บทที่7 ทฤษฎีกราฟเบื้องต้น 2. ดีกรีของจุดยอด จุดยอดคู่ และจุดยอดคี่ 2.3 จุดยอดคู่ และ จุดยอดคี่ นิยาม จุดยอดที่มีดีกรีเป็นจำนวนคู่ เรียกว่า จุดยอดคู่ (even vertex) จุดยอดที่มีดีกรีเป็นจำนวนคี่ เรียกว่า จุดยอดคี่ (odd vertex) จุดยอดที่มีดีกรี 0 เรียกว่า จุดยอดเอกเทศ (isolated vertex) ถือว่าเป็นจุดยอดคู่ จุดยอดที่มีดีกรี 1 เรียกว่า จุดยอดปลาย (end vertex)

บทที่7 ทฤษฎีกราฟเบื้องต้น 2. ดีกรีของจุดยอด จุดยอดคู่ และจุดยอดคี่ 2.4 จุดยอดคี่ นิยาม กราฟทุกกราฟจะมีจุดยอดคี่เป็นจำนวนคู่เสมอ พิจารณากราฟเป็น 2 กรณี 1. กราฟที่ไม่มีจุดยอดเป็นจำนวนคี่ (0) 2. กราฟที่มีจุดยอดเป็นจำนวนคี่

บทที่7 ทฤษฎีกราฟเบื้องต้น 3. โครงสร้างของกราฟและการเชื่อมโยง 3.1 แนวเดิน นิยาม แนวเดิน u - v (u - v walk) คือ ลำดับของจุดและเส้นสลับกัน โดยเริ่มต้นด้วยจุด u และสิ้นสุดด้วยจุด v และแต่ละเส้นในลำดับจะอยู่ติดกับจุดที่อยู่หน้าและหลังของเส้นนั้น a, e1, b, e2 , c, e3, d, e4, e เป็นแนวเดิน a – e เส้นแนวเดิน a - e อาจเขียนเป็น a, ab, b, be, c, cd, d, de, e ก็ได้ จากภาพเป็นกราฟอย่างง่าย หรือเป็นกราฟเชิงเดียว อาจ เขียนแนวเดินโดยเขียนลำดับของจุดเป็น a, b, c, d, e ก็

บทที่7 ทฤษฎีกราฟเบื้องต้น 3. โครงสร้างของกราฟและการเชื่อมโยง 3.1 แนวเดิน a,e1,b,e2,c,e3,d,e6,d เป็นแนวเดิน a - d a,e4,c,e3,d,e6,d เป็นแนวเดิน a - d a, e5, c, e2 , b เป็นแนวเดิน a - b Gt จากภาพเป็นกราฟหลายเชิง แนวเดินที่มีจุดเริ่มต้นและจุดสิ้นสุดใดๆ อาจมีได้หลายแนวเดิน ดังนั้น จึงต้อง เขียนแนวเดินจุด-เส้น-จุด-เส้น-จุดให้ชัดเจน

บทที่7 ทฤษฎีกราฟเบื้องต้น 3. โครงสร้างของกราฟและการเชื่อมโยง 3.2 ความยาวแนวเดิน ความยาวแนวเดินในเส้นทาง u-v คือ จำนวนเส้นเชื่อมในแนวเดิน u-v

บทที่7 ทฤษฎีกราฟเบื้องต้น 3. โครงสร้างของกราฟและการเชื่อมโยง 3.2 ความยาวแนวเดิน ความยาวแนวเดินในเส้นทาง u-v คือ จำนวนเส้นเชื่อมในแนวเดิน u-v

บทที่7 ทฤษฎีกราฟเบื้องต้น 3. โครงสร้างของกราฟและการเชื่อมโยง 3.3 รอยเดิน นิยาม รอยเดิน u - v (u - v trial) คือ แนวเดิน u - v ที่เส้นทั้งหมดแตกต่างกัน พิจารณากราฟ G : - แนวเดิน a, b, c, a เป็นรอยเดิน เนื่องจากประกอบด้วย เส้น e1,e2 และ e5 ซึ่งเป็นเส้นที่ไม่ซํ้ากัน - แนวเดิน a, b, c, d, b, c ไม่เป็นรอยเดิน เนื่องจากประกอบด้วย เน้น e1 e2, e3, e4, e2 ซึ่งมีเน้น e2 เป็นเส้นที่ซ้ำทัน ข้อสังเกต รอยเดินมีจุดซ้ำกันได้ แต่เส้นต้องไม่ซ้ำกัน

บทที่7 ทฤษฎีกราฟเบื้องต้น 3. โครงสร้างของกราฟและการเชื่อมโยง 3.4 วิถี นิยาม วิถี u - v (u - v path) คือ แนวเดิน u - v ที่จุดทั้งหมดแตกต่างกัน แนวเดิน a, b, c, d เป็นวิถี เพราะจุดทั้งหมดแตกต่างกัน แนวเดิน a, b, c, d, b, c ไม่เป็นวิถี เพราะมีจุด b และ c ซ้ำกัน ข้อสังเกต แนวเดินที่เป็นวิถี จะเป็นรอยเดินด้วย

บทที่7 ทฤษฎีกราฟเบื้องต้น 3. โครงสร้างของกราฟและการเชื่อมโยง 3.5 วงจร นิยาม วงจร (circuit) คือ รอยเดินที่จุดเริ่มต้นและจุดสุดท้ายเป็นจุดเดียวกัน พิจารณากราฟ G : a, b, e, a เป็นวงจร a, c, d, b เป็นวงจร a, b, c, d, b, e, a เป็นวงจร

บทที่7 ทฤษฎีกราฟเบื้องต้น 3. โครงสร้างของกราฟและการเชื่อมโยง 3.6 วัฏจักร นิยาม วัฏจักร (cycle) คือ วงจรที่ไม่มีจุดซํ้ากัน ยกเว้นจุดเริ่มต้นและจุดสุดท้าย พิจารณากราฟ G : a, b, e, a เป็นวัฏจักร b, c, d, b เป็นวัฏจักร เพราะเป็นวงจรที่ไม่มีจุดช้ำกัน ยกเว้นจุดเริ่มต้นและ จุดสุดท้าย แต่ a, b, c, d, b, e, a เป็นวงจรแต่ไม่เป็นวัฏจักร เพราะมี จุด b ซ้ำกัน

บทที่7 ทฤษฎีกราฟเบื้องต้น 3. โครงสร้างของกราฟและการเชื่อมโยง 3.7 กราฟเชื่อมโยงและองค์ประกอบของกราฟ นิยาม กราฟที่สำหรับจุดแต่ละสองจุด u และ v ที่ต่างกันมีแนวเดิน u - v เสมอ เรียกว่า กราฟเชื่อมโยง (connected graph) นั่นคือ ถ้าจุดยอดของกราฟ G เพียงคู่เดียวไม่มีแนวเดิน กราฟนั้นจะไม่เป็นกราฟเชื่อมโยง กราฟที่ไม่เชื่อมโยง จะสามารถแบ่งออกได้เป็นส่วนๆ โดยแต่ละส่วนเป็นกราฟเชื่อมโยง เรียกแต่ละ ส่วนย่อยนี้ว่า องค์ประกอบเชื่อมโยง (connected component) หรือเรียกสั้นๆ ว่า องค์ประกอบของกราฟ

บทที่7 ทฤษฎีกราฟเบื้องต้น 3. โครงสร้างของกราฟและการเชื่อมโยง 3.7 กราฟเชื่อมโยงและองค์ประกอบของกราฟ

บทที่7 ทฤษฎีกราฟเบื้องต้น 3. โครงสร้างของกราฟและการเชื่อมโยง 3.7 กราฟเชื่อมโยงและองค์ประกอบของกราฟ

บทที่7 ทฤษฎีกราฟเบื้องต้น 3. โครงสร้างของกราฟและการเชื่อมโยง 3.8 จุดยอดตัด นิยาม กำหนดให้ G เป็นกราฟเชื่อมโยง และ v เป็นจุดยอดในกราฟ ถ้า G-v เป็นกราฟไม่เชื่อมโยงเราจะเรียก v ว่าจุดยอดตัด

บทที่7 ทฤษฎีกราฟเบื้องต้น 3. โครงสร้างของกราฟและการเชื่อมโยง 3.9 เส้นเชื่อมตัด นิยาม กำหนดกราฟ G เป็นกราฟเชื่อมโยง และ e เป็นเส้นเชื่อมในกราฟ G ถ้ากราฟ G - e เป็นกราฟไม่เชื่อมโยง แล้วจะเรียกเส้นเชื่อม e ว่า เส้นเชื่อมตัด (cut edge)

บทที่7 ทฤษฎีกราฟเบื้องต้น 4. วงจรออยเลอร์,กราฟออยเลอร์และรอยเดินออยเลอร์ 4.1 วงจรออยเลอร์และกราฟออยเลอร์ นิยาม วงจรออยเลอร์ (Euler circuit) คือ วงจรที่ผ่านจุดยอดทุกจุด และผ่านเส้นเชื่อมทุกเส้นของกราฟ นิยาม กราฟออยเลอร์ (Euler graph) คือ กราฟที่มีวงจรออยเลอร์

บทที่7 ทฤษฎีกราฟเบื้องต้น 4. วงจรออยเลอร์,กราฟออยเลอร์และรอยเดินออยเลอร์ 4.1 วงจรออยเลอร์และกราฟออยเลอร์ ตัวอย่างที่ 8 จงพิจารณาว่ากราฟที่กำหนดให้เป็นกราฟออยเลอร์หรือไม่

บทที่7 ทฤษฎีกราฟเบื้องต้น 4. วงจรออยเลอร์,กราฟออยเลอร์และรอยเดินออยเลอร์ 4.1 วงจรออยเลอร์และกราฟออยเลอร์ ตัวอย่างที่ 8 จงพิจารณาว่ากราฟที่กำหนดให้เป็นกราฟออยเลอร์หรือไม่

บทที่7 ทฤษฎีกราฟเบื้องต้น 4. วงจรออยเลอร์,กราฟออยเลอร์และรอยเดินออยเลอร์ 4.1 วงจรออยเลอร์และกราฟออยเลอร์ ตัวอย่างที่ 8 จงพิจารณาว่ากราฟที่กำหนดให้เป็นกราฟออยเลอร์หรือไม่

บทที่7 ทฤษฎีกราฟเบื้องต้น 4. วงจรออยเลอร์,กราฟออยเลอร์และรอยเดินออยเลอร์ 4.1 วงจรออยเลอร์และกราฟออยเลอร์ ตัวอย่างที่ 9 ท่านสามารถข้ามสะพานให้ครบทุกสะพานโดยข้ามแต่ละสะพานเพียงครั้งเดียวและกลับมายังจุดเริ่มต้นใหม่ ตามแผนภาพดังรูป ได้หรือไม่

บทที่7 ทฤษฎีกราฟเบื้องต้น 4. วงจรออยเลอร์,กราฟออยเลอร์และรอยเดินออยเลอร์ 4.2 รอยเดินออยเลอร์ นิยาม รอยเดินออยเลอร์ (Euler trail) คือ รอยเดินที่ผ่านจุดยอดทุกจุดและผ่านเส้นเชื่อมทุกเส้นของกราฟ

บทที่7 ทฤษฎีกราฟเบื้องต้น 4. วงจรออยเลอร์,กราฟออยเลอร์และรอยเดินออยเลอร์ 4.2 รอยเดินออยเลอร์ รอยเดินออยเลอร์ไม่จำเป็นต้องเดินจนเป็นวงจร ดังนั้น รอยเดินออยเลอร์ไม่จำเป็นต้องให้จุดเริ่มต้นและจุด สุดท้ายเป็นจุดเดียวกัน นั่นคือกราฟเชื่อมโยงจะมีรอยเดิน ออยเลอร์ก็ต่อเมื่อ กราฟนี้มีจุดยอดที่มีดีกรีเป็นจำนวนคี่เป็น 0 หรือมีสองจุดก็ได้ กรณีที่กราฟไม่มีจุดยอดที่มีดีกรีเป็นจำนวนคี่ จะได้ว่า กราฟนั้นเป็นกราฟออยเลอร์ด้วย (เนื่องจากมีวงจรออยเลอร์) โดย จุดเริ่มต้นและจุดสิ้นสุดเป็นจุดเดียวกัน ส่วนกราฟที่มีจุดยอดที่มีดีกรีเป็นจำนวนคี่สองจุด จุดหนึ่งต้องเป็นจุดเริ่มต้น และอีกจุดหนึ่งจะเป็นจุดสิ้นสุดของรอยเดินออยเลอร์

บทที่7 ทฤษฎีกราฟเบื้องต้น 4. วงจรออยเลอร์,กราฟออยเลอร์และรอยเดินออยเลอร์ 4.2 รอยเดินออยเลอร์ ตัวอย่างที่ 10 จงพิจารณากราฟต่อไปนี้ว่าเป็นกราฟออยเลอร์หรือไม่ ถ้าไม่เป็นกราฟออยเลอร์แล้ว กราฟนั้นมีรอยเดินออยเลอร์หรือไม่ ถ้ามีจงหารอยเดินออยเลอร์

บทที่7 ทฤษฎีกราฟเบื้องต้น 4. วงจรออยเลอร์,กราฟออยเลอร์และรอยเดินออยเลอร์ 4.2 รอยเดินออยเลอร์ ตัวอย่างที่ 10 จงพิจารณากราฟต่อไปนี้ว่าเป็นกราฟออยเลอร์หรือไม่ ถ้าไม่เป็นกราฟออยเลอร์แล้ว กราฟนั้นมีรอยเดินออยเลอร์หรือไม่ ถ้ามีจงหารอยเดินออยเลอร์

บทที่7 ทฤษฎีกราฟเบื้องต้น 4. วงจรออยเลอร์,กราฟออยเลอร์และรอยเดินออยเลอร์ 4.2 รอยเดินออยเลอร์ ตัวอย่างที่ 10 จงพิจารณากราฟต่อไปนี้ว่าเป็นกราฟออยเลอร์หรือไม่ ถ้าไม่เป็นกราฟออยเลอร์แล้ว กราฟนั้นมีรอยเดินออยเลอร์หรือไม่ ถ้ามีจงหารอยเดินออยเลอร์

บทที่7 ทฤษฎีกราฟเบื้องต้น 4. วงจรออยเลอร์,กราฟออยเลอร์และรอยเดินออยเลอร์ 4.2 รอยเดินออยเลอร์ ตัวอย่างที่ 10 จงพิจารณากราฟต่อไปนี้ว่าเป็นกราฟออยเลอร์หรือไม่ ถ้าไม่เป็นกราฟออยเลอร์แล้ว กราฟนั้นมีรอยเดินออยเลอร์หรือไม่ ถ้ามีจงหารอยเดินออยเลอร์

บทที่7 ทฤษฎีกราฟเบื้องต้น 4. วงจรออยเลอร์,กราฟออยเลอร์และรอยเดินออยเลอร์ 4.3 การเพิ่มจำนวนเส้นเพื่อให้เป็นกราฟออยเลอร์

บทที่7 ทฤษฎีกราฟเบื้องต้น 4. วงจรออยเลอร์,กราฟออยเลอร์และรอยเดินออยเลอร์ 4.3 การเพิ่มจำนวนเส้นเพื่อให้เป็นกราฟออยเลอร์ ตัวอย่างที่ 11 กราฟที่กำหนดให้ จงพิจารณาว่าจะเพิ่มจำนวนเส้นเชื่อมที่น้อยที่สุดเข้าไปในกราฟทั้งหมดกี่เส้นจึงจะทำให้ให้เป็นกราฟออยเลอร์ และจงเพิ่มจำนวนเสันให้เห็นจริง

บทที่7 ทฤษฎีกราฟเบื้องต้น 4. วงจรออยเลอร์,กราฟออยเลอร์และรอยเดินออยเลอร์ 4.3 การเพิ่มจำนวนเส้นเพื่อให้เป็นกราฟออยเลอร์ ตัวอย่างที่ 11 กราฟที่กำหนดให้ จงพิจารณาว่าจะเพิ่มจำนวนเส้นเชื่อมที่น้อยที่สุดเข้าไปในกราฟทั้งหมดกี่เส้นจึงจะทำให้ให้เป็นกราฟออยเลอร์ และจงเพิ่มจำนวนเสันให้เห็นจริง

บทที่7 ทฤษฎีกราฟเบื้องต้น 4. วงจรออยเลอร์,กราฟออยเลอร์และรอยเดินออยเลอร์ 4.4 จำนวนครั้งของการยกปากกา การใช้ปากกาลากเส้นตามเส้นเชื่อมให้ครบทุกเส้น โดยห้ามยกปากกาขึ้น และห้ามใช้เส้นเชื่อมซ้ำ แต่ใช้จุด ช้ำได้ กราฟนั้นต้องมีรอยเดินออยเลอร์เท่านั้น ถ้ากราฟนั้นไม่มีรอยเดินออยเลอร์ก็ไม่สามารถใช้ปากกาลากเส้น เชื่อมตามเงื่อนไขโดยไม่ยกปากกา พบว่า จำนวนครั้งของการยกปากกา = จำนวนจุดยอดที่มีดีกรีเป็นจำนวนคี่ 2 - 1

บทที่7 ทฤษฎีกราฟเบื้องต้น 5.ต้นไม้กราฟย่อย,ต้นไม้แผ่ทั่วของกราฟ,กราฟที่มีนํ้าหนัก 5.1 ต้นไม้ นิยาม ให้ G เป็นกราฟเชิงเดี่ยว G เป็นต้นไม้ (Tree) เมื่อ G เป็นกราฟเชื่อมโยงที่ไม่มีวัฏจักร

บทที่7 ทฤษฎีกราฟเบื้องต้น 5.ต้นไม้กราฟย่อย,ต้นไม้แผ่ทั่วของกราฟ,กราฟที่มีนํ้าหนัก 5.1 ต้นไม้

บทที่7 ทฤษฎีกราฟเบื้องต้น 5.ต้นไม้กราฟย่อย,ต้นไม้แผ่ทั่วของกราฟ,กราฟที่มีนํ้าหนัก 5.1 ต้นไม้

บทที่7 ทฤษฎีกราฟเบื้องต้น 5.ต้นไม้กราฟย่อย,ต้นไม้แผ่ทั่วของกราฟ,กราฟที่มีนํ้าหนัก 5.1 ต้นไม้ ลักษณะเฉพาะของต้นไม้ 1. ถ้ากราฟ G มีวงวน แล้ว กราฟ G ไม่เป็นต้นไม้ 2. ถ้ากราฟ G เป็นต้นไม้ แล้ว สองจุดใดๆ ในกราฟ G เชื่อมโยงกันได้ด้วยวิถีเพียงวิถีเดียว 3. ถ้ากราฟ G เป็นต้นไม้ที่มีจุดยอด n จุดแล้ว กราฟ G จะมีจำนวนเส้นเชื่อม n - 1 เส้น

บทที่7 ทฤษฎีกราฟเบื้องต้น 5.ต้นไม้กราฟย่อย,ต้นไม้แผ่ทั่วของกราฟ,กราฟที่มีนํ้าหนัก 5.1 ต้นไม้ ตัวอย่างที่ 12 จงพิจารณาว่ากราฟใดเป็นต้นไม้

บทที่7 ทฤษฎีกราฟเบื้องต้น 5.ต้นไม้กราฟย่อย,ต้นไม้แผ่ทั่วของกราฟ,กราฟที่มีนํ้าหนัก 5.1 ต้นไม้ ตัวอย่างที่ 12 จงพิจารณาว่ากราฟใดเป็นต้นไม้

บทที่7 ทฤษฎีกราฟเบื้องต้น 5.ต้นไม้กราฟย่อย,ต้นไม้แผ่ทั่วของกราฟ,กราฟที่มีนํ้าหนัก 5.1 ต้นไม้ ตัวอย่างที่ 12 จงพิจารณาว่ากราฟใดเป็นต้นไม้

บทที่7 ทฤษฎีกราฟเบื้องต้น 5.ต้นไม้กราฟย่อย,ต้นไม้แผ่ทั่วของกราฟ,กราฟที่มีนํ้าหนัก 5.2 ป่า นิยาม ป่า (forest) คือ กราฟที่ปราศจากวัฏจักร ที่ประกอบด้วยองค์ประกอบอย่างน้อยหนึ่งองค์ประกอบ โดย แต่ละองค์ประกอบเป็นต้นไม้ กราฟที่ไม่เชื่อมโยงก็เป็นป่าได้ โดยที่ 1. แต่ละองค์ประกอบของป่า จะเป็นต้นไม้ 2. ต้นไม้ต้องเป็นป่า แต่ป่าที่มีมากกว่าหนึ่งองค์ประกอบไม่เป็นต้นไม้ 3. กราฟ G ที่เป็นป่าที่มี k องค์ประกอบ จะมีเน้นเชื่อมทั้งหมด 11 — k เส้น

บทที่7 ทฤษฎีกราฟเบื้องต้น 5.ต้นไม้กราฟย่อย,ต้นไม้แผ่ทั่วของกราฟ,กราฟที่มีนํ้าหนัก 5.2 ป่า ตัวอย่างที่ 12 จงพิจารณาว่ากราฟใดเป็นป่า พร้อมทั้งนับจำนวนจุดและเส้นเชื่อมในกราฟ

บทที่7 ทฤษฎีกราฟเบื้องต้น 5.ต้นไม้กราฟย่อย,ต้นไม้แผ่ทั่วของกราฟ,กราฟที่มีนํ้าหนัก 5.2 ป่า ตัวอย่างที่ 12 จงพิจารณาว่ากราฟใดเป็นป่า พร้อมทั้งนับจำนวนจุดและเส้นเชื่อมในกราฟ

บทที่7 ทฤษฎีกราฟเบื้องต้น 5.ต้นไม้กราฟย่อย,ต้นไม้แผ่ทั่วของกราฟ,กราฟที่มีนํ้าหนัก 5.3 ใบ นิยาม ในต้นไม้ใดๆ ที่มีจุดยอดที่มีดีกรี 1 เรียกว่า ใบ (leaf)

บทที่7 ทฤษฎีกราฟเบื้องต้น 5.ต้นไม้กราฟย่อย,ต้นไม้แผ่ทั่วของกราฟ,กราฟที่มีนํ้าหนัก จากนิยามของต้นไม้ ป่า และใบ ทำให้สรุปได้ว่า 1. กราฟจะเป็นต้นไม้ก็ต่อเมื่อ ระหว่างจุดยอดสองจุดใดๆ จะมีวิถีเชิงเดียวเพียงหนึ่งเส้นทาเท่านั้นที่เชื่อมจุดยอดทั้งสองนั้น 2. ต้นไม้ที่มีจุดยอดอย่างน้อยสองจุด จะมีใบอย่างน้อยสองใบ 3. ต้นไม้ที่มีอุดยอด n อุด จะมีเน้นเชื่อม n -1 เส้น 4. ถ้า G เป็นกราฟเชื่อมโยงที่มีอุดยอด n จุด และมีเส้นเชื่อม n - 1 เน้น แล้ว G ต้องเป็นต้นไม้

บทที่7 ทฤษฎีกราฟเบื้องต้น 5.ต้นไม้กราฟย่อย,ต้นไม้แผ่ทั่วของกราฟ,กราฟที่มีนํ้าหนัก 6.4 ต้นไม่แผ่ทั่วถึง นิยาม ต้นไม้แผ่ทั่ว (spanning tree) ใน G คือ กราฟย่อยของ G ซึ่งเป็นต้นไม้ และจุดยอดทั้งหมดเป็นจุดเดียวกันทับจุดยอดของ G

บทที่7 ทฤษฎีกราฟเบื้องต้น 5.ต้นไม้กราฟย่อย,ต้นไม้แผ่ทั่วของกราฟ,กราฟที่มีนํ้าหนัก 6.5 ค่าน้ำหนักของเส้นเชื่อม นิยาม กราฟ G เป็นกราฟที่มีน้ำหนัก เมื่อเส้นเชื่อมแต่ละเส้นใน G ถูกกำหนดด้วยจำนวนจริงที่ไม่เป็นลบ เรียก จำนวนจริงที่กำหนดบนเน้นเชื่อม e ว่า ค่านํ้าหนักของ e เขียนแทนด้วย w(e) วิถี a, b, d ผลรวมน้ำหนัก 3 + 6 = 9 วิถี a, e, b, c ผลรวมน้ำหนัก 2 + 4 + 4=10 วิถี a, e, b, d, c ผลรวมน้ำหนัก 2+ 4 + 6 + 5 = 17 วิถี a, b, e, d, c ผลรวมน้ำหนัก 3+ 4 + 5 + 5 = 17