Chapter 2 Probability Distributions and Probability Densities EC 625 อ.ชโลทร แก่นสันติสุขมงคล

2.1 ตัวแปรสุ่ม (Random variables) Def 1: “Random Variable” = ฟังก์ชั่นที่มีค่าเป็นตัวเลขจริง (real value) ซึ่งนิยามบนสมาชิกของ Sample Space ตัวแปรสุ่มแบ่งได้เป็น 2 ประเภท ตัวแปรสุ่มชนิดไม่ต่อเนื่อง (Discrete R.V.) ตัวแปรสุ่มซึ่งมีพิสัย (range) เป็นเซตซึ่งมีจำนวนนับได้ (countable = finite หรือ countable infinite) ตัวแปรสุ่มชนิดต่อเนื่อง (Continuous R.V. ) ตัวแปรสุ่มซึ่งมีพิสัย (range) เป็นเซตของจำนวนจริง(real number) หรือเป็นช่วงของจำนวนจริง

2.2 Probability Distribution Def.2 : ถ้า X เป็น discrete r.v., Probability Distribution Function of X คือฟังก์ชั่นที่กำหนดโดย f(x) = P(X=x) สำหรับค่า x ทุกๆค่าใน range ของ X Th’m 1: ฟังก์ชั่น f(x)ใดๆจะสามารถเป็น p.d.f. ได้จะต้องมีคุณสมบัติดังนี้ for all x in domain of f(x) เมื่อรวมสำหรับ x ทั้งหมด ใน domain ของ f(x)

Probability Distribution (ต่อ) Def.3: ถ้า X เป็น Discrete r.v., Distribution fn. หรือ Cumulative dist. fn. Of X คือฟังก์ชั่นที่กำหนดโดย สำหรับ ฟังก์ชั่นการแจกแจงความน่าจะเป็นสะสมของ X ค่าใดค่าหนึ่ง = ความน่าจะเป็นที่ X จะมีค่าน้อยกว่า หรือเท่ากับค่านั้นๆ

Probability Distribution (ต่อ) คุณสมบัติ ของ Cumulative Dist. Fn. และ F(x) เป็น Nondecreasing fn. : ถ้า และ แล้วจะได้ว่า 4. ถ้า range ของ Discrete r.v. X ประกอบด้วยค่า จะได้ว่า และ สำหรับ i= 2,3,…,n

2.3 Probability Density Function Def.4 : สมมติให้ , ฟังก์ชั่น f(x) จะถือเป็น prob. density fn. (pdf.) ของ Continuous r.v. X ก็ต่อเมื่อ สำหรับ

Probability Density Function (ต่อ) ข้อแตกต่างที่สำคัญที่สุดของ Prob. Dist. กับ Prob. Density Prob.Dist. Fn. : Prob.Density Fn. : แต่

Probability Density Function (ต่อ) การที่ P(X=x) = 0 ทำให้เราได้ว่า Th’m 2: ถ้า X เป็น Cont. r.v. และ โดยที่ จะได้ว่า เราสามารถเปลี่ยนแปลงค่าบางตำแหน่งของ pdf. ได้โดยไม่มีผลให้ค่าความน่าจะเป็นที่คำนวณจาก pdf. นั้นๆมีผลเปลี่ยนแปลงไปเลย

Th’m 3: ฟังก์ชัน f(x) ใดๆ จะสามารถเป็น pdf ได้จะต้องมีคุณสมบัติดังนี้ (1) (2) Def.5: ถ้า X เป็น cont. r.v. ซึ่งมี pdf. ณ จุด t เป็น f(t), Distribution Fn. หรือ Cumulative Distribution Fn. of X คือ ฟังก์ชั่นที่กำหนดโดย สำหรับ

คุณสมบัติของ CDF และ ถ้า และ แล้วจะได้ว่า ถ้า X เป็น Cont. r.v. , และ ถ้า และ แล้วจะได้ว่า ถ้า X เป็น Cont. r.v. , และ จะได้ว่า 5. สำหรับ x ใดๆที่หาค่า derivative ของ F(x) ได้

2.4 Multivariate Distribution ที่ผ่านมาเราสนใจข้อมูลของผลการทดลองเพียงด้านเดียวเท่านั้น เราจะเริ่มพิจารณากรณีที่เราสนใจข้อมูลหลายๆด้านของผลการทดลองพร้อมๆกัน โดยเราจะเริ่มจากกรณีที่เราสนใจข้อมูลเพียง 2 ด้าน ( Bivariate Case) และข้อมูลทั้ง 2 ด้าน เป็น Discrete r.v. ก่อน

Multivariate Distribution (ต่อ) Def.6: ถ้า X & Y เป็น Discrete r.v. , Joint Probability Distribution Function of X & Y คือฟังก์ชันที่กำหนดโดย f(x,y) = P(X=x, Y=y), สำหรับ (x,y) ทุกๆคู่ใน range ของ X และ Y Th’m4 : ฟังก์ชัน f(x,y) ใดๆจะสามารถใช้เป็น Joint pdf. ได้ อย่างน้อยจะต้องมีคุณสมบัติดังนี้ สำหรับทุกคู่ของ (x,y) ซึ่งอยู่ใน Domain ของ f(x,y) เมื่อรวมสำหรับคู่ (x,y) ทั้งหมดใน Domain ของ f(x,y)

Multivariate Distribution (ต่อ) Def.7 : ถ้า X และ Y เป็น Discrete r.v., Joint Dist. Fn. หรือ Joint Cumulative Dist. Fn. of X and Y คือฟังก์ชันที่กำหนดโดย สำหรับ

Multivariate Distribution (ต่อ) กรณี ที่ X,Y เป็น Cont. r.v. Def.8 : สมมติให้ ฟังก์ชัน f(x,y) จะถือเป็น Joint Prob. Density Fn. ของ r.v. X และ Y ก็ต่อเมื่อ สำหรับ region A ใดๆในระนาบ XY

Th’m5: ฟังก์ชัน f(x,y) ใดๆจะสามารถเป็น Joint pdf 1. สำหรับ 2. Def. 9: ถ้า X&Y เป็น Cont. r.v. ซึ่งมี pdf. ณ จุด (s,t) ใดๆ = f(s,t), Joint cdf. of X&Y คือฟังก์ชันที่กำหนดโดย สำหรับ

Multivariate Distribution (ต่อ) Th’m 6: คุณสมบัติของ Joint cdf. (คุณสมบัตินี้เป็นจริงทั้งในกรณี X,Y เป็น discrete และเป็น cont. r.v.) ถ้า a<b และ c<d แล้วจะได้ว่า สำหรับ คู่ (x,y) ใดๆที่หา ได้

Multivariate Distribution (ต่อ) Def.10: กรณี Discrete r.v.

Multivariate Distribution (ต่อ) Def.11: กรณี Continuous r.v.

2.5 Marginal Distribution Def.12: (กรณี Discrete r.v.) สมมติให้ f(x,y) เป็น Joint pdf. of X&Y - ฟังก์ชัน g(x) จะถือเป็น marginal pdf. of X ก็ต่อเมื่อ สำหรับ ทุกค่า x ใน range ของ X - ฟังก์ชัน h(y) จะถือเป็น marginal pdf. of Y ก็ต่อเมื่อ สำหรับ ทุกค่า y ใน range ของ Y

Marginal Distribution(ต่อ) Def.13: (กรณี Cont. r.v.) สมมติให้ f(x,y) เป็น Joint pdf. of X & Y - ฟังก์ชั่น g(x) จะถือเป็น marginal pdf. of X ก็ต่อเมื่อ สำหรับ - ฟังก์ชั่น h(y) จะถือเป็น marginal pdf. of Y ก็ต่อเมื่อ

Marginal Distribution(ต่อ) Def.14: กรณีที่มี Discrete r.v. มากกว่า 2ตัว Marginal pdf. of X1 Joint marginal pdf. of X1 ,X2 , X3

Marginal Distribution (ต่อ) Def.15: กรณีที่มี Continuous r.v. มากกว่า 2ตัว Marginal pdf. of X2 Joint marginal pdf. of X1&X2

2.6 Conditional Distribution Def.16: กรณี Discrete r.v. สมมติให้ f(x,y) เป็น Joint pdf. of X&Y และ h(y) เป็น marginal pdf. of Y จะได้ว่า Conditional distribution of X given Y=y จะมีค่าเป็น Def.17: กรณี Cont. r.v. สมมติให้ f(x,y) เป็น Joint pdf. Of X&Y และ h(y) เป็น marginal pdf. of Y จะได้ว่า Conditional density of X given Y=y จะมีค่าเป็น

Def. 18: ถ้า เป็น joint pdf. ของ random variables n ตัว และ Def.18: ถ้า เป็น joint pdf. ของ random variables n ตัว และ เป็น marginal pdf. ของ Xi (i=1,2,…n) จะได้ว่า r.v. ทั้ง n ตัว จะเป็นอิสระต่อกัน (independent) ก็ต่อเมื่อ สำหรับทุกค่าของ