การเคลื่อนที่แบบหมุน (Rotational Motion) ตัวอย่าง เช่น การหมุนของลูกข่าง การหมุนของพัดลม เป็นต้น วัตถุแข็งเกร็ง (rigid body) คือ วัตถุที่ไม่เปลี่ยนแปลงรูปร่างและขนาดตลอดการเคลื่อนที่ 1. จลศาสตร์ของการหมุน

ถ้าวัตถุมีการหมุนรอบแกน z ตำแหน่งเชิงมุมของวัตถุจะมีการเปลี่ยนแปลงไป (เมื่อใช้จุด p เป็นตัวแทนของวัตถุ) จะทำให้เกิดการกระจัดเชิงมุม (angular displacement)  ในช่วงเวลา t ขนาดความเร็วเชิงมุมเฉลี่ย ( average angular velocity ) ขนาดความเร็วเชิงมุมขณะใดขณะหนึ่ง (instantaneous angular velocity)

ขนาดความเร่งเชิงมุมเฉลี่ย (average angular acceleration) ความเร่งเชิงมุมขณะใดขณะหนึ่ง (instantaneous angular acceleration) ทิศของความเร่งเชิงมุมจะมีทิศเดียวกับความเร็วเชิงมุมเมื่อความเร็วเชิงมุมเพิ่มขึ้น ทิศของความเร่งเชิงมุมจะมีทิศตรงกันข้ามกับความเร็วเชิงมุมเมื่อความเร็วเชิงมุมลดลง

2. การหมุนด้วยความเร่งเชิงมุมคงตัว สมการการเคลื่อนที่แบบเส้นตรง สมการการเคลื่อนที่แบบหมุน

3. ความสัมพันธ์ระหว่างตัวแปรเชิงเส้นและตัวแปรเชิงมุม ตัวอย่างที่ 1 วงล้อรถกำลังหมุนด้วยความเร่งเชิงมุมคงที่ 3.5 rad/s2 ถ้าที่เวลา t = 0 ความเร็วเชิงมุมของวงล้อเท่ากับ 2.0 rad/s จงหา ก. ภายในช่วงเวลา 2 วินาที วงล้อหมุนกวาดมุมไปได้เท่าใด และหมุนได้กี่รอบ ข. ความเร็วเชิงมุมของวงล้อที่เวลา t = 2 วินาที 3. ความสัมพันธ์ระหว่างตัวแปรเชิงเส้นและตัวแปรเชิงมุม

ตัวอย่างที่ 2 โต๊ะตัวหนึ่งสามารถหมุนได้ ถ้าขณะที่เริ่มพิจารณา โต๊ะกำลังหมุนด้วยอัตราเร็วเชิงมุม 33 รอบ/นาที และหลังจากหมุนเป็นเวลา 20 วินาที จะหยุดนิ่ง ก. ถ้าสมมติให้ความเร่งเชิงมุมของโต๊ะตัวนี้มีค่าคงตัว จงหาความเร่งเชิงมุม ข. โต๊ะตัวนี้กวาดมุมไปเท่าไร ก่อนจะหยุดนิ่ง ค. ถ้ารัศมีของโต๊ะตัวนี้เท่ากับ 14 cm จงหาขนาดของความเร่งในแนวสัมผัสและความเร่งสู่ศูนย์กลางที่ตำแหน่งขอบโต๊ะ ที่เวลา t = 0 วินาที

4. พลังงานจลน์ของการหมุนและโมเมนต์ความเฉื่อย 4. พลังงานจลน์ของการหมุนและโมเมนต์ความเฉื่อย วัตถุแข็งเกร็งที่เคลื่อนที่แบบหมุนรอบแกนนิ่ง จะมีพลังงานจลน์ ซึ่งพลังงานจลน์ทั้งหมดจะเท่ากับผลรวมของพลังงานจลน์ของแต่ละอนุภาค เรียกเทอม ว่า โมเมนต์ความเฉื่อย มีหน่วยเป็น kg.m2 พลังงานจลน์ของการหมุน มีหน่วยเป็นจูล

สำหรับกรณีการหมุนของวัตถุที่มีการกระจายของมวลอย่างต่อเนื่อง วัตถุเชิงเส้นที่มีความหนาแน่นเชิงเส้น  วัตถุเชิงผิวที่มีความหนาแน่นเชิงผิว  และวัตถุเชิงปริมาตรที่มีความหนาแน่นเชิงปริมาตร V

ตัวอย่างที่ 3 แท่งวัตถุเล็กๆ มีมวล M และยาว L มีพื้นที่หน้าตัดและความหนาแน่นสม่ำเสมอ จะมีโมเมนต์ความเฉื่อยเป็นเท่าใด ถ้า ก. หมุนรอบแกนซึ่งผ่านปลายข้างหนึ่งและตั้งฉากกับแท่งวัตถุนั้น ข. หมุนรอบแกนซึ่งผ่านจุดกึ่งกลางและตั้งฉากกับแท่งวัตถุนั้น ตัวอย่างที่ 4 จงหาโมเมนต์ความเฉื่อยของวัตถุรูปทรงกระบอกกลวงรอบแกนที่เป็นแกนของทรงกระบอก โดยกำหนดให้ความหนาแน่นของทรงกระบอกคงที่ และทรงกระบอกมีมวล M รัศมีภายใน R1 และรัศมีภายนอก R2

รัศมีไจเรชัน (radius of gyration, RK) ตัวอย่างที่ 5 จงคำนวณหาโมเมนต์ความเฉื่อยของทรงกลมรัศมี R มวล M รอบแกนหมุนที่ผ่านจุดศูนย์กลางของทรงกลม รัศมีไจเรชัน (radius of gyration, RK) นิยามตามสมการ ตัวอย่าง รัศมีไจเรชันของทรงกลมรอบแกนหมุนที่ผ่านจุดศูนย์กลางมวล ตัวอย่าง รัศมีไจเรชันของทรงกระบอกตันที่หมุนรอบแกนของทรงกระบอก

5. ทฤษฎีบทแกนขนาน “ โมเมนต์ความเฉื่อยของวัตถุรอบแกนใดๆ มีค่าเท่ากับโมเมนต์ความเฉื่อยของวัตถุนั้นรอบแกนหมุนที่ผ่านจุดศูนย์กลางมวลและขนานกับแกนที่กำหนดให้บวกกับผลคูณระหว่างมวลของวัตถุนั้นกับกำลังสองของระยะห่างระหว่างแกนขนานนั้น ” โดยที่ Icm คือ โมเมนต์ความเฉื่อยของวัตถุมวล M รอบแกนที่ผ่านจุดศูนย์กลางมวล และ I เป็นโมเมนต์ความเฉื่อยของวัตถุรอบแกนซึ่งขนานกัน และห่างกันเป็นระยะ h จะได้ว่า

6. ทอร์ก (Torque) ถ้ามีแรงลัพธ์กระทำต่อวัตถุไม่ผ่านจุดศูนย์กลางมวลจะทำให้วัตถุเกิดการหมุน นิยาม มีหน่วยเป็น N.m ทิศทางของทอร์กเป็นไปตามกฎมือขวา

7. งาน พลังงาน กำลัง และทฤษฎีบทงาน - พลังงานจลน์ของการหมุน งานทั้งหมดที่เกิดขึ้นเมื่อมีการเปลี่ยนตำแหน่งเชิงมุมเนื่องจากทอร์ก ทฤษฎีบทงาน - พลังงานจลน์ สำหรับการหมุน กำลังของการหมุน

8. โมเมนตัมเชิงมุม (Angular Momentum) นิยาม มีหน่วยเป็น kg.m2/s ทิศทางของโมเมนตัมเชิงมุมเป็นไปตามกฎมือขวา “ อัตราการเปลี่ยนแปลงโมเมนตัมเชิงมุมมีค่าเท่ากับทอร์กของแรงสุทธิที่กระทำกับอนุภาค ”

กฎอนุรักษ์โมเมนตัมเชิงมุม “ เมื่อทอร์กลัพธ์ที่กระทำกับวัตถุเป็นศูนย์ โมเมนตัมเชิงมุมรวมของระบบจะมีค่าคงตัว “

9. การเคลื่อนที่แบบกลิ้ง (Rolling Motion) การเลื่อนตำแหน่ง + การหมุน = การกลิ้ง

+++++++++ จบบท +++++++++ พลังงานจลน์ของการกลิ้ง = พลังงานจลน์ของการเลื่อนตำแหน่ง + พลังงานจลน์ของการหมุน โดยอาศัยทฤษฎีบทแกนขนาน +++++++++ จบบท +++++++++

ตัวอย่างที่ 6 ทรงกระบอกตันรัศมี R มวล M หมุนได้อิสระรอบแกนของทรงกระบอกตามแนวระดับ ถ้ามีเชือกเส้นเล็ก ๆ และเบามากพันอยู่รอบผิวของทรงกระบอกนี้ โดยที่ปลายหนึ่งผูกตรึงไว้กับผิวของทรงกระบอกอีกปลายหนึ่งหย่อนลงข้างล่างและผูกกับวัตถุมวล m แกนหมุนอยู่กับที่ เมื่อปล่อยให้วัตถุเคลื่อนที่จากหยุดนิ่ง จงหา ความเร่งเชิงมุมของการหมุนของทรงกระบอก ความเร่งเชิงเส้นของมวล m งานที่กระทำโดยทอร์กเมื่อปล่อยให้วัตถุเคลื่อนที่เป็นเวลา t โมเมนตัมเชิงมุมเมื่อเวลา t

ตัวอย่างที่ 7 ล้อต้นมวล 6 kg รัศมี 0 ตัวอย่างที่ 7 ล้อต้นมวล 6 kg รัศมี 0.5 m หมุนได้รอบแกนผ่านศูนย์กลางมวลและขนานกับแนวราบ มีเชือกพาดล้อนี้และมีก้อนมวล 4 และ 3 kg ถ่วงปลายเชือกปลายละก้อน จงหา พลังงานจลน์ทั้งหมดเมื่อเคลื่อนที่จากหยุดนิ่งไปได้ 5 วินาที ความตึงในเส้นเชือก ตัวอย่างที่ 8 วัตถุเล็กๆ ก้อนหนึ่งมีมวล m ผูกติดกับปลายเชือกเล็กๆ และเบาซึ่งสอดผ่านท่อของหลอดรูปทรงกระบอกกลวง แล้วแกว่งให้หมุนเป็นวงกลมตามแนวระดับด้วยรัศมี r1 และอัตราเร็วคงที่ v1 เมื่อดึงเชือกลงทันทีทำให้รัศมีวงกลมลดลงเป็น r2 จงหาอัตราเร็วเชิงเส้นและอัตราเร็วเชิงมุมของวัตถุในขณะมีรัศมี r2 ในเทอมของ r1 , v1 และ r2

ตัวอย่างที่ 9 วัตถุกลมมีมวล M และรัศมีไจเรชัน k (อาจเป็นล้อหรือวัตถุทรงกลม) กลิ้งลงตามพื้นเอียง AB เริ่มต้นจากหยุดนิ่งที่จุด A ดังรูป เมื่อถึงจุด B วัตถุจะมีอัตราเร็วเชิงเส้นเป็นเท่าใด A h C B