บทนิยาม1.1 ให้ m, n น 0 เป็นจำนวนเต็ม n หาร m ลงตัวก็ต่อเมื่อ มี c ฮ Z ซึ่ง m = nc เรียก n ว่า ตัวหาร (divisor) ตัวหนึ่งของ m ใช้ n|m แทน " n หาร m ลงตัว.

Slides:



Advertisements
งานนำเสนอที่คล้ายกัน
สาระที่ 1 จานวนและการดาเนินการ
Advertisements

ค33212 คณิตศาสตร์คอมพิวเตอร์ 6
ระบบจำนวนจริง(Real Number)
ลิมิตและความต่อเนื่อง
ลำดับลู่เข้า และลำดับลู่ออก
บทที่ 3 ลำดับและอนุกรม (Sequences and Series)
ความต่อเนื่อง (Continuity)
การดำเนินการของลำดับ
ลำดับทางเดียว (Monotonic Sequences)
ลำดับโคชี (Cauchy Sequences).
เรื่อง เซต ความหมายของเซต การเขียนเซต ชนิดของเซต สับเซตและเพาเวอร์เซต
Number Theory (part 1) ง30301 คณิตศาสตร์ดิสครีต.
เอกนาม เอกนามคล้าย การบวกลบเอกนาม การคูณและหารเอกนาม
ชื่อสมบัติของการเท่ากัน
อินทิกรัลของฟังก์ชันตรีโกณมิติแบบแน่นอน
Data Structures and Algorithms
Data Structures and Algorithms
ตัวอย่าง Flowchart.
บทเรียนคอมพิวเตอร์ช่วยสอน (CAI)
ทฤษฎีจำนวนเบื้องต้น โดย ครูภรเลิศ เนตรสว่าง โรงเรียนเทพศิรินทร์
จำนวนนับ และการบวก การลบ การคูณ การหารจำนวนนับ
นางสาวสุพรรษา ธรรมสโรช
อสมการ.
ผศ.ดร.เจษฎา ตัณฑนุช โทร
ทฤษฏีกราฟเบื้องต้น ชั้นมัธยมศึกษาปีที่ 5.
จำนวนจริง F M B N ขอบคุณ เสถียร วิเชียรสาร.
คณิตศาสตร์ธุรกิจ วันอังคาร 9:00-12:00 น. กลุ่ม 1 ห้อง B1138
จำนวนนับใดๆ ที่หารจำนวนนับที่กำหนดให้ได้ลงตัว เรียกว่า ตัวประกอบของจำนวนนับ จำนวนนับ สามารถเรียกอีกอย่างว่า จำนวนเต็มบวก หรือจำนวนธรรมชาติ ซึ่งเราสามารถนำจำนวนนับเหล่านี้มา.
เทคนิคการอินทิเกรต การหาปริพันธ์โดยแยกเศษส่วนย่อย
บทพิสูจน์ต่างๆ ทางคณิตศาสตร์
แฟกทอเรียล (Factortial)
นิยาม, ทฤษฎี สับเซตและพาวเวอร์เซต
ค33212 คณิตศาสตร์คอมพิวเตอร์ 6
ตัวผกผันการคูณของเมทริกซ์
คุณสมบัติการหารลงตัว
ค31212 คณิตศาสตร์สำหรับ คอมพิวเตอร์ 2
ค33211 คณิตศาสตร์สำหรับ คอมพิวเตอร์ 5
ค33211 คณิตศาสตร์สำหรับ คอมพิวเตอร์ 5
การหาตัวหารร่วมมาก โดยใช้รูปแบบบัญญัติ
ค33211 คณิตศาสตร์สำหรับ คอมพิวเตอร์ 5
ค33212 คณิตศาสตร์คอมพิวเตอร์ 6
จำนวนเต็มกับการหารลงตัว
ค33211 คณิตศาสตร์สำหรับ คอมพิวเตอร์ 5
ค33211 คณิตศาสตร์สำหรับ คอมพิวเตอร์ 5
ค33212 คณิตศาสตร์คอมพิวเตอร์ 6
การพิจารณาจำนวนเฉพาะ
การแยกตัวประกอบพหุนาม
โดย : อาจารย์พงศกร ละฟู่ สังกัดระดับชั้นมัธยมศึกษาปีที่ 5
บทเรียนสาระการเรียนรู้คณิตศาสตร์ โดยใช้โปรแกรม Microsoft Multipoint
บทที่ 1 ลิมิตของฟังก์ชัน
การพัฒนาสมการไดโอแฟนไทน์กำลังสอง
z  1 ( mod 2 ) ก็ต่อเมื่อ z2  1 ( mod 2 )
เทคนิคการตั้งคำถามที่ดี (Using Effective Question Techniques)
การให้เหตุผล การให้เหตุผลทางคณิตศาสตร์ที่สำคัญ มี 2 วิธี ได้แก่
ตัวประกอบ (Factor) 2 หาร 8 ลงตัว 3 หาร 8 ไม่ลงตัว 4 หาร 8 ลงตัว
ฟังก์ชันเอ็กซ์โพเนนเชียล โรงเรียนจุฬาภรณราชวิทยาลัย เชียงราย
วิธีเรียงสับเปลี่ยนและวิธีจัดหมู่
ปรีชา เนาว์เย็นผล ศึกษาศาสตร์ มสธ.
ตัวประกอบของจำนวนนับ
หลักการและวิธีการแก้ปัญหาด้วยกระบวนการเทคโนโลยีสารสนเทศ
ขั้นตอนวิธีของยุคลิด
Set Operations การกระทำระหว่างเซต
สาระการเรียนรู้ที่ ๒ การเชื่อมประพจน์
ค่าความจริงของประโยคที่มีตัวบ่งปริมาณ 2 ตัว
สื่อการสอนด้วยโปรมแกรม “Microsoft Multipoint”
วิธีเรียงสับเปลี่ยนและวิธีจัดหมู่
บทที่ 1 จำนวนเชิงซ้อน.
เศษส่วนของพหุนาม การทำให้อยู่ในรูปเศษส่วนอย่างต่ำ
วิธีเรียงสับเปลี่ยนและวิธีจัดหมู่
ติว ม. 6 วันที่ 15 ก.ค 2558.
ใบสำเนางานนำเสนอ:

บทนิยาม1.1 ให้ m, n น 0 เป็นจำนวนเต็ม n หาร m ลงตัวก็ต่อเมื่อ มี c ฮ Z ซึ่ง m = nc เรียก n ว่า ตัวหาร (divisor) ตัวหนึ่งของ m ใช้ n|m แทน " n หาร m ลงตัว " ทฤษฎีบท 1.2 สำหรับจำนวนเต็ม a, b, c ใด ๆ จะได้ว่า  1. ถ้า a น 0 แล้ว  a|0 , a|a  2.  a|1 ก็ต่อเมื่อ a = 1 หรือ -1  3. ถ้า a |b และ c|d แล้ว ac | bd  4. ถ้า a|b และ b|c แล้ว a|c 5.  ถ้า a|b  แล้ว a|bc 6. ถ้า a|b  ก็ต่อเมื่อ  ac|bc    ทุก  c น 0 7.  ถ้า a |b และ  b น 0 แล้ว  |a| ฃ |b| 8.  ถ้า a | b และ a|c แล้ว a | (bx +cy)  ทุกจำนวนเต็ม x, y

ตัวอย่าง ทฤษฎีบท 1.3 ขั้นตอนวิธีการหาร(Division Algorithm) ให้ m, n ฮ Z , n น 0 จะมีจำนวนเต็ม q , r ชุดเดียว ซึ่ง m = nq + r โดย 0 ฃ r < | n | เรียก q ว่า ผลหาร (the quotient) และ r ว่า เศษ (the remainder) ตัวอย่าง บทนิยาม1.4 ให้ a,b ฮ Z-{0} จะได้ว่า d ฮ Z+ จะเป็น ตัวหารร่วมมาก ( ห.ร.ม.) ของ a, b ก็ต่อเมื่อ 1. d | a และ d |b และ 2. ถ้า c ฮ Z ซึ่ง c|a และ c|b แล้ว c|d แทน ห.ร.ม. ที่เป็นบวกของ a,b ด้วย gcd(a,b) บทนิยาม 1.5 ให้ a ,b ฮ Z-{0} จะกล่าวว่า a และ b เป็นจำนวนเฉพาะสัมพัทธ์(relatively prime) ก็ต่อเมื่อ gcd(a,b) = 1 ทฤษฎีบท 1.6 ให้ a,bฮ Z-{0} และ d = gcd(a,b) ดังนั้นจะ มีจำนวนเต็ม m,n ซึ่งทำให้ ma + nb = d ทฤษฎีบท 1.7 ให้ a,bฮ Z-{0} จะได้ว่า gcd(a,b) = 1 ก็ต่อเมื่อ มีจำนวนเต็ม m,n ซึ่งทำให้ ma + nb = 1

ทฤษฎีบท 1.8 ถ้า d = gcd(m,n) และ m = Md, n = Nd จะได้ 1 = gcd(M,N) ทฤษฎีบท1.9 (Euclid ‘ s Lemma ) ถ้า a | bc และ gcd(a,b) = 1 แล้ว a | c ทฤษฎีบท 1.10 ให้ a , b ฮ Z-{0} และ kเป็นจำนวนเต็มใด ๆ แล้ว gcd (a,b) = gcd (a,b+ka ) ทฤษฎีบท 1.11 ให้ a , b ฮ Z-{0} จะได้ว่า ถ้า a = bq+r แล้ว gcd (a,b) = gcd ( b , r ) ตัวอย่าง บทนิยาม 1.12 จำนวนเต็ม p น 0 จะเป็นจำนวนเฉพาะ ก็ต่อเมื่อ p น 1 , p น -1 และถ้า x ฮ Z ซึ่ง x | p แล้ว x ฮ { 1, -1, p, -p } ทฤษฎีบท 1.13  m,n ฮ Z และ p เป็นจำนวนเฉพาะ ถ้า p|mn แล้ว p|m หรือ p|n ทฤษฎีบท 1.14 ( หลักการมีตัวประกอบชุดเดียว) ทุกจำนวนเต็ม n > 1 จะสามารถแยกตัวประกอบเฉพาะ ดังต่อไปนี้ได้รูปเดียว n = p1c1p2c2p3c3...pkck ซึ่ง p1<p2<p3<...<pk และทุกตัวเป็นจำนวนเฉพาะ

บทนิยาม 1. 15 ให้ a , b ฮ Z-{0} , c ฮ Z+ จะเป็น ตัวคูณร่วมน้อย ( ค. ร บทนิยาม 1.15 ให้ a , b ฮ Z-{0} , c ฮ Z+ จะเป็น ตัวคูณร่วมน้อย ( ค.ร.น.) ของ a, b ก็ต่อเมื่อ 1. a|c และ b|c และ 2. ถ้า d ฮ Z ซึ่ง a|d และ b|d แล้ว c|d แทน ค.ร.น. ที่เป็นบวกของ a, b ด้วย lcm[a,b] ทฤษฎีบท 1.16  ถ้า d = gcd (m,n) และ c = lcm[m,n] แล้ว dc = mn

ต่อไปจะแสดงว่า r < b

ทฤษฎีบท 1.6 ให้ a,bฮ Z-{0} และ d = gcd(a,b) ดังนั้นจะ มีจำนวนเต็ม m,n ซึ่งทำให้ ma + nb = d

ทฤษฎีบท 1.7 ให้ a,bฮ Z-{0} จะได้ว่า gcd(a,b) = 1 ก็ต่อเมื่อ มีจำนวนเต็ม m,n ซึ่งทำให้ ma + nb = 1 พิสูจน์ (->) สมมติว่า gcd(a,b) = 1 โดยทฤษฎีบท1.6 จะได้ว่ามีจำนวนเต็ม x และ y ซึ่ง 1 = ax + by (<- ) สมมติว่ามีจำนวนเต็ม x,y ซึ่ง 1 = ax + by ให้ d = gcd(a,b) ดังนั้น d | a และ d | b โดยทฤษฎีบท จะได้ว่า d | (ax + by) นั้นคือ d | 1 เนื่องจาก d เป็นจำนวนเต็มบวก จึงได้ว่า d = 1 นั้นคือ gcd(a,b) = 1

2) จำนวนเต็ม m และ n ซึ่ง gcd(1024, 364) = 1024m + 364n วิธีทำ 1) เนื่องจาก 1024 = (364)(2) + 296 364 = (296)(1) + 68 296 = (68)(4) + 24 68 = (24)(2) + 20 24 = (20)(1) + 4 20 = (4)(5) ดังนั้น gcd(1024,364) = 4 2) จากข้อ (1) จะได้ว่า 4 = 24 – (20)(1) = 24 – [68 – (24)(2)](1) = (24)(3) – (68)(1) = [296-(68)(4)](3) – (68)(1) = (296)(3) – (68)(13) = (296)(3) – (364 – 296)(13) = (296)(16) – (364)(13) = [1024 – (364)(2)](16) – (364)(13) = (1024)(16) + (364)(-45) ดังนั้น m = 16 และ n = -45

การบ้าน จงหา 1. จำนวนเต็ม m และ n ซึ่ง gcd(414, 662) = 414m + 662n