บทที่ 4 การอินทิเกรต (Integration) Antiderivative (Indefinite Integral) Differential Equation And Modeling

Antiderivative (Indefinite Integral) นิยาม ฟังก์ชัน F(x) เป็น antiderivative ของ f(x) ถ้าหาก F’(x) = f(x) สำหรับทุก x ในโดเมนของ f เซ็ตของทุกๆ antiderivative ของ f เรียกว่า indefinite integral ของ f เทียบกับ x แสดงด้วย Integral sign integrand Variable of integration

The arbitrary constant ตัวอย่างที่ 1 จงหาค่า antiderivative The arbitrary constant วิธีทำ

ตารางแสดงค่า antiderivative

ตัวอย่างที่ 2 (เลือกค่า antiderivative จากตาราง)

ตัวอย่างที่ 3 (ตรวจสอบผลการอินทิเกรตโดยการหาอนุพันธ์) ?

ปัญหาค่าเริ่มต้น (Initial Value Problems) ปัญหาที่กำหนดอนุพันธ์ y’(x) และกำหนดค่าเริ่มต้น yo เมื่อ x=xo มาให้

ตัวอย่างที่ 4 จงหาเส้นโค้งที่มีความชันของเส้นสัมผัสที่จัด (x,y) ใดๆ เป็น 3x2 และผ่านจุด (1,-1) วิธีทำ The differential equation: The initial condition: General solution Initial condition Particular solution

การสร้างแบบจำลองทางคณิตศาสตร์ (Mathematical Modeling) กำหนดตัวแปร หาสมการอนุพันธ์ กำหนดค่าเงื่อนไขเริ่มต้น

ตัวอย่างที่ 5 บอลลูนกำลังลอยขึ้นด้วยอัตรา12 ฟุต/วินาที ที่ความสูง 80 ฟุต เหนือพื้น ก่อนที่จะโยนของลงมา ของจะตกถึงพื้นเมื่อเวลาใด? กำหนดให้ v(t) = ความเร็ว t = เวลา s(t)= ระยะความสูงจากพื้น สมการอนุพันธ์ ความเร่งเนื่อง จากแรงดึงดูดของโลก

ตัวอย่างที่ 5 (ต่อ) เงื่อนไขเริ่มต้น: v(0) = 12 แก้สมการ หาค่า C จากเงื่อนไขเริ่มต้น

ตัวอย่างที่ 5 (ต่อ) กำหนดสมการอนุพันธ์ กำหนดเงื่อนไขเริ่มต้น แก้สมการ แทนค่าเงื่อนไขเริ่มต้น

ตัวอย่างที่ 5 (ต่อ) หาเวลาที่ระยะทาง = 0

4.2 Integrating Rules, Integration by substitution

ตัวอย่างที่ 1

ตัวอย่างที่ 2 อินทีเกรตทีละเทอม

ตัวอย่างที่ 3 อินทีเกรต sin2x และ cos2x

ตัวอย่างที่ 4 ใช้ power rule

ตัวอย่างที่ 5 ปรับเปลี่ยนค่าคงที่

ตัวอย่างที่ 6 เปลี่ยนตัวแปร

ตัวอย่างที่ 7

ตัวอย่างที่ 8 เอกลักษณ์ตรีโกณฯ

4.3 การประมาณพื้นที่ใต้กราฟโดย finite Sums การหาอัตราการสูบฉีดเลือดของหัวใจทำได้โดยการฉีดสีย้อม (กำมันตรังสีที่ไม่ เป็นอันตราย) เข้าไปห้องขวาของหัวใจ เลือดจะไหลผ่านปอด แล้วกลับมาที่ หัวใจห้องซ้ายก่อนจะไหลออกเส้นเลือดใหญ่ ซึ่งจะเป็นจุดที่วัดความเข้มข้นของ สีย้อม

พื้นที่ใต้กราฟมีความหมายอะไร?

การประมาณปริมาตรของทรงกลม

การประมาณค่าเฉลี่ยของฟังก์ชันโดยพื้นที่ใต้การฟ

4.4 Riemann Sums and Definite Integral สัญลักษณ์ sigma

Riemann Sums

นิยามของ definite Integral ด้วยลิมิตของ Riemann Sums ให้ f เป็นฟัก์ชันที่นิยามในช่วง [a,b] ถ้าหากแบ่งออกเป็นช่วงย่อยๆด้วยตัว แบ่ง P และ ck อยู่ระหว่างแต่ละช่วงย่อย [xk-1,xk] ถ้าหากมีจำนวนจริง I ที่ทำให้ ไม่ว่าจะเลือกแบ่ง P และเลือก ck อย่างไรก็ได้ ดังนั้น f สามารถอินทิเกรตได้ในช่วง [a,b] และ I เป็นค่า Definite Integral ของ f

ทฤษฎีบทที่ 1 ทุกฟังก์ชันที่ต่อเนื่อง สามารถอินทิเกรตได้

การแสดงสัญลักษณ์ของ Definite Integration Differentiation Integration Upper limit lower limit

ตัวอย่างที่ 2 จงแสดง limit ในรูปของ Integration ในช่วงของ x = [-1,3] และ mk เป็นกึ่งกลาง ของช่วงที่ k

นิยาม พื้นที่ใต้กราฟ ถ้า y=f(x) ไม่มีค่าเป็นลบ และอินทีเกรตได้ในช่วง [a,b] จะได้ว่าพื้นที่ใต้ กราฟเป็น

ตัวอย่าง พิจารณาพื้นที่ใต้กราฟ y=x ในช่วง [a,b]

นิยาม ค่าเฉลี่ยของฟังก์ชัน ค่าเฉลี่ยของฟังก์ชัน f ในช่วง [a,b] คือ

ตัวอย่าง หาค่าเฉลี่ยฟังก์ชัน ในช่วง [-2,2]

กฎที่ใช้กับ definite integration

ตัวอย่าง

4.5 ทฤษฎีค่าเฉลี่ยและทฤษฎีพื้นฐาน ทฤษฎีค่าเฉลี่ยสำหรับการอินทีเกรตแบบมีขอบเขต (Mean Value Theorem for Definite Integrals) ถ้าหาก f ต่อเนื่องในช่วง [a,b] ดังนั้นจะต้องมีจุด c อย่างน้อย หนึ่งจุดที่

ตัวอย่าง หาค่าเฉลี่ยของฟังก์ชัน f(x)= 4 – x ในช่วง [0,3] และหาว่าจุดไหนของฟังก์ชันที่มีค่าเท่ากับ ค่าเฉลี่ย วิธีทำ

ทฤษฎีพื้นฐาน (fundamental theorem) ตอนที่ 1 ถ้า f ต่อเนื่องในช่วง [a,b] แล้ว ฟังก์ชัน จะหาอนุพันธ์ได้ตลอดช่วง [a.b] และ

ตัวอย่างที่ 3 จงหาค่า และ วิธีทำ

ตัวอย่างที่ 4 (chain rule) จงหา dy/dx เมื่อ วิธีทำ ให้ และจาก

ตัวอย่างที่ 5 จงหา (a) (b)

การอินทีเกรตเชิงเลขคณิตโดยวิธี trapezoidal ประมาณค่าอินทีเกรต ด้วย เมื่อ yi เป็นค่าของฟังก์ชันที่จุดแบ่ง โดยที่

ตัวอย่าง