Chapter 4: Special Probability Distributions and Densities

4.1 Discrete Uniform Distribution Def 1: ตัวแปรสุ่ม X จะมีการแจกแจงแบบ discrete uniform distribution หรือเป็น discrete uniform r.v. ก็ต่อเมื่อ pdf of X เป็น f(x) = for x = x1, x2, …, xk; where xi xj when i j

4.2 Bernoulli Distribution Def 2: ตัวแปรสุ่ม X จะมีการแจกแจงแบบ Bernoulli distribution ก็ต่อเมื่อ pdf of X เป็น for x = 0, 1 และ

4.3 Binomial Distribution Def 3: ตัวแปรสุ่ม X จะมีการแจกแจงแบบ Binomial Distribution ก็ต่อเมื่อ pdf of X เป็น for x = 0, 1,…, n และ NOTE: Binomial Expansion สำหรับตัวเลขจำนวนนับใดๆ

Th’m 3: Moment-generating function ของ binomial distribution จะมีค่าเป็น

4.4 Geometric Distribution Def 4: ตัวแปรสุ่ม X จะมี Geometric distribution ก็ต่อเมื่อ pdf of X เป็น for x = 1, 2, 3, … และ

4.4 Geometric Distribution Def 4: ตัวแปรสุ่ม X จะมี Geometric distribution ก็ต่อเมื่อ pdf of X เป็น for x = 1, 2, 3, … และ ค่าเฉลี่ย & ความแปรปรวนของ Geometric r.v. และ

4.5 Hypergeometric Distribution Def 5: ตัวแปรสุ่ม X จะมี Hypergeometric distribution ก็ต่อเมื่อ pdf of X เป็น for x = 0, 1, 2,…, n และ

4.6 Poisson distribution ตัวแปรสุ่มที่เกิดขึ้นเมื่อเราพิจารณาจำนวนครั้งที่เกิดขึ้นของเหตุการณ์ที่เราสนใจ (ความสำเร็จ) ภายในช่วงระยะเวลา (หรือพื้นที่/ความยาว/ปริมาตร) ที่ต่อเนื่องกันช่วงหนึ่ง Ex: - จำนวนอุบัติเหตุที่เกิดขึ้นต่อเดือนในเขต กทม. - จำนวนครั้งที่มีผู้โทร 1133 ในแต่ละวัน - จำนวนเด็กที่เกิดในประเทศไทยในหนึ่งวัน

4.6 Poisson distribution คุณสมบัติของ Poisson Distribution (ซึ่งมี parameter ) 1. เมื่อเราแบ่งช่วงเวลา/พื้นที่ให้เล็กลงมากๆ ความน่าจะเป็นของการเกิดขึ้นของความสำเร็จในช่วงเวลาสั้นๆ ดังกล่าว จะเป็นสัดส่วนโดยตรงกับขนาดของช่วงเวลานั้นๆ --> ความน่าจะเป็นที่จะเกิดความสำเร็จในช่วงเวลาสั้นๆ h จะประมาณได้ด้วย 2. ความน่าจะเป็นที่จะเกิดความสำเร็จมากกว่าหนึ่งครั้งในช่วงเวลาสั้นๆมีค่าน้อยมาก (ประมาณศูนย์) 3. จำนวนครั้งของความสำเร็จที่เกิดขึ้นในสองช่วงเวลาซึ่งไม่ทับซ้อนกัน (non-overlapping) จะเป็นอิสระต่อกัน

4.6 Poisson distribution Def 6: ตัวแปรสุ่ม X จะมี Poisson distribution ก็ต่อเมื่อ pdf of X เป็น for x = 0,1,2,… ค่าเฉลี่ย & ความแปรปรวนของ poisson distribution และ

Th’m 4: Moment-generating function ของ poisson distribution จะมีค่าเป็น

คุณสมบัติของค่า e

4.7 Multinomial distribution Binomial: พิจารณาการทดลองซ้ำ n ครั้ง โดยการทดลองแต่ละครั้งมีผลการทดลองอยู่ 2 แบบ (สำเร็จ/ล้มเหลว) Multinomial: พิจารณาการทดลองซ้ำ n ครั้ง โดยแต่ละครั้งมีผลการทดลองอยู่ k แบบ - Prob ของการเกิดผลการทดลองแต่ละแบบมีค่าคงที่ (เท่ากันทุกการทดลอง) - ผลการทดลองแต่ละครั้งเป็นอิสระต่อกัน ตัวแปรสุ่ม Xi = จำนวนครั้งของการเกิดผลการทดลองแบบ i (i = 1, 2, …, k) จะมีการกระจายตัวแบบ Multinomial

4.7 Multinomial distribution Def 7: ตัวแปรสุ่ม จะมี Multinomial distribution ก็ต่อเมื่อ joint pdf เป็น for = 0,1,2,…,n where and

4.8 Multivariate Hypergeometric distribution Def 8: ตัวแปรสุ่ม จะมี Multivariate Hypergeometric distribution ก็ต่อเมื่อ joint pdf เป็น for and where and

4.9 Continuous Uniform Distribution Def 9: ตัวแปรสุ่ม Xจะมี continuous uniform distribution ก็ต่อเมื่อ pdf of X เป็น for elsewhere ค่าเฉลี่ย & ความแปรปรวนของ continuous uniform distribution คือ และ

4.10 Gamma, Exponential and Chi-Square Distributions Def 10: ตัวแปรสุ่ม X จะมี Gamma distribution ก็ต่อเมื่อ pdf of X เป็น for x > 0 elsewhere where and for

Def 11: ตัวแปรสุ่ม X จะมี Exponential distribution ก็ต่อเมื่อ pdf of X เป็น for x > 0 elsewhere where NOTE: Exponential Dist = Gamma Dist with

Def 12: ตัวแปรสุ่ม X จะมี Chi-square distribution ก็ต่อเมื่อ pdf of X เป็น for x > 0 elsewhere *** คือ degrees of freedom NOTE: Chi-Sq Dist = Gamma Dist with

Th’m 5: The rth about the origin of the gamma distribution คือ และ

ค่าเฉลี่ย & ค่าความแปรปรวน ของ exponential distribution คือ และ ค่าเฉลี่ย & ค่าความแปรปรวน ของ chi-square distribution คือ

Th’m 6: The moment generating fn of the gamma distribution คือ

4.11 Beta distribution Def 13 : ตัวแปรสุ่ม X จะมี beta distribution ก็ต่อเมื่อ pdf of X เป็น for 0 < x < 1 elsewhere where and

ค่าเฉลี่ย & ค่าความแปรปรวน ของ beta distribution คือ และ

for 4.12 Normal Distribution Def 14: ตัวแปรสุ่ม X จะมี normal distribution ก็ต่อเมื่อ pdf of X เป็น for where Symmetry

Th’m 7: The moment generating fn of the normal distribution คือ

Def 15: Standard normal distribution คือ normal distribution ที่มี ค่าเฉลี่ย และส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน --> pdf of Standard Normal r.v.

Th’m 8: ถ้า X มี normal distribution โดยที่ mean และ sd จะได้ว่าตัวแปรสุ่ม จะเป็น standard normal distribution

การประมาณค่า Binomial ด้วย Normal Distribution “De Moivre - Laplace Limit Theorem” Th’m 9: ถ้าตัวแปรสุ่ม X มี binomial distribution โดยมี parameter n และ ( ) จะได้ว่าสำหรับ ค่าคงที่ a และ b ใดๆ

Th’m 10: คุณสมบัติของ MGF 1. MX(t) = MY(t) ก็ต่อเมื่อ pdf of X = pdf of Y 2. ถ้า lim ของ MX(t) มีค่าเข้าสู่ MY(t) จะได้ว่า lim ของ pdf of X มีค่าเข้าใกล้ pdf of Y Standardized binomial จะเข้าใกล้ standard normal distribution เมื่อ (และ มีค่าที่ไม่ใกล้เคียง 0 หรือ 1 จนเกินไป)

5.6The Bivariate Normal Distribution Def 16: ตัวแปรสุ่ม X และ Y คู่หนึ่งมี bivariate normal distribution ก็ต่อเมื่อ joint pdf เป็น for and where and

คุณสมบัติสำคัญของ Bivariate Normal Distribution 1. Joint pdf ถูกกำหนดด้วย parameter 5 ตัว: 2. Marginal pdf of X จะเป็น Normal Dist ซึ่งมี 3. Marginal pdf of Y จะเป็น Normal Dist ซึ่งมี 4. = Correlation Coeff. แสดงถึง corr ของ r.v. X & Y

5. Conditional pdf of Y given X=x จะเป็น Normal Dist ซึ่งมี 6. Conditional pdf of X given Y=y จะเป็น Normal Dist ซึ่งมี 7.ถ้า X & Y เป็น bivariate normal, X & Y จะเป็นอิสระต่อกัน ก็ต่อเมื่อ (หรือ cov(X,Y) = 0)