Chapter 7 Restrained Beams

7-1 Introduction Statically indeterminate problems require relations between the elastic deformations in addition to the equation of static equilibrium. Three techniques are discussed: (1) Double-integration; (2) Superposition; (3) Area-moment method.

7-2 Redundant Supports in Propped & Restrained Beams Determinate Beam Indeterminate Beam

Both are indeterminate beams

7-3 Application of Double-Integration & Superposition Methods (see Sec. 6-2 pg. 183) Deflection, Slope & Curvature (see Sec. 5-2 pg. 135) Moment & Curvature positive negative Equation of Elastic Curve of Beam

อินทิเกรตสมการ สองครั้งจะได้ว่า อินทิเกรตสมการ สองครั้งจะได้ว่า มุมหมุน (slope) ระยะโก่ง (deflection) ตัวแปรไม่ทราบค่าได้แก่ C1, C2 และ redundant forces ซึ่งสามารถ คำนวณได้จาก เงื่อนไขของที่รองรับ (boundary conditions) ดังนี้ hinge or roller support fixed support free end

RA ตัวอย่าง (Double Integration) แก้สมการทั้งสอง จะได้ Boundary conditions แก้สมการทั้งสอง จะได้

Table 7-1 Slope & Deflection at Free End

ตัวอย่าง (Superposition) Boundary conditions

Ans

ตัวอย่าง 701. Solve for the reactive elements of the propped beam in Fig. 7-3a by two methods (1) the method of superposition, considering RA as redundant support; (2) the double-integration method. Superposition Method 400 N A B = C (Fig. II) (Fig. I) Fig. (7-3a)

Fig. I A C From Table 7-1

Fig. II A B C From Table 7-1

A Fig. I Fig. II + = Fig. 7-3a Ans

Fig. 0 Fig. I Fig. II + = From Table 7-1 Ans

Ans

7-4 Application of Area Moment Method จากความสัมพันธ์ และ จะได้ว่า เมื่อ

ทฤษฏีพื้นที่ของโมเมนต์ข้อที่ 1 มุมระหว่างเส้นสัมผัสจุด A และเส้นสัมผัสจุด B = พื้นที่ใต้กราฟของโมเมนต์ระหว่างจุด A และจุด B หารด้วย EI

ทฤษฏีพื้นที่ของโมเมนต์ข้อที่ 2 ระยะทางจากเส้นสัมผัสจุด A ไปยังจุด B ในแนวดิ่งเดียวกัน = โมเมนต์ของ[พื้นที่ใต้กราฟของโมเมนต์ระหว่างจุด A และจุด B]รอบจุด B หารด้วย EI

Sign Convention ถ้า A อยู่ซ้ายมือของ B มุมที่วัดทวนเข็มนาฬิกาจากเส้นสัมผัสจุด A เป็น (+) แต่ถ้าวัดตามเข็มนาฬิกาจากเส้นสัมผัสจุด A เป็น เป็น (-) ถ้า B อยู่สูงกว่าเส้นสัมผัสจากสุด A จะได้ tB/A เป็น (+) ถ้าจุด B อยู่ต่ำกว่าเส้นสัมผัสจากจุด A จะได้ tB/A เป็น (-)

คานนี้มี 2 degree of indeterminacy (มี 2 redundant forces) แนวทางการประยุกต์ใช้วิธีพื้นที่ของโมเมนต์ เพื่อวิเคราะห์ Indeterminate Beam คาน AB มีปลายทั้งสองด้านยึดแน่น คานนี้มี 2 degree of indeterminacy (มี 2 redundant forces) สมการช่วยในการคำนวณ redundant forces ได้แก่ 2 ใน 3 สมการด้านล่างนี้

ตัวอย่าง (Area Moment Method) คานยึดแน่นปลาย AB รับแรงกระจายสม่ำเสมอ w0 1. ให้ RA และ MA เป็น redundant forces วิธีทำ MA RA 3. จากเส้นโค้งอิลาสติกและเงื่อนไขของที่รองรับ จะได้ว่า 2. เขียน BMD by part โดยติดตัวแปร RA และ MA BMD by part MA RAL แก้สมการทั้งสองนี้จะได้ Ans

ตัวอย่าง (Area Moment Method) คาน AB รับแรงเดี่ยว P ณ กึ่งกลางคาน 1. ให้ RA เป็น redundant force วิธีทำ RA A B 3. จากเส้นโค้งอิลาสติกและเงื่อนไขของที่รองรับ จะได้ว่า BMD by part 2. เขียน BMD by part โดยติดตัวแปร RA RAL P(L/2) แก้สมการจะได้ Ans

7-5 Restrained Beam Equivalent to Simple Beam with End Moments จากรูปเราสามารถเลือก redundant forces เป็นโมเมนต์ที่ปลายทั้งสองข้าง แล้วใช้หลักการ superposition ดังนี้ MA MB Fig.0 MA MB Fig.I Fig.II BMD MB BMD MA เราสามารถคำนวณ slope ที่ปลายคานโดยใช้ ตาราง 6-2 หรือวิธีอื่นๆ ที่เรียนมา เช่น double integration หรือ area moment method เป็นต้น

ตัวอย่าง Fig.0 MB P Fig.I Fig.II จากตาราง 6-2 Ans A B A B Fig.0 = Fig.I + Fig.II จากตาราง 6-2 Ans

ตัวอย่าง Fig.0 MA MB Fig.I Fig.II จากตาราง 6-2 Ans Fig.0 = Fig.I + Fig.II Fig.0 A B MB Fig.I Fig.II 6,000 lb A B 9,000 lb MA จากตาราง 6-2 Ans

7-6 Design of Restrained Beams - การออกแบบคานที่ถูกยึดรั้งเป็นเช่นเดียวกับวิธีการออกแบบคานในบทที่ 5 ต่างกันเฉพาะในส่วนการวิเคราะห์เท่านั้น - ในการออกแบบคาน ค่าหน่วยแรงเฉือนสูงสุด และหน่วยแรงดัดสูงสุดจะต้องไม่เกินค่าหน่วยแรงเฉือนที่ยอมให้ และหน่วยแรงดัดที่ยอมให้ตามลำดับ - ในกรณีที่วัสดุมีกำลังต้านทานแรงอัดไม่เท่ากับกำลังต้านทานแรงดึง หรือสำหรับหน้าตัดคานไม่สมมาตรรอบแกน N.A. จะต้องทำการคำนวณทั้งขอบบน และขอบล่างของหน้าตัดคานเสมอ - หลังจากได้หน้าตัดคานที่ต้องการแล้วควรตรวจสอบอีกครั้ง โดยใช้น้ำหนักของคานเป็นแรงกระทำร่วมด้วย

- ค่าของโมเมนต์ดัดสามารถคำนวณได้ตามที่เรียนมาหรือจากตาราง 7-2

ตัวอย่าง จากตาราง 7-2 จากตาราง 7-2 Ans A B BMD (lb.ft) จากตาราง B7 หน้าตัดที่เหมาะสมได้แก่ W8x18 S = 15.2 in3 หนัก จากตาราง 7-2 Ans

โจทย์แบบฝึกหัก

โจทย์แบบฝึกหัก

โจทย์แบบฝึกหัก

โจทย์แบบฝึกหัก

ตัวอย่าง ตารางคุณสมบัติหน้าตัดของเหล็กรูปพรรณที่ใช้ในงานก่อสร้าง ตัวอย่าง ตารางคุณสมบัติหน้าตัดของเหล็กรูปพรรณที่ใช้ในงานก่อสร้าง โมดูลัสหน้าตัด ขนาดหน้าตัด สำหรับโลหะชนิดเดียวกัน หน้าตัดที่มีค่า section modulus มากกว่าจะรับค่าโมเมนต์ดัดได้สูงกว่า น้ำหนักต่อหน่วยความยาว

Summary คานที่ถูกยึดรั้ง เป็นคานประเภทอินดีเทอร์มิเนตฯ ซึ่งจำเป็นต้องใช้สมการเงื่อนไขของที่รองรับช่วยในการวิเคราะห์(ร่วมกับสมการสมดุล) อาจทำการวิเคราะห์ได้ด้วยวิธีต่างๆ เช่น Superposition Method เป็นวิธีที่สะดวกมากเมื่อใช้ร่วมกับตาราง Double Integration Method ซึ่งตัวแปรไม่ทราบค่าได้แก่ C1 และ C2 และ redundant forces ต่างๆ Theory of Area Moment Method เป็นวิธีที่สะดวกอีกวิธีหนึ่ง โดยสมการช่วยวิเคราะห์ ได้จากความสัมพันธ์ระหว่าง [เส้นสัมผัสโค้งอีลาสติก] กับ [เส้นโค้งอีลาสติก] ซึ่งพิจารณามาจาก[เงื่อนไขของที่รองรับต่างๆ] การออกแบบคานที่ถูกยึดรั้งเป็นเช่นเดียวกับวิธีการออกแบบคานในบทที่ 5 ต่างกันแต่เพียงวิธีการวิเคราะห์เพื่อให้ได้มาซึ่งแรงภายในต่างๆ เท่านั้น