หน่วยที่ 1 ปริมาณทางฟิสิกส์ และเวกเตอร์ หน่วยที่ 1 ปริมาณทางฟิสิกส์ และเวกเตอร์

ประเภทของปริมาณทางฟิสิกส์ 1. ปริมาณพื้นฐาน (basic quantity) 2. ปริมาณอนุพันธ์ (derived quantity) ปริมาณพื้นฐาน : เป็นปริมาณที่ได้จากการวัดโดยตรง เช่น มวลและความยาว ปริมาณอนุพันธ์ : เป็นปริมาณที่ได้จากการนำปริมาณพื้นฐานมาผสมผสานกัน เช่น แรงและงาน

ปริมาณพื้นฐาน 7 ชนิด

หน่วยวัด ความเร็ว มีหน่วย m/s โมเมนตัม มีหน่วย kg.m/s หน่วยอนุพัทธ์ คือ หน่วยที่มีหน่วยฐานหลายหน่วยมา เกี่ยวเนื่องกัน เช่น ความเร็ว มีหน่วย m/s โมเมนตัม มีหน่วย kg.m/s แรง มีหน่วย kg. m/s2 หรือ นิวตัน, N

คำอุปสรรค (prefixes) ใช้นำหน้าหน่วยเพื่อความสะดวกในการบอกขนาดของหน่วยที่มีขนาดใหญ่หรือเล็กมากๆ

ตัวอย่าง 300,000,000 เมตรต่อวินาที = 3 x108 เมตรต่อวินาที 60,000,000 g = 60 x106 g = 60 Mg = 60,000 x 103 g = 60,000 kg 10 km = 103 m 2 ms = 2 x 10-3 ms = 0.002 s

หน่วยวัด ถ้าต้องการเปลี่ยน km/h เป็น m/s จาก 1 km = 103 m 1 h = 3600 s การเปลี่ยนหน่วย ถ้าต้องการเปลี่ยน km/h เป็น m/s จาก 1 km = 103 m 1 h = 3600 s และ

กิจกรรม จงเปลี่ยนหน่วยเหล่านี้ให้ถูกต้อง กิจกรรม จงเปลี่ยนหน่วยเหล่านี้ให้ถูกต้อง 1 km = mm 1.5 nm = m 2.7 m3 = mm3 1.45 kN = mN 1.4 MHz = kHz

ชนิดของปริมาณทางฟิสิกส์ 1. ปริมาณสเกลาร์ (scalar quantity) 2. ปริมาณเวกเตอร์ (vecter quantity) ปริมาณสเกลาร์ : บอกขนาดอย่างเดียว ก็มีความหมายสมบูรณ์ เช่น ระยะทางและอัตราเร็ว ปริมาณเวกเตอร์ : ต้องบอกทั้งขนาดและทิศทางจึงจะมีความหมายสมบูรณ์ เช่น การกระจัดและความเร็ว *** การรวมปริมาณสเกลาร์สามารถรวมกันทางพีชคณิต เพื่อหาขนาดอย่าง เดียวแต่การรวมปริมาณเวกเตอร์ต้องพิจารณาทิศทางด้วย

2.1 สเกลลาร์และเวกเตอร์ (ต่อ) เวกเตอร์คือปริมาณที่มีขนาดและพร้อมทั้งการบ่งบอกทิศทาง สัญญาลักษณ์ของปริมาณเวกเตอร์ a ขนาดของเวกเตอร์ a = | a | เวกเตอร์ขนาดหนึ่งหน่วยในทิศของ a คือ ea = a / a ปริมาณทางฟิสิกส์ที่เป็นเวกเตอร์ได้แก่ การขจัด ความเร็ว ความเร่ง แรงชนิดต่างๆ

2.1 สเกลลาร์และเวกเตอร์ (ต่อ) การกลับทิศเวกตอร์ คูณเวกเตอร์ด้วย -1 a - a การย่อขนาดเวกเตอร์ คูณเวกเตอร์ด้วยจำนวนที่น้อยกว่า 1 เช่น 0.5 a การขยายขนาดเวกเตอร์ คูณเวกเตอร์ด้วยจำนวนที่มากกว่า 1 เช่น 1.5 a

2.2 เวกเตอร์ในระบบแกนอ้างอิง 2 และ 3 มิติ เวกเตอร์ในระบบแกนอ้างอิงตั้งฉาก 2 มิติ โดยที่ i และ j คือเวกเตอร์ขนาดหนึ่งหน่วยในแนวแกน x และ y ตามลำดับ | i | = | j | =1 y x i j

2.2 เวกเตอร์ในระบบแกนอ้างอิง 2 และ 3 มิติ (ต่อ) เวกเตอร์ a ใดๆใน 2 มิติเขียนได้ดังนี้ a = ax i + ay j โดยที่ ขนาดของเวกเตอร์ a ที่ฉายลงบนแกน x ≡ ax = a cos Ө ขนาดของเวกเตอร์ a ที่ฉายลงบนแกน y ≡ ay = a sin Ө y x ax ay ө a

2.2 เวกเตอร์ในระบบแกนอ้างอิง 2 และ 3 มิติ (ต่อ) สังเกตว่า ax2 + ay2 = a2 tan Ө = ay / ax

เวกเตอร์และสเกลาร์ พื้นฐาน

ปริมาณฟิสิกส์บางปริมาณ เมื่อวัดหาค่าความมากน้อย( ขนาด ) ก็สามารถสื่อความหมาย หรือนำมาคำนวณได้ แต่บางปริมาณต้องวัดทั้งขนาดและทิศทาง จึงจะสื่อความหมายหรือคำนวณได้ ปริมาณฟิสิกส์ที่วัดเฉพาะขนาด ก็สื่อความหมาย หรือคำนวณได้ เรียกว่า “ปริมาณฟิสิกส์ชนิดสเกลลาร์” เช่น ระยะทาง อัตราเร็ว มวล งาน พลังงาน กระแสไฟฟ้า ศักย์ไฟฟ้า ความดัน เป็นต้น

ปริมาณฟิสิกส์ที่ต้องวัด คำนวณ หรือสื่อความหมาย โดยคำนึงทั้งขนาดและทิศ เรียกว่า “ปริมาณฟิสิกส์ชนิดเวกเตอร์” เช่น การกระจัด ความเร็ว ความเร่ง แรง โมเมนตัม การดล สนามไฟฟ้า เป็นต้น

ดังนั้น ขณะศึกษา (เรียน) ฟิสิกส์จึงต้องคำนึงเสมอว่า เรากำลังยุ่งเกี่ยว หรือใช้ หรือบอก หรือคำนวณ ปริมาณฟิสิกส์ชนิดสเกลาร์หรือชนิดเวกเตอร์

การคำนวณเกี่ยวกับสเกลาร์ นำตัวเลขที่บอกค่ามากน้อย(ขนาด)มาคำนวณโดยใช้คณิตศาสตร์ที่เหมาะสม โดยไม่ต้องคำนึงถึงทิศทาง แต่บางปริมาณอาจต้องคำนึงทิศทางด้วย (ทิศทางจะไม่ซับซ้อน ส่วนมากจะไปทางซ้ายหรือขวา บนหรือลงล่าง)ซึ่งถ้าเป็นลักษณะนี้จะใช้หลักพืชคณิตแทนทิศทาง ตัวอย่าง วัตถุหนึ่งมีพลังงานความร้อนสะสมอยู่เดิม 100 จูล เมื่อนำไปเผาไฟพบว่า มีความร้อนไหลเพิ่มเข้าไปอีก 20 จูล จงหาว่าวัตถุมีพลังงานความร้อนรวมเป็นกี่จูล เฉลย ความร้อน = 100 + 20 = 120 จูล

ตัวอย่าง นายมนัสทำงานได้ 600 จูลภายในเวลา 5 นาที จงหากำลังของเขา ตัวอย่าง นายมนัสทำงานได้ 600 จูลภายในเวลา 5 นาที จงหากำลังของเขา

เฉลย สมมติทิศไปขวาเป็น + ตัวอย่าง สายไฟฟ้าเส้นหนึ่ง มีกระแสไหลไปทางขวา 5 A ขณะเดียวกันก็มีกระแสไหลสวนไปทางว้าย 200 mA จงหากระแสสุทธิหรือกระแสรวมในสายไฟฟ้าเส้นนี้ 5 A 200 mA เฉลย สมมติทิศไปขวาเป็น + กระแสรวม 4.8 A ไหลไปทางขวา ตอบ

การคำนวณเกี่ยวกับเวกเตอร์ ต้องนำตัวเลขค่าความมากน้อย(ขนาด) มาเขียนเป็นสัญลักษณ์ จากนั้นนำสัญลักษณ์ที่ได้มาคำนวณตามหลักคณิตศาสตร์เวกเตอร์ สัญลักษณ์เวกเตอร์ สัญลักษณ์คณิตศาสตร์ สัญลักษณ์ลูกศร ในรูปหนึ่งหน่วยเวกเตอร์ ในรูป

เหตุการณ์นี้ เขียนเป็นเวกเตอร์ ดังรูป วัตถุเคลื่อนที่ทิศดังรูป ด้วยความเร็ว 4 m/s เหตุการณ์นี้ เขียนเป็นเวกเตอร์ ดังรูป

วัตถุตกลงพื้นโลก ความเร็ว 6 m/s เหตุการณ์นี้เขียนเป็นเวกเตอร์อย่างไร

จึงนิยมเขียนสัญลักษณ์เวกเตอร์ในรูปสมการคณิตศาสตร์ แต่การเขียนปริมาณฟิสิกส์เป็นสัญลักษณ์ลูกศรลักษณะนี้ ไม่สะดวกเมื่อนำไปใช้งาน เพราะการเขียนลูกศรต้องใช้บริเวณพื้นที่กระดาษมาก จึงนิยมเขียนสัญลักษณ์เวกเตอร์ในรูปสมการคณิตศาสตร์

การเขียนสัญลักษณ์เวกเตอร์ในรูป วิธีนี้นิยมใช้กันมาก เพราะสะดวก และสื่อความหมายได้ชัดเจน และใช้ระบบแกนพิกัดฉากคาร์ทิเซียนที่คนทั่วไปคุ้นเคย

ความหมายของ คือเวกเตอร์หนึ่งหน่วย ตามแกน +x แทนเวกเตอร์หนึ่งหน่วย ตามแกน +y แทนเวกเตอร์หนึ่งหน่วย ทิศตามแกน +z แทนเวกเตอร์หนึ่งหน่วย ทิศตามแกน - x แทนเวกเตอร์หนึ่งหน่วย ทิศตามแกน -y แทนทิศตามแกน - z

ระบบพิกัดคาร์ทิเซียน xyz

รถยนต์แล่นความเร็ว 4 m/s ดังรูป เหตุการณ์นี้เขียนเป็นสัญลักษณ์เวกเตอร์ได้ดังนี้ +z -x -y +y +x -z

เคลื่อนที่ลงความเร็ว 10 m/s เหตุการณ์นี้เขียนเป็นสัญลักษณ์เวกเตอร์ได้ดังนี้

วัตถุเคลื่อนที่ไปซ้าย ความเร็ว 4 m/s +z -x -y +y เหตุการณ์นี้เขียนเป็นสัญลักษณ์เวกเตอร์ได้ดังนี้ +x -z

วัตถุเคลื่อนที่ขึ้นบน ความเร็ว 4 m/s +z -x -y +y เหตุการณ์นี้เขียนเป็นสัญลักษณ์เวกเตอร์ได้ดังนี้ +x -z

วัตถุเคลื่อนที่ออกมา ความเร็ว 4 m/s +z -x -y +y เหตุการณ์นี้เขียนเป็นสัญลักษณ์เวกเตอร์ได้ดังนี้ +x -z

วัตถุเคลื่อนที่เข้า ความเร็ว 4 m/s +z -x -y +y เหตุการณ์นี้เขียนเป็นสัญลักษณ์เวกเตอร์ได้ดังนี้ +x -z

วัตถุเคลื่อนที่บนระนาบ xy ความเร็ว 4 m/s เหตุการณ์นี้เขียนเป็นสัญลักษณ์เวกเตอร์ได้ดังนี้ +z -x -y +y 45 +x -z คิดอย่างไร

+y วิธีคิด 4sin45 4 +z 45 +x 4cos45 -x -y +y 45 4sin45 4 4cos45 +x -z

วัตถุเคลื่อนที่บนระนาบ xy ความเร็ว 4 m/s +z -x -y +y 45 4cos45 -y +x -z 4 4sin45 เหตุการณ์นี้เขียนเป็นสัญลักษณ์เวกเตอร์ได้ดังนี้ คิดเอง +x

การเขียนสัญลักษณ์เวกเตอร์ในรูปเวกเตอร์หนึ่งหน่วย

เวกเตอร์หนึ่งหน่วย ( Unit vector) เป็นเวกเตอร์หนึ่งหน่วยของเวกเตอร์ใด คือเวกเตอร์ที่มีขนาด 1 หน่วย เมื่อเทียบกับเวกเตอร์นั้น และมีทิศทางเดียวกับเวกเตอร์นั้น เวกเตอร์หนึ่งหน่วยของ เวกเตอร์หนึ่งหน่วยของ

เราสามารถเขียนสัญลักษณ์เวกเตอร์ ในรูปเวกเตอร์หนึ่งหน่วยได้ เราสามารถเขียนสัญลักษณ์เวกเตอร์ ในรูปเวกเตอร์หนึ่งหน่วยได้ หรือ หรือ

ตัวอย่าง สัญลักษณ์เวกเตอร์ปริมาณฟิสิกส์ใช้บ่อย ๆ หน่วย แรงทั่วไป N แรงตึงเชือก แรงเสียดทาน แรงโน้มถ่วง หรือ น้ำหนัก ความเร็ว m/s ความเร่ง m/s2 โมเมนตัม Kg.m/s การดล

ในตรงข้าม ถ้าเขียนสัญลักษณ์เวกเตอร์มา เราต้องนึกภาพได้ ในตรงข้าม ถ้าเขียนสัญลักษณ์เวกเตอร์มา เราต้องนึกภาพได้

ให้เขียนภาพเวกเตอร์ต่อไปนี้ เฉลยให้ดูเป็นบางรูป

เฉลย +z -x -y +y -y +x -z

มิติของเวกเตอร์ 1 มิติ เวกเตอร์ทั้งหมดอยู่ในแนวเดียวกัน แนวแกนใดแกนหนึ่ง เพียงแนวเดียว ( สวนกันได้ )

มิติการเคลื่อนที่ (ต่อ) 2 มิติ เวกเตอร์ทั้งหมดอยู่ในระนาบเดียวกัน ตัวอย่าง คนเดินบนพื้นโลก จิ้งจกเดินบนผนัง

มิติการเคลื่อนที่ (ต่อ) 3 มิติ เวกเตอร์ทั้งหมดอยู่ในแนวใดก็ได้ +z -x -y +y +x -z

3 มิติการเคลื่อนที่ (ต่อ) +z -x -y +y +x -z

3 มิติการเคลื่อนที่ (ต่อ) +z -x -y +y +x -z

3 มิติการเคลื่อนที่ (ต่อ) +z -x -y +y +x -z

3 มิติการเคลื่อนที่ (ต่อ) ตัวอย่าง นกบินในอากาศ ปลาว่ายในน้ำ คนเดินขึ้นลงอาคารหรือพื้นโลกสูงๆต่ำๆ เป็นต้น +z -x -y +y +x -z

2.3 การรวมเวกเตอร์ การรวมเวกเตอร์ ทำได้ 2 วิธีคือ 1. โดยวิธีเขียนรูปภาพ 2. โดยวิธีการรวมตามส่วนประกอบ

2.3 การรวมเวกเตอร์ (ต่อ) 1.โดยวิธีเขียนรูปภาพ นำหางเวกเตอร์ตัวหนึ่งไปต่อกับหัวเวกเตอร์อีกตัวหนึ่ง เวกเตอร์ลัพธ์ คือ เส้นตรงที่ลากจากหางของเวกเตอร์ตัวแรก ไปยังหัวของ เวกเตอร์ตัวสุดท้าย

2.3 การรวมเวกเตอร์ (ต่อ) สมมุติว่า a และ b เป็นเวกเตอร์ใดๆ การรวมกันทำได้ดังรูปข้างล่างนี้ จากรูปจะเห็นว่า a + b = b + a หมายความว่า เราสามารถสลับลำดับของการรวมเวกเตอร์ได้ a b a + b

2.3 การรวมเวกเตอร์ (ต่อ) สมมุติว่า d, e และ f เป็นเวกเตอร์ใดๆ การรวมกันทำได้ดังรูปข้างล่างนี้ จากรูปจะเห็นว่า d + (e + f) = (d + e) + f หมายความว่า เราสามารถสลับกลุ่มของการรวมเวกเตอร์ได้ d e f d + e e + f d + e + f

2.3 การรวมเวกเตอร์ (ต่อ) ประโยชน์ของการรวมเวกเตอร์โดยรูป 1.ในกลศาสตร์ การรวมแรงโดยรูปทำให้เห็นภาพของแรงลัพธ์ที่กระทำต่อวัตถุ 2.ถ้านำเวกเตอร์แรงทั้งหลายต่อกันแล้วไม่ได้เป็นรูปหลายเหลี่ยมปิด แสดงว่าแรงลัพธ์ที่กระทำต่อวัตถุไม่เป็นศูนย์ วัตถุจะไม่อยู่ในสมดุลของแรงและมีการเคลื่อนที่ด้วยความเร่งตามทิศของแรงลัพธ์ 3.แต่ถ้านำเวกเตอร์แรงทั้งหลายต่อกันแล้วได้เป็นรูปหลายเหลี่ยมปิด แสดงว่าแรงลัพธ์ที่กระทำต่อวัตถุเป็นศูนย์ วัตถุจะอยู่ในสมดุลของแรงและจะอยู่กับที่หรือเคลื่อนที่ด้วยความเร็วคงที่

2.3 การรวมเวกเตอร์ (ต่อ) 2. โดยวิธีการรวมตามส่วนประกอบ เช่น a = ax i + ay j + az k b = bx i + by j + bz k จะได้ว่า a + b = (ax + bx) i + (ay + by) j + (az + bz) k

2.4 การคูณเวกเตอร์ การคูณเวกเตอร์ตัวหนึ่งเข้ากับเวกเตอร์อีกตัวหนึ่งมี 2 แบบคือ 1. ผลคูณสเกลาร์ (Scalar product) 2. ผลคูณเวกเตอร์ (Vector product)

2.4 การคูณเวกเตอร์ (ต่อ) 1. ผลคูณสเกลาร์ (Scalar product) ผลคูณสเกลาร์คือการคูณเวกเตอร์สองตัวแล้วได้ผลลัพธ์เป็นปริมาณ สเกลาร์ ซึ่งมีนิยามในการคูณดังนี้ a  b = ab cos Ө โดยที่เวกเตอร์ a และ b มีขนาดเท่ากับ a และ b ตามลำดับ และ Ө เป็นมุมระหว่างเวกเตอร์ทั้งสอง สังเกตว่า a  b = b  a

2.4 การคูณเวกเตอร์ (ต่อ) จากนิยามผลคูณสเกลาร์ a  b = ab cos Ө จะเห็นว่า ถ้า i, j และ k เป็นเวกเตอร์หนึ่งหน่วยในแนวแกน x, y และ z แล้ว i  i = 12 cos 0° = 1 ในทำนองเดียวกัน j  j = k  k = 1 แต่ว่า i  j = i  k = j  k = 0 เนื่องจากว่า cos 90° = 0

2.4 การคูณเวกเตอร์ (ต่อ) ในกรณีที่เวกเตอร์ a และ b เขียนในเทอมของส่วนประกอบดังนี้ a = ax i + ay j + az k b = bx i + by j + bz k จะได้ว่า a  b = ax bx + ay by + az bz ดังนั้นขนาดของเวกเตอร์ a ใดๆ a  a = a2 = ax2 + ay2 + az2 a = (ax2 + ay2 + az2)1/2 เวกเตอร์ขนาดหนึ่งหน่วยในทิศของ a คือ ea = a / a

2.4 การคูณเวกเตอร์ (ต่อ) ความหมายของผลคูณสเกลาร์เป็นไปได้ 2 ทาง a  b = a (b cos Ө) = b (a cos Ө) a b Ө b cos Ө a b Ө a cos Ө

2.4 การคูณเวกเตอร์ (ต่อ) ผลคูณเวกเตอร์ (Vector product) ผลคูณเวกเตอร์คือการคูณเวกเตอร์สองตัวแล้วได้ผลลัพธ์เป็นปริมาณเวกเตอร์ตัวใหม่ซึ่งตั้งฉากกับระนาบของเวกเตอร์ทั้งสองดังรูปข้างล่างนี้ a b c = a  b Ө c′ = b  a

2.4 การคูณเวกเตอร์ (ต่อ) ผลคูณเวกเตอร์มีสัญญลักษณ์ในการคูณเป็นดังนี้ c = a  b โดยที่ขนาดของเวกเตอร์ c คำนวณได้ตามนิยามนี้ c = |a  b| = ab sin Ө สังเกตว่า b  a = - a  b

2.4 การคูณเวกเตอร์ (ต่อ) i k j ตามรูปและนิยามของขนาดข้างต้น ถ้า i, j และ k เป็นเวกเตอร์หนึ่งหน่วยในแนวแกน x, y และ z แล้วจะได้ว่า i  j = k = - j  i j  k = i = - k  j k  i = j = - i  k เนื่องจากว่า sin 90° = 1 สังเกตว่า i  i = j  j = k  k = 0 เนื่องจากว่า sin 0° = 0 i k j

2.4 การคูณเวกเตอร์ (ต่อ) ในกรณีที่เวกเตอร์ a และ b เขียนในเทอมของส่วนประกอบดังนี้ a = ax i + ay j + az k b = bx i + by j + bz k จะได้ว่า a  b = (ay bz - az by ) i + (az bx - ax bz ) j + (ax by - ay bx ) k =

ผลคูณสเกลาร์ของเวกเตอร์หนึ่งหน่วย a  b i j k 1

ผลคูณเวกเตอร์ของเวกเตอร์หนึ่งหน่วย a  b i j k -j -k -i