0 0 0 0 MR1 ∩ MR2 = MR1 U MR2 =

การแทนความสัมพันธ์ กราฟระบุทิศทาง บทนิยาม กราฟระบุทิศทาง (Directed graph or digraph) ประกอบด้วย เซต V เรียกว่า เซตของจุด (vertices or node) และ เซต E   V x V เรียกว่า เซตของเส้นเชื่อม (edges) จุด a เรียกว่า จุดเริ่มต้น (initial vertex) ของด้าน (a, b) และจุด b เรียกว่า จุดปลาย (terminal vertex) ของด้าน (a, b) ด้านที่อยู่ในรูปแบบ (c, c) ซึ่งจุดเริ่มต้นกับจุดปลายเป็นจุดเดียวกัน จะเรียกว่า วงวน (loop)

การแทนความสัมพันธ์ กราฟระบุทิศทาง EX: กำหนดให้ R = {(1, 1), (3, 2), (3, 1), (1, 2),(2, 3)} เป็น ความสัมพันธ์บนเซต AxA เมื่อ A = {1, 2, 3} จงแทน R ด้วย Digraph 1 2 3

โจทย์คำถาม จงเขียนกราฟระบุทิศทางที่มีจุดยอดอยู่ที่ a, b, c และ d ซึ่งประกอบด้วยด้าน(a, b), (a, d), (b, b), (b, d), (c, a), (c, b) และ (d, b) จงเขียนคู่อันดับและเมทริกซ์ ทั้งหมดที่แทนกราฟระบุทิศทางที่กำหนด B C A D E

ความสัมพันธ์ประกอบ (composite relation) บทนิยาม ให้ R เป็นความสัมพันธ์จาก A ไป B และ S เป็นความสัมพันธ์จาก B ไป C ความสัมพันธ์ประกอบของ R และ S (composite relation of R and S) คือ ความสัมพันธ์ซึ่งประกอบด้วยคู่อันดับ (a, c) โดยที่ (a, b) ∈R และ (b, c) ∈ S เขียนแทนด้วย S o R นั่นคือ S o R = { (a, c)∈ A × C มี b ∈ B ซึ่ง (a, b) ∈R และ (b, c) ∈ S }

ตัวอย่าง EX. ให้ A = { 1,2,3} , B = {1,2,3,4}, C = { 0, 1, 2} R เป็นความสัมพันธ์จาก A ไป B และ S เป็นความสัมพันธ์จาก B ไป C กำหนดโดย R = { (1,1) , (1,4), (2,3), (3,1) , (3,4) }, S = { (1,0), (2,0) ,(3,1) ,(3,2), (4,1) } จงหา S o R 1 2 3 1 2 3 4 0 1 2 SoR = {(1,0), (1,1), (2,1), (2,2), (3,0), (3,1) }

โจทย์คำถาม เมื่อกำหนดให้ R = { (1, 1), (1, 4), (2, 3), (3, 1), (3, 4) } และ S = { (1, 0), (2, 0), (3, 1), (3, 2), (4, 1) } จงหา SoR

โจทย์ท้ายบท ให้ Aเป็นเซตประกอบด้วย { 0, 1, 2, 3, 4} โดย R,S เป็นความสัมพันธ์บน A R = { (1,1) , (2,2), (2,3), (3,2), (4,2), (4,4) } S = { (1,0), (2,0) ,(3,1) ,(3,2), (4,1) } จงตรวจสอบว่าความสัมพันธ์ R และ S มีสมบัติ สะท้อน สมมาตร ถ่ายทอด และปฏิสมมาตร หรือไม่ จงแทนความสัมพันธ์ R ในรูปแบบ เมตริกซ์ (0-1) Mr และ digraph จงหา S o R

Quiz -IV ให้เลือกโจทย์ปัญหาท้ายบทเรื่องความสัมพันธ์มาทดสอบอย่างน้อย 1 ข้อ (15 นาที)