Lecture 2: Logic Methods of proof

310213 Discrete Structures:Logic Methods of proof หัวข้อบรรยาย Definitions of theorem Rules of inference Formal proofs 310213 Discrete Structures:Logic

310213 Discrete Structures:Logic Basic Definitions Definition: theorem คือประโยคที่เป็นผลสรุปอย่างสมเหตุสมผล สามารถพิสูจน์ได้จาก ทฤษฎีอื่นๆ axioms (ประโยคที่เรายอมรับว่าจริง) และ หลักการให้เหตุผล(rules of inference) lemma (not a “lemon”) คือ 'pre-theorem' หรือประโยคที่เป็นผลสรุปที่สามารถนาไปพิสูจน์ทฤษฎีบท corollary คือ 'post-theorem' หรือผลสรุปที่เป็นผลมาจากทฤษฎีบท 310213 Discrete Structures:Logic

310213 Discrete Structures:Logic Rules of Inference สามารถใช้ tautologies ที่กล่าวมาแล้วมาช่วยในการให้เหตุผลได้ การให้เหตุผลจะเขียนในรูป H1  H2  ...  Hn  C เมื่อ Hi เรียกว่า hypotheses C เรียกว่า conclusion 310213 Discrete Structures:Logic

310213 Discrete Structures:Logic Rules of Inference กฏการให้เหตุผลสามารถเขียนอยู่ในรูป : H 1 H2 . Hn C 310213 Discrete Structures:Logic

310213 Discrete Structures:Logic Rules of Inference ตัวอย่าง tautology : P ( P  Q) Q เขียนได้เป็น P P Q Q หมายความว่าเมื่อ P เป็นจริงและ P Q เป็นจริงจะสรุปได้ว่า Q เป็นจริง กฏการให้เหตุผลข้อนี้เรียกว่า modus ponens หรือ law of detachment 310213 Discrete Structures:Logic

310213 Discrete Structures:Logic Rules of Inference 310213 Discrete Structures:Logic

310213 Discrete Structures:Logic Rules of Inference 310213 Discrete Structures:Logic

310213 Discrete Structures:Logic Formal Proofs สมมุติว่าสมมุติฐาน ( hypotheses) เป็นจริง ใช้กฎการให้เหตุผลหรือประพจน์ที่สมมูลกัน(logical equivalences) เพื่อแสดงให้ได้ว่าผลสรุปเป็นจริง 310213 Discrete Structures:Logic

310213 Discrete Structures:Logic ตัวอย่าง ถ้าม้าบินได้หรือวัวกินหญ้าแล้วยุงเป็นนกสวยงาม ถ้ายุงเป็นนกสวยงามแล้วไก่ขัน แต่ไก่ไม่ขัน ดังนั้นวัวไม่กินหญ้า กำหนดตัวแปรแทนดังนี้: A - วัวกินหญ้า F - ม้าบินได้ M - ยุงเป็นนกสวยงาม P -ไก่ขัน 310213 Discrete Structures:Logic

310213 Discrete Structures:Logic ตัวอย่าง เขียนเป็นรูปสัญลักษณ์ดังนี้ 1. (F  A)  M 2. M  P 3.  P   A ใช้สมมุติฐานจากข้อ1, 2, และ 3. และ rules of inference พิสูจน์ได้ดังนี้ 310213 Discrete Structures:Logic

310213 Discrete Structures:Logic ตัวอย่าง(2) Assertion Reasons 1.(F  A)  M Hypothesis 1. 2.M P Hypothesis 2. 3.(F  A)  P steps 1 , 2 , hypothetical syll. 4. P Hypothesis 3. 5.  (F  A) steps 3, 4 and modus tollens 6. F A step 5 , DeMorgan 7. A  F step 6, commutativity of 'and' 8. A step 7, simplification 310213 Discrete Structures:Logic

Rules of Inference for Quantifiers xP(x) P(c) Universal Instantiation (UI) ________________________________________ P(c) เมื่อ c เป็นค่าใดๆใน Universe xP(x) Universal Generalization (UG) P(c) สำหรับ c บางตัวใน Universe xP(x) Existential Generalization (EG) xP( x) P(c) Existential Instantiation (EI) 310213 Discrete Structures:Logic

310213 Discrete Structures:Logic ตัวอย่าง Every man has two legs. John Smith is a man. Therefore, John Smith has two legs. กำหนดเป็น predicates ดังนี้ M(x) : x is a man L(x) : x has two legs J : John Smith 310213 Discrete Structures:Logic

310213 Discrete Structures:Logic ตัวอย่าง(ต่อ) เขียนในรูปสัญลักษณ์ของประพจน์ได้ดังนี้ 1. x[M(x)  L(x)] 2. M( J ) L( J) พิสูจน์ 1.x[M(x) L(x)] Hypothesis 1 2.M( J ) L(J ) step 1 and UI 3.M(J) Hypothesis 2 4. L( J) steps 2 and 3 ,modus ponens 310213 Discrete Structures:Logic

310213 Discrete Structures:Logic Methods of Proof การพิสูจน์ทฤษฎีบท จะอยู่ในรูป P → Q P อาจจะอยู่ในรูป conjunction ของสมมุติฐาน ต้องแสดงให้ได้ว่า P→ Q เป็นจริง วิธีการพิสูจน์มีหลายวิธีเช่น : Trivial proof. Direct proof. Indirect proof. Proof by contradiction. 310213 Discrete Structures:Logic

310213 Discrete Structures:Logic Trivial Proof Trivial proof: ถ้าเราทราบว่า Q เป็นจริง จะได้ว่า P Q เป็นจริงเสมอ ตัวอย่าง ถ้าฝนตกวันนี้แล้วเซตว่างเป็นสับเซตของทุกเซต ประพจน์นี้เป็นจริง ขึ้นกับค่าความจริงของ P ถ้าเราทราบว่าสมมุติฐาน P เป็นเท็จแล้ว P Q จะเป็นจริงเสมอ (vacuously true) ถ้าฉันรวยและจนแล้วพระจันทร์ขึ้นทางทิศตะวันตก (P  P) Q ซึ่งสมมุติฐาน contradiction ดังนั้น Q จะเป็นจริง 310213 Discrete Structures:Logic

310213 Discrete Structures:Logic Direct Proof กำหนดสมมุติฐานเป็นจริง ใช้หลักการให้เหตุผล(rules of inference) axioms และ logical equivalences เพื่อสรุปให้ได้ว่าผลสรุปเป็นจริง 310213 Discrete Structures:Logic

310213 Discrete Structures:Logic Direct Proof(2) ตัวอย่าง จงพิสูจน์ว่า ถ้า n เป็นจำนวนเต็มคี่แล้ว n2 เป็นจำนวนเต็มคี่ พิสูจน์ สมมุติให้ n เป็นจำนวนเต็มคี่ n = 2k + 1 เมื่อ k เป็นจำนวนเต็ม n2 = (2k + 1 )2 =4 k2 + 4k + 1 = 2(2 k2 + 2k) + 1 ดังนั้น n2 เป็นจำนวนเต็มคี่ 310213 Discrete Structures:Logic

310213 Discrete Structures:Logic Indirect Proof Indirect proof: จากกฎของ contrapositive จะได้ว่า P→Q ⇔¬Q→¬P เป็น direct proof โดยใช้ contrapositive ให้ผลของ P Q เป็นเท็จ (Q เป็นจริง) ใช้ rules of inference, axioms และlogical equivalences แสดงให้ได้ว่า P เป็นเท็จ 310213 Discrete Structures:Logic

310213 Discrete Structures:Logic Indirect Proof (2) ตัวอย่าง จงพิสูจน์ว่า ถ้า 3n +2 เป็นจำนวนเต็มคี่แล้ว n เป็นจำนวนเต็มคี่ พิสูจน์ 310213 Discrete Structures:Logic

Proof by contradiction or reductio ad absurdum มี 2 กรณี คือ 1. พิสูจน์ว่า Q เป็นจริง วิธีการ สมมุติให้ผลสรุป Q เป็นเท็จ พยายามหาข้อความที่เป็น contradiction ที่อยู่ในรูป P P ซึ่งจะทำให้เกิด Q0 ซึ่ง contrapositive ของประโยคข้างต้นคือ 1Q ซึ่งจะได้ว่า Q ต้องเป็นจริง 310213 Discrete Structures:Logic

Proof by contradiction (2) 2 พิสูจน์ว่า P→Q เป็นจริงโดยใช้วิธีหาข้อขัดแย้ง วิธีการ การพิสูจน์ประโยค P  Q เป็นจริงโดยใช้วิธีหาข้อขัดแย้ง ต้องสมมุติให้  (P  Q) เป็นจริง แต่ (P  Q )  (P  Q )  (P)  Q  P  Q ดังนั้นต้องสมมุติให้ P  Q เป็นจริงแล้วหาข้อขัดแย้งในรูป R  R ให้ได้ จึงสรุปได้ว่า P  Q 310213 Discrete Structures:Logic

310213 Discrete Structures:Logic ตัวอย่าง ตัวอย่างจงพิสูจน์ว่า √2 เป็นจำนวนอตรรกยะ แนวคิด ถ้าให้ p : √2 เป็นจำนวนอตรรกยะ  p : √2 เป็นจำนวนตรรกยะ พิสูจน์ สมมติให้ เป็นจำนวนตรรกยะ √2 = n/m ; n , m Z และ ห.ร.ม. ของ n และ m เป็น 1 2 = n2 /m2 n2 = 2m2 …………(1) จะได้ว่า ถ้า n2 เป็นเลขคู่แล้วจะได้ว่า n เป็นเลขคู่ n = 2t ; t Є Z 310213 Discrete Structures:Logic

310213 Discrete Structures:Logic ตัวอย่าง แทนค่าใน (1) :- (2t)2 = 2m2 m2 = 2t2 จะได้ว่า m2 เป็นเลขคู่ ดังนั้น m เป็นเลขคู่ จะได้ว่า n และ m เป็นเลขคู่ซึ่งขัดแย้งกับที่กำหนดไว้ในตอนแรกว่า ห.ร.ม. ของ n และ m เป็น 1ดังนั้น √2 เป็นจำนวนตรรกยะไม่จริง นั่นคือ √2 เป็นจำนวนตรรกยะไม่จริง 310213 Discrete Structures:Logic

310213 Discrete Structures:Logic ตัวอย่าง จงพิสูจน์ว่า ถ้า 3n +2 เป็นจำนวนเต็มคี่แล้ว n เป็นจำนวนเต็มคี่ พิสูจน์ 310213 Discrete Structures:Logic

Disproof by Counterexample จากประโยค xP(x)  xP(x ). ต้องการแสดงว่า xP(x ) เป็นจริง (หรือ xP(x) เป็นเท็จ ดังนั้นต้องหา c ซึ่งทำให้ P(c) เป็นจริง หรือ P(c) เป็นเท็จ ในกรณีนี้ c เรียกว่า counterexample ของประโยค xP(x) 310213 Discrete Structures:Logic

310213 Discrete Structures:Logic ตัวอย่าง จงตรวจสอบว่า P  Q   P  Q หรือไม่ถ้าจริงให้พิสูจน์ แต่ถ้าไม่จริงให้ยกตัวอย่าง คำตอบ ไม่จริง เช่น P มีค่าความจริงเป็น F, Q มีค่าความจริงเป็น F จะได้ว่า P  Q มีค่าความจริงเป็น T แต่  P  Q มีค่าความจริงเป็น F 310213 Discrete Structures:Logic

310213 Discrete Structures:Logic Fallacies Fallacies คือกฎการให้เหตุผลที่ไม่ถูกต้อง ตัวอย่างของ fallacies ที่พบบ่อยๆ The Fallacy of Affirming the Consequent การให้เหตุผลที่เขียนเป็นรูปสัญลักษณ์ของประพจน์ดังนี้ P Q Q P หรือ [(P Q )  Q ]  P ซึ่งไม่เป็น tautology ดังนั้นการให้เหตุผลไม่ถูกต้อง 310213 Discrete Structures:Logic

310213 Discrete Structures:Logic Fallacies The Fallacy of Denying the Antecedent (or the hypothesis) การให้เหตุผลที่เขียนเป็นรูปสัญลักษณ์ของประพจน์ดังนี้ P Q P Q หรือ [(P Q) P] Q ซึ่งไม่เป็น tautology ดังนั้นการให้เหตุผลไม่ถูกต้อง 310213 Discrete Structures:Logic

310213 Discrete Structures:Logic Fallacies Begging the question or circular reasoning เป็นเหตุการณ์ที่เกิดขึ้นโดยเราใช้ความจริงของประโยคที่กำลังพิสูจน์มาอ้างอิงในการพิสูจน์ตัวเอง ตัวอย่าง จงแสดงว่า x 2 เป็นจำนวนคู่แล้ว x เป็นจำนวนคู่ พิสูจน์ x 2 เป็นจำวนคู่แล้ว x 2 = 2k สำหรับบาง k บางตัว ดังนั้น x = 2t สำหรับบาง t บางตัว ดังนั้น x เป็นจำนวนคู่ 310213 Discrete Structures:Logic