ลิมิตและความต่อเนื่อง (Limit and Continuity)

ลิมิตของฟังก์ชัน (Limit of Functions) แนวคิดการมีลิมิตของฟังก์ชัน f ที่ x0 มีค่าเป็นจำนวนจริง L นั้น อาจกล่าวว่า ฟังก์ชัน f มีค่าเข้าใกล้ L ได้ตามต้องการเสมอ เมื่อ x เข้าใกล้ x0 เพียงพอ โดยสนใจค่า f(x) ที่เกิดจาก x ในโดเมนที่ไม่ใช่ x0 แต่อยู่บริเวณใกล้เคียงกับ x0 ซึ่งทำให้ค่าของ f(x) สามารถเข้าใกล้ L

แสดงลิมิตของฟังก์ชัน f ที่ x0 มีค่าเท่ากับ L Y L+ L O L– y = f(x) X O O x0 x0– x0+ แสดงลิมิตของฟังก์ชัน f ที่ x0 มีค่าเท่ากับ L

บทนิยาม 4.1.1 ให้ f : D  , x0 เป็นจุดลิมิตของ D ฟังก์ชัน f จะเรียกว่า มีลิมิต เท่ากับ L ที่ x0 ก็ต่อเมื่อ สำหรับแต่ละ  > 0 จะมี  > 0 ซึ่งถ้า 0 < | x – x0 | <  และ xD แล้ว | f(x) – L | <  ฟังก์ชัน f มีลิมิตเท่ากับ L ที่ x0 เขียนแทนด้วย f(x) = L หรือ f(x) L เมื่อ x  x0

ข้อสังเกต 1. x0 เป็นจุดลิมิตของ D ดังนั้น x0 ไม่จำเป็นจะต้องเป็นสมาชิกของ D 2. xD ที่สอดคล้องกับ 0 < | x – x0 | <  หมายถึง 0 < –( x – x0 ) <  ดังนั้น x0 –  < x < x0 (2) 0 < ( x – x0 ) <  ดังนั้น x0 < x < x0 +  จาก (1) , (2) x( x0 – , x0 +  ) – { x0 } แสดงได้ดังรูป ( O ) x0 x0 –  x0 + 

3.  เป็นจำนวนจริงบวก เป็นตัวกำหนด f(x) ให้เข้าใกล้จำนวนจริง L ตาม ต้องการ แต่ละ  จะมี  > 0 (ซึ่งโดยทั่วไป  ขึ้นอยู่กับ  ,  เป็นตัว กำหนด x ที่เข้าใกล้ x0) ถ้า x( x0 – , x0 +  ) และ x  x0 ทำให้ f(x)( L – , L +  )

ตัวอย่าง 1 กำหนด f(x) = จงแสดงว่า f(x) = 4 วิธีทำ ให้  > 0 ต้องการหา  > 0 โดยที่ ถ้า 0 < | x – 2 | <  ทำให้ < 

พิจารณา = | x + 2 – 4 | = | x – 2 | เมื่อ x  2 เลือก  =  จึงได้ว่า ถ้า 0 < | x – 2 | <  ทำให้ = | x – 2 | <  นั่นคือ f(x) = 4 

ตัวอย่าง 2 กำหนด f(x) = x , x จงแสดงว่า f(x) = x0 ทำให้ | f(x) – x0 | = | x – x0 | <  นั่นคือ f(x) = x0

ตัวอย่าง 5 กำหนด f(x) = x2 + x – 1 จงแสดงว่า f(x) = 5 พิจารณา | f(x) – 5 | = | x2 + x – 1 – 5 | = | x – 2 | | x + 3 | ต้องการหาขอบเขตของ | x + 3 | เลือกพิจารณา   1 ได้ว่า ถ้า | x – 2 | < 1 ทำให้ 4 < x + 3 < 6 | x + 3 | < 6

ถ้า | x – 2 | <   1 ซึ่งทำให้ | x – 2 | | x + 3 | < 6 | x – 2 | เลือก  = min { 1, } จะได้ว่า ถ้า 0 < | x – 2 | <  ย่อมได้ว่า | x – 2 | < 1 ดังนั้น | ( x2 + x – 1 ) – 5 | = | x – 2 | | x + 3 | < 6 | x – 2 | <  นั่นคือ f(x) = 5 

ทฤษฎีบท 4.1.2 ให้ f : D  , x0 เป็นจุดลิมิตของ D ฟังก์ชัน f มีลิมิตที่ x0 ก็ต่อเมื่อ สำหรับแต่ละลำดับ ที่ลู่เข้าสู่ x0 เมื่อ xnD และ xn  x0 ทุกๆ n แล้วลำดับ เป็นลำดับลู่เข้า การพิสูจน์ สมมติ f มีลิมิตเท่ากับ L ที่ x0 และ เป็นลำดับใดๆในโดเมน D ที่ลู่เข้าสู่ x0 และ xn  x0 จะแสดงว่า เป็นลำดับลู่เข้า ให้  > 0 จะมี  > 0 ซึ่ง 0 < | x – x0 | <  , xD ทำให้ | f(x) – L | < 

และเนื่องจาก ลู่เข้าสู่ x0 โดยที่ xn  x0 สำหรับ n จะมีจำนวนเต็มบวก k ที่ | xn – x0 | <  , n  k ดังนั้น 0 < | xn – x0 | <  และ xnD ทำให้ | f(xn) – L | <  , n  k ลู่เข้า และลู่เข้าสู่ค่า L ในทางกลับกัน สมมติ สำหรับทุกๆลำดับ ที่ลู่เข้าสู่ x0 เมื่อ xnD และ xn  x0 นั่นคือ

สำหรับ n และ ลู่เข้าสู่ L จะแสดงว่า f มีลิมิตที่ x0 เท่ากับ L สมมติ L ไม่เป็นลิมิตของ f ที่ x0 ดังนั้นจะมี  > 0 ที่สำหรับทุกๆ  > 0 ที่ 0 < | x – x0 | <  , xD ทำให้ | f(x) – L |   พิจารณากรณีที่กำหนดลำดับดังนี้ สำหรับแต่ละจำนวนเต็มบวก n จะมี xnD ซึ่ง 0 < | xn – x0 | < ซึ่ง เป็นลำดับที่ xn  x0 และลู่เข้าสู่ x0 จึงทำให้ เป็นลำดับลู่เข้าสู่ L จึงเกิดการขัดแย้งที่ | f(xn) – L |   สำหรับทุกๆ n นั่นคือ f มีลิมิตที่ x0  ดังนั้น | f(xn) – L |  

ทฤษฎีบท 4.1.3 ให้ f : D มี x0 เป็นจุดลิมิตของ D ถ้าแต่ละลำดับ ที่ลู่เข้าสู่ x0 เมื่อ xnD – {x0} ทุกๆ n และลำดับ เป็นลำดับโคชี แล้ว f มีลิมิตที่ x0 การพิสูจน์ เนื่องจาก เป็นลำดับโคชี โดยทฤษฎีบท 3.6.4 ได้ว่า เป็นลำดับลู่เข้า และโดยทฤษฎีบท 4.1.2 ถ้าแต่ละ เป็นลำดับลู่เข้าสู่ x0 ที่ xnD – {x0} สำหรับทุกๆ n แล้วลำดับ เป็นลำดับลู่เข้า ทำให้ f มีลิมิตที่ x0 

ทฤษฎีบท 4.1.4 ให้ f : D , x0 เป็นจุดลิมิตของ D ถ้า f มีลิมิตที่ x0 แล้ว จะมีQ ซึ่งเป็นย่านของจุด x0 ที่ทำให้ฟังก์ชัน f เป็นฟังก์ชันมีขอบเขตบน QD การพิสูจน์ ให้ f(x) = L ให้  = 1 จะมี  > 0 ซึ่ง 0 < | x – x0 | <  และ xD ทำให้ | f(x) – L | < 1 ดังนั้น L – 1 < f(x) < L + 1 แยกพิจารณาเป็น 2 กรณี ถ้า x0D ให้ M = max { | L – 1 |, | L + 1 |, | f(x0) | }

ถ้า x0D ให้ M = max { | L – 1 |, | L + 1 | } และให้ Q = ( x0 – , x0 +  ) ซึ่งเป็นย่านของ x0 สำหรับ xQD ของทั้งสองกรณี ทำให้ | f(x) |  M นั่นคือ f มีขอบเขตบน QD 