Chapter Objectives Chapter Outline การเขียนสมการสมดุลของวัตถุแข็งเกร็ง (rigid body, RBD) FBD สำหรับ RBD การแก้ปัญหาสมดุลของ RBD โดยใช้สมการสมดุล Chapter Outline Conditions for Rigid-Body Equilibrium Free-Body Diagrams Equations of Equilibrium Two and Three-Force Members Free Body Diagrams (3D) Equations of Equilibrium (3D) Constraints and Statical Determinacy

5.1 Conditions for Rigid-Body Equilibrium สมดุลของวัตถุสามารถเขียนได้ว่า จากบทที่ 4 สามารถเขียนโมเมนต์รอบจุด A ใด ๆ ได้ คือ พิจารณาสมดุลที่จุดไหน ๆ ก็ใช้ด้วยสมการเหมือนกันคือ

5.2 Free Body Diagrams Support Reactions (แรงปฏิกิริยาที่ฐานรองรับ) หากฐานรองรับต้านการเคลื่อนที่ของวัตถุในทิศทางใด จะเกิดแรงกระทำต่อวัตถุที่ทิศทางนั้น หากฐานรองรับต้านการหมุนของวัตถุ จะเกิดโมเมนต์แรงคู่ควบกระทำต่อวัตถุ

5.2 Free Body Diagrams cable weightless link roller

5.2 Free Body Diagrams roller or pin in confined smooth slot rocker smooth connecting surface member pin connected To collar on smooth rod

member fixed connected 5.2 Free Body Diagrams smooth pin or hinge member fixed connected To collar on smooth rod fixed support

Supports for 2D system แรง 1 แนว แรง 2 แนว แรง 2 แนว + โมเมนต์ 1 แกน

5.2 Free Body Diagrams แรงภายใน มีทั้งแรงภายนอกและแรงภายในกระทำต่อ rigid body สำหรับ FBD, แรงภายในที่เกิดขึ้นระหว่างอนุภาคในขอบเขตของ FBD ไม่ต้องเขียนแสดงทุกจุด อนุภาคนอกขอบเขตของ FBD กระทำเป็นแรงภายนอกต่อวัตถุนั้น

น้ำหนักและจุดศูนย์กลางโน้มถ่วง (Weight and Center of Gravity) 5.2 Free Body Diagrams น้ำหนักและจุดศูนย์กลางโน้มถ่วง (Weight and Center of Gravity) พิจารณาว่าแต่ละอนุภาคมีน้ำหนักของตัวมันเอง วัตถุประกอบขึ้นจากอนุภาครวมกัน น้ำหนักรวมของระบบสามารถแทนด้วย แรงตัวเดียว เรียกเป็นน้ำหนัก W ของวัตถุ ตำแหน่งที่แรงกระทำเรียกว่า center of gravity (จุดศูนย์กลางโน้มถ่วง)

5.2 Free Body Diagrams Procedure for Drawing a FBD 1. วาดโครงร่างของวัตถุ พิจารณาว่าวัตถุแยกเป็นอิสระจากการยึดรั้งทั้งหมดที่มันมีอยู่ 2. แสดงแรงและโมเมนต์คู่ควบทั้งหมด แสดงแรงภายนอกและโมเมนต์คู่ควบทั้งหมดที่กระทำต่อวัตถุ น้ำหนักของวัตถุแสดงเป็นแรงในแนวดิ่งทิศลงที่ตำแหน่งจุดศูนย์กลางโน้มถ่วง 3. ระบุแรงและระยะทาง แสดงขนาดและทิศทางของแรงและโมเมนต์คู่ควบ แตกองค์ประกอบตามแกน x, y แสดงระยะบนวัตถุสำหรับการหาโมเมนต์

Example 5.1 Draw the free-body diagram of the uniform beam. The beam has a mass of 100kg.

Solution FBD

5.3 Equations of Equilibrium For equilibrium of a rigid body in 2D, ∑Fx and ∑Fy represent sums of x and y components of all the forces ∑MO represents the sum of the couple moments and moments of the force components

5.3 Equations of Equilibrium Sets of Equilibrium Equations For coplanar equilibrium problems, ∑Fx = 0; ∑Fy = 0; ∑MO = 0 2 alternative sets of 3 independent equilibrium equations, ∑Fx = 0; ∑MA = 0; ∑MB = 0 (A, B ไม่อยู่บนเส้นที่ตั้งฉากกับ x) ∑MA = 0; ∑MB = 0 ; ∑MC = 0 (A, B, C ไม่อยู่บนเส้นตรงเดียวกัน)

5.3 Equations of Equilibrium Procedure for Analysis Free-Body Diagram แรงหรือโมเมนต์คู่ควบที่เป็น unknown ให้แสดงตำแหน่งและแนวกระทำไว้ แสดงระยะบนวัตถุที่จำเป็นต่อการหาค่าโมเมนต์ Equations of Equilibrium ∑MO = 0 รอบจุด O สร้างระบบแกน x, y แบบที่ทำให้การแตกองค์ประกอบของแรงต่าง ๆ ทำง่ายที่สุด ผลลัพท์แบบสเกลลาร์หากมีเครื่องหมายลบแสดงว่าทิศที่สมมติใน FBD ผิด และต้องกลับทิศสำหรับคำตอบ

Example 5.5 Determine the horizontal and vertical components of reaction for the beam loaded. Neglect the weight of the beam in the calculations. (A is a roller and B is a hinge support.)

Solution

Solution Equations of Equilibrium

5.4 Two- and Three-Force Members Two-Force Members คือชิ้นส่วนที่ถูกแรงภายนอกกระทำที่ 2 จุดเท่านั้น (และไม่มีโมเมนต์คู่ควบ) สำหรับสมดุล แรงทั้งสองต้องมีขนาดเท่ากันทิศตรงข้าม และอยู่ในแนวของเส้นแรงเดียวกัน จึงมีตัวแปรเดียวคือขนาดของแรง Not O.K. Not O.K. O.K. แรงต้องอยู่ในแนวเส้นที่ลากระหว่างปลายทั้งสองของชิ้นส่วน

5.4 Two- and Three-Force Members แรงต้องมีจุดร่วมกัน หรือขนานกัน

Example 5.13 The lever ABC is pin-supported at A and connected to a short link BD. If the weight of the members are negligible, determine the force of the pin on the lever at A.

Solution Free Body Diagrams BD is a two-force member Lever ABC is a three-force member Equations of Equilibrium Solving,

5.5 Free-Body Diagrams (3D) แรงปฏิกิริยาที่ฐาน (Support Reactions) สำหรับปัญหาใน 3 มิติ: แรงปฏิกิริยาเกิดขึ้นที่ฐานรองรับ หากที่ฐานนั้นมีการต้านทานการหมุนโมเมนต์คู่ควบจะเกิดขึ้น แนวของแรง นิยามด้วยมุมα, β และ γ

5.5 Free-Body Diagrams

5.5 Free-Body Diagrams

Example 5.14 Several examples of objects along with their associated free-body diagrams are shown. In all cases, the x, y and z axes are established and the unknown reaction components are indicated in the positive sense. The weight of the objects is neglected.

5.6 Equations of Equilibrium (3D) สมการเวกเตอร์สำหรับสมดุล 2 เงื่อนไขสมดุลสำหรับ rigid body ในรูปแบบเวกเตอร์, ∑F = 0 ∑MO = 0 สมการสเกลลาร์สำหรับสมดุล สำหรับแรงภายนอกและโมเมต์คู่ควบทุกตัวที่เขียนในรูปคาร์ทีเชียนเวกเตอร์ ∑F = ∑Fxi + ∑Fyj + ∑Fzk = 0 ∑MO = ∑Mxi + ∑Myj + ∑Mzk = 0

5.7 Constraints for a Rigid Body Redundant Constraints (การยึดรั้งส่วนเกิน) มีการยึดรั้งจากฐานมากกว่าจำนวนที่ต้องการสำหรับสมดุล Statically indeterminate: จำนวนแรงที่เป็น unknown มีมากกว่าจำนวนสมการที่สามารถใช้แก้ปัญหาได้

5.7 Constraints for a Rigid Body Improper Constraints (การยึดรั้งที่ไม่เหมาะสม) การไม่เสถียรภาพของระบบ เกิดจากการยึดรั้งที่ไม่เหมาะสมจากที่รองรับ หากแรงที่เกิดที่ฐานรองรับเป็นแรงที่มีจุดร่วมกัน วัตถุนั้นจะไม่เสถียรภาพเนื่องจากการยึดรั้งที่ไม่เหมาะสม

5.7 Constraints for a Rigid Body Procedure for Analysis Free Body Diagram วาดโครงร่างของวัตถุ แสดงแรงและโมเมนต์คู่ควบที่กระทำต่อวัตถุ แสดง unknown ทุกตัว ในแนวทางบวก (สมมุติขึ้นก่อน) แสดงระยะที่จำเป็นในการคำนวณโมเมนต์ Equations of Equilibrium ใช้สมการสมดุลแบบสเกลลาร์หรือแบบเวกเตอร์ เลือกใช้ระบบพิกัดที่เหมาะสมในการหาผลรวมของแรง และสำหรับผลรวมของโมเมนต์ (ไม่จำเป็นต้องเป็นระบบแกนแบบเดียวกัน โดยควรเลือกให้แกนสำหรับผลรวมของโมเมนต์ผ่านแนวของแรง unknown หลายๆ ตัว)

Example 5.15 The homogenous plate has a mass of 100kg and is subjected to a force and couple moment along its edges. If it is supported in the horizontal plane by means of a roller at A, a ball and socket joint at B, and a cord at C, determine the components of reactions at the supports.

Solution Free Body Diagrams Five unknown reactions acting on the plate Each reaction assumed to act in a positive coordinate direction Equations of Equilibrium

Solution Equations of Equilibrium

Solution Solving,