FAILURE CRITERIA OF ROCKS (1) Coulomb-Navier Criterion Navier ดัดแปลงกฎเกณฑ์การแตกหักของหินของ Coulomb (Max. shear stress principle) ‘ Normal stress ที่กระทำตั้งฉากกับ Failure plane นั้น จะทำให้ค่า Shear resistance เพิ่มขึ้นเป็นสัดส่วนซึ่งกันและกัน วัตถุจะแตกเมื่อแรงเฉือนบน shear plane มีค่าดังนี้ 664332 Engineering Geology I Lecture # 5 : Fialure Criteria of Rocks 664332 EG I Lecture Note # 5

. Shear Stress : จาก  = S0 -    Two Dimensional Case : . Normal Stress :  = (  1 +  3)/2 + ( 1 -  3)/2 . cos 2  . Shear Stress :  = (1 -  3)/2 . sin 2 จาก  = S0 -    ปรับย้าย ข้าง S0 และแทน ค่า  และค่า  และจัดเทอม จะได้ S0 =   +  = (  1+ 3)/2 + (  1- 3)/2 . (sin 2  +  cos 2) ---- (1)

ให้ S = Max. shear strength = d S0/ d = 0 ,(take diff equation (1)) ค่า tan 2 = 1/  …………. (2) จาก (1) and (2) แทนสมการ (2) ใน (1) จะได้เป็น So = 1 /2 [  + ( u2 +1)]1/2 + 3 /2 [ -(2 + 1)1/2] ……(3) ถ้า  = 0 สมการ (1) จะได้  = 45o จะได้ So = 1/2( 1 - 3) ถ้า  > 0 ,  < 45 o และถ้า  =  จะได้  = 0  จากทฤษฎีการแตกหัก shear strength สามารถแสดงความสัมพันธ์กับ Tensile , To , และ Compression , Co , ได้ โดยให้ 1 = To และ 3 = 0 (zero) จากสมการ (3) จะได้เป็น :- 664332 EG I Lecture Note # 5

So = To / 2 [  +(2+1)1/2] …………………… (A) Failure in tension So = To / 2 [  +(2+1)1/2] …………………… (A) สมการ (A) ใช้คำนวณหา shear strength เมื่อทราบ tensile strength ถ้าให้  3 = - C o และ  1 = 0 จะได้เป็น :- So = C o / 2 [( 2 + 1)1/2 -  ] ……………….. (B) Failure in compression = (B) จะได้เป็น [(Co / To) = {  + (2 + 1)1/2}/{(2 +1)1/2 - }]

สรุป Coulomb Criterion : Failure envelop For 2-D case :  n = 1/2 ( 1 +  3) + 1/2 ( 1 - 3) . cos 2 Friction () =  /  n Therefore ,  = w sin  / w cos = tan   = 1/2 ( 1-  3) .sin 2 1/2 ( 1 - 3) sin 2 =  o + [1/2 ( 1+ 3)+1/2 ( 1-  3).Cos 2 หรือ  1 = 2  o + 3[sin 2+ (1-cos 2)] 1 = 2  o +  3[(1+2)1/2+]/[(1+2)1/2-] = 2  o cos  + 3(1+sin ) / (1-sin )

tan  = (1+sin )/(1-sin ) c = 2o cos/(1-sin ) Ka = (1-sin)/(1+sin) (Active earth pressure) Ko = (1-sin) (Earth pressure at rest) Kp = (1+ sin )/(1-sin ) (Passive earth pressure) (See Soil Mechanics and Foundations)

MOHR’S THEORY OF FAILURE(1900) วัตถุจะเริ่มแตกหักเมื่อมีแรงเฉือน ,  , กระทำถึงจุดที่วัตถุจะรับได้สูงสุด แรงเฉือนที่ทำให้วัตถุแตกหักนี้ จะขึ้นกับแรง Normal Stress ที่กระทำในขณะนั้น นั่นคือ :  = f (n) หรือวัตถุจะแตกเมื่อ tensile principal stress เพิ่มถึงจุดสูงสุด นั่นคือ : 1 = T0 1 = tensile principal stress To = tensile strength

A t o B = envelope of the Mohr’s circle for  3  1 at failure. ในกรณีที่ Mohr’s envelope เป็นเส้นตรง จะได้ ทฤษฎีการแตกหักของ Mohr เหมือนกับทฤษฎีของ Coulomb นั่นคือ :

 = ( 0 + n tan ) Cohesion จาก tan  = cot 2 =  จะได้เป็น o =  (  o+   ) ซึ่งเหมือนกับ Coulomb’s Law

3. GRIFFITH’S THEORY (1921) Griffith’s criterion of failure : เมื่อวัตถุถูกแรงกระทำ จะเกิด microscopic cracks หรือรอยแตกเล็กๆ ภายในเนื้อวัตถุนั้น stress concentration จะเกิดขึ้นรอบ ๆปลายรอยแตกเล็กๆ นั้น ทำให้รอยแตกแพร่กระจาย ขยายกว้างออกไปเรื่อยๆ จนทำให้วัตถุนั้นฉีกขาดในที่สุด max = 2 0 (C/R)1/2 max = 2 0 (C/R)1/2 max = 2 0 (C/R)1/2

s1 Micro-cracks จะขยายตัวจนกลายเป็น fracture เมื่อ tensile stress ตรงปลายทั้งสองของ micro-cracksมีค่ามากกว่า tensile strength ของวัตถุ s3 s3 s1 4 st = s1 { (1 + tan2 f )1/2 - tan f} - s3 { (1 + tan2 f )1/2 + tan f} st = Tensile strength

see details in : Handbook on Mechanical Properties of Rocks. Vol. I , V.S. Vutukuri , R.D. Lama, S.S. Salaja.

Microcracks development when the rock specimen is subjected to stress. Steps in a real density of microcracks Increasing stress

Brittle shear fracture Extension fracture (1 bar) Brittle shear fracture (300 bar) Plastic failure (1 kbar) Types of failure observed in experimentally deformed limestone at varying confining pressure

End of Lecture 5 664332 Engineering Geology I L. Archwichai , GTE, KKU.