หน่วยการเรียนรู้ที่ 9 เส้นขนาน เรื่อง เส้นขนานและมุมแย้ง คณิตศาสตร์ (ค32101) ชั้นมัธยมศึกษาปีที่ 2 หน่วยการเรียนรู้ที่ 9 เส้นขนาน เรื่อง เส้นขนานและมุมแย้ง สอนโดย ครูชนิดา ดวงแข

กันและมีเส้นตัด แล้วมุมแย้ง จะมีขนาดเท่ากัน ทฤษฎีบท ถ้าเส้นตรงสองเส้น ขนาน กันและมีเส้นตัด แล้วมุมแย้ง จะมีขนาดเท่ากัน

= และ = Q P A ˆ D Q P B ˆ C จากรูป AB // CD PQ เป็นเส้นตัด , จะได้ว่า

+ = 180ํ + = 180ํ ˆ 1 2 ˆ 3 4 ถ้าเส้นตรงสองเส้นขนานกันและมี เส้นตัด แล้วขนาดมุมภายในที่อยู่ บนข้างเดียวกันของเส้นตัดรวมกัน เป็น 180 องศา A 1 ˆ 2 + = 180ํ P B 3 1 3 ˆ 4 + = 180ํ 4 2 Q D C

+ = 180ํ 1 ˆ 2 3 4 ถ้า AB และ CD PQ เป็นเส้นตัด มี หรือ ทำให้ แล้ว

C B A ˆ 115 D C B ˆ 105 E D C ˆ 5) จากรูป กำหนดให้ BA // DE ถ้า = = D C B ˆ = 105 และ E D C ˆ จงหาขนาดของ A B 115 C F 105 D E

C B A ˆ 115 D C B ˆ 105 E D C ˆ BA // DE กำหนดให้ = = และ F BA // DE กำหนดให้ C B A ˆ = 115 D C B ˆ = 105 และ ต้องการพิสูจน์ ขนาดของ E D C ˆ สร้างเพื่อการพิสูจน์ ลาก CF // BA

C B A ˆ F พิสูจน์ (กำหนดให้) BA // CF + = 180 D E 115 105 F พิสูจน์ (กำหนดให้) BA // CF C B A ˆ F + = 180 (ขนาดมุมภายในบนข้างเดียวกันของ เส้นตัดเส้นขนานรวมกันเท่ากับ180 )

F C B ˆ 115 F C B ˆ 115 F C B ˆ 65 D C B ˆ 105 + = 180 = 180 - = = A B C D E 115 105 F F C B ˆ + = 180 115 F C B ˆ = 180 115 - F C B ˆ = 65 D C B ˆ = 105 (กำหนดให้)

A B C D E 115 105 F D C F ˆ = B - 65 105 = - D C F ˆ = 40

D C F ˆ E E D C ˆ CF // ED (กำหนดให้) = (เส้นตรงสองเส้นขนานกันและมี A B C D E 115 105 F CF // ED (กำหนดให้) D C F ˆ = E (เส้นตรงสองเส้นขนานกันและมี เส้นตัด แล้วมุมแย้งมีขนาดเท่ากัน) ดังนั้น E D C ˆ = 40 (สมบัติการเท่ากัน)

C B A ˆ 115 D C B ˆ 105 E D C ˆ 5) จากรูป กำหนดให้ BA // DE ถ้า = = D C B ˆ = 105 และ E D C ˆ จงหาขนาดของ A B 115 C 105 D E F

C B A ˆ 115 D C B ˆ 105 E D C ˆ BA // DE กำหนดให้ = = และ F BA // DE กำหนดให้ C B A ˆ = 115 D C B ˆ = 105 และ ต้องการพิสูจน์ ขนาดของ E D C ˆ สร้างเพื่อการพิสูจน์ ลาก CF

C B A ˆ F D พิสูจน์ (กำหนดให้) BA // ED + = 180 115 105 F พิสูจน์ (กำหนดให้) BA // ED C B A ˆ F D + = 180 (ขนาดมุมภายในบนข้างเดียวกันของ เส้นตัดเส้นขนานรวมกันเท่ากับ180 )

C F D ˆ 115 C F D ˆ 115 C F D ˆ 65 + = 180 = 180 - = A B C D E F 65 105 F 65 C F D ˆ + = 180 115 C F D ˆ = 180 115 - C F D ˆ = 65

D C B ˆ F F C D ˆ 105 F C D ˆ 105 F C D ˆ 75 + = 180 (ขนาดของมุมตรง) + A B C D E 115 105 F D C B ˆ F + = 180 75 (ขนาดของมุมตรง) F C D ˆ + = 180 105 F C D ˆ = 180 105 - F C D ˆ = 75

A B C D E 115 105 F E D C ˆ F + = 180 75 (ผลบวกของมุมภายใน 65 40 รูปสามเหลี่ยม) E D C ˆ + = 180 75 65 E D C ˆ - = 180 75 65 E D C ˆ = 40

6) กำหนดให้ AB // CD และ C B A ˆ = E D BC // DE จงพิสูจน์ว่า A B D C E

C B A ˆ E D กำหนดให้ AB // CD และ BC // DE = ต้องการพิสูจน์ว่า A B C D

C B A ˆ D พิสูจน์ AB // CD (กำหนดให้) = E พิสูจน์ AB // CD (กำหนดให้) C B A ˆ = D (เส้นตรงสองเส้นขนานกันและมีเส้น ตัด แล้วมุมแย้งมีขนาดเท่ากัน)

D C B ˆ E C B A ˆ D E เนื่องจาก BC // DE (กำหนดให้) = (เส้นตรงสองเส้นขนานกันและมีเส้น ตัด แล้วมุมแย้งมีขนาดเท่ากัน) ดังนั้น C B A ˆ = D E (สมบัติการเท่ากัน)

8) จากรูป กำหนดให้  ABCD เป็น รูป ด้านขนาน E เป็นจุดกึ่งกลาง ของด้านAB จงพิสูจน์ว่า DE = FE D C B A E F

กำหนดให้ ABCD เป็นรูป ด้านขนาน E เป็นจุดกึ่งกลางของด้านAB F กำหนดให้ ABCD เป็นรูป ด้านขนาน E เป็นจุดกึ่งกลางของด้านAB ต้องการพิสูจน์ว่า DE = FE

D A E ˆ F B AD // FC พิสูจน์ (กำหนดให้) = (เส้นตรงสองเส้นขนานกันและมีเส้น ตัด แล้วมุมแย้งมีขนาดเท่ากัน)

D E A ˆ F B AE = BE (กำหนดให้) = (เส้นตรงสองเส้นตัดกัน แล้วมุมตรง C D E F AE = BE (กำหนดให้) D E A ˆ = F B (เส้นตรงสองเส้นตัดกัน แล้วมุมตรง ข้ามมีขนาดเท่ากัน)

(ด้านคู่ที่สมนัยกันของD ที่เท่ากัน ทุกประการ จะยาวเท่ากัน) A B C D E F จะได้ DADE @ DBFE (ม.ด.ม. ) ดังนั้น DE = FE (ด้านคู่ที่สมนัยกันของD ที่เท่ากัน ทุกประการ จะยาวเท่ากัน)

9) จากรูปกำหนดให้ AE // HB FE // HG และ AF = BG จงพิสูจน์ว่า FE = GH A 9) จากรูปกำหนดให้ AE // HB FE // HG และ AF = BG จงพิสูจน์ว่า FE = GH A B G F E H

ต้องการพิสูจน์ว่า FE = GH A B G F E H กำหนดให้ AE // HB, FE // HG และ AF = BG ต้องการพิสูจน์ว่า FE = GH

F A E ˆ G B H AE // HB พิสูจน์ (กำหนดให้) = (เส้นตรงสองเส้นขนานกันและมีเส้น ตัด แล้วมุมแย้งมีขนาดเท่ากัน) AF = BG (กำหนดให้)

G F E ˆ H E F A ˆ G เนื่องจาก FE // HG (กำหนดให้) = B G F E H เนื่องจาก FE // HG (กำหนดให้) G F E ˆ = H (เส้นตรงสองเส้นขนานกันและมีเส้น ตัด แล้วมุมแย้งมีขนาดเท่ากัน) E F A ˆ G + = 180 (ขนาดของมุมตรง)

H G B ˆ F E F A ˆ G H B E F A ˆ H G B G F E ˆ H + = 180 (ขนาดของมุมตรง) E F A ˆ G + = H B (สมบัติการเท่ากัน) E F A ˆ = H G B ดังนั้น (นำ และ ที่มีขนาดเท่ากัน G F E ˆ H มาลบทั้งสองข้างสมการ)

(ด้านคู่ที่สมนัยกันของDที่เท่ากัน ทุกประการ จะยาวเท่ากัน) A B G F E H จะได้ DAFE @ DBGH (ม.ด.ม. ) ดังนั้น FE = GH (ด้านคู่ที่สมนัยกันของDที่เท่ากัน ทุกประการ จะยาวเท่ากัน)

การบ้าน แบบฝึกหัด 4.2 ก หน้าที่ 137 ข้อที่ 1,2,3,7