การวิเคราะห์วงจรโดยใช้ฟูริเยร์ สัปดาห์ที่ 11 การวิเคราะห์วงจรโดยใช้ฟูริเยร์ Fourier Circuit Analysis (Part I)
จุดประสงค์การเรียนรู้ เขียนอนุกรมฟูริเยร์แบบต่างๆแทนฟังก์ชันรายคาบได้ อนุกรมฟูริเยร์แบบตรีโกณ อนุกรมฟูริเยร์แบบเอ๊กซ์โปเนนเชียล หาการสมมาตรและฮาร์โมนิกส์ของฟังก์ชันคู่และฟังก์ชันคี่ได้ ใช้อนุกรมฟูริเยร์เพื่อวิเคราะห์วงจรในโดเมนความถี่ได้
เนื้อหา อนุกรมฟูริเยร์แบบตรีโกณ อนุกรมฟูริเยร์แบบเอ๊กซ์โปเนนเชียล ผลตอบสนองสมบูรณ์เมื่ออินพุทเป็นฟังก์ชันรายคาบ บทสรุป
อนุกรมฟูริเยร์แบบตรีโกณ เป็นฟังก์ชันรายคาบก็ต่อเมื่อ เมื่อ คือคาบเวลา
สัญญาณรายคาบใดๆหมายถึงสัญญาณที่เกิดขึ้นแล้วมีรูปแบบของสัญญาณที่ซ้ำรูปเดิม ในช่วงเวลาจำกัดค่าหนึ่งหรือคาบเวลาหนึ่ง อนุกรมฟูริเยร์แบบตรีโกณ คือการเขียนสัญญาณรายคาบแทนด้วยฟังก์ชันไซน์หลายๆความถี่รวมกัน
เมื่อ โดยที่ คือความถี่มูลฐาน (fundamental frequency) เป็นความถี่ของสัญญาณไซน์ที่มีค่าเท่ากับความถี่ของสัญญาณต้นแบบ คือมุมเฟส (phase angle) ของสัญญาณ เรียกว่าสัมประสิทธ์ของฟูริเยร์แบบตรีโกณ มีค่าเป็นจำนวนจริง คือองค์ประกอบไฟตรงหรือค่าเฉลี่ยของรูปคลื่น
สเปกตรัมแอมปลิจูด สเปกตรัมเฟส ฮาร์โมนิกส์ที่หนึ่งหรือฮาร์โมนิกส์มูลฐาน องค์ประกอบย่อยของสัญญาณไซน์ที่มีความถี่ เท่ากับความถี่ของสัญญาณต้นแบบ ฮาร์โมนิกส์ที่ สัญญาณไซน์ที่เป็นส่วนประกอบย่อยอื่นๆที่มีความถี่สูงขึ้นไปเป็น เท่าของความถี่มูลฐาน สเปกตรัมแอมปลิจูด ขนาดของฮาร์โมนิกส์แต่ละองค์ประกอบของสัญญาณบนแกนความถี่ สเปกตรัมเฟส ค่ามุมเฟสของฮาร์โมนิกส์แต่ละองค์ประกอบของสัญญาณบนแกนความถี่ ลักษณะของสเปกตรัมแบบเส้น (Line spectrum) หรือสเปตรัมแบบดีสครีต (Discrete spectrum)
ตัวอย่างของสเปกตรัมแอมปลิจูดและสเปกตรัมเฟส การสมมาตรกัน (symmetry) ของฟังก์ชัน ในที่นี้จะแบ่งเป็น 2 ลักษณะคือ การสมมาตรของฟังก์ชันคู่ (even-function symmetry) การสมมาตรของฟังก์ชันคี่ (odd-function symmetry)
ฟังก์ชันใดๆที่เป็นฟังก์ชันคู่ก็ต่อเมื่อ ฟังก์ชันใดๆที่เป็นฟังก์ชันคี่ก็ต่อเมื่อ การทดสอบความเป็นฟังก์ชันคู่หรือฟังก์ชันคี่พิจารณาช่วงเวลา ตัวอย่างของฟังก์ชันคู่ รูปคลื่นของสัญญาณที่เป็นฟังก์ชันคู่ ตัวอย่างของฟังก์ชันคี่ รูปคลื่นของสัญญาณที่เป็นฟังก์ชันคี่
ผลรวมของฟังก์ชันคู่และฟังก์ชันคู่จะได้ค่าเป็นฟังก์ชันคู่ ผลคูณของฟังก์ชันคู่และฟังก์ชันคู่จะได้ค่าเป็นฟังก์ชันคู่ ผลคูณของฟังก์ชันคู่และฟังก์ชันคี่จะได้ค่าเป็นฟังก์ชันคี่ ไม่มีเทอมของฟังก์ชันไซน์ การหาค่า โดยใช้การสมมาตรของฟังก์ชัน ถ้า ฟังก์ชันคู่ ถ้า ฟังก์ชันคี่ ไม่มีเทอมของฟังก์ชันโคไซน์ ไม่มีเทอมขององค์ประกอบไฟตรง
ตัวอย่างที่ 1 จงหาอนุกรมฟูริเยร์เชิงตรีโกณของสัญญาณสี่เหลี่ยม จงวาดสเปกตรัมแอมปลิจูดและสเปกตรัมเฟส วิธีทำ อนุกรมฟูริเยร์ของรูปคลื่นสี่เหลี่ยม
หาค่าองค์ประกอบไฟตรง แทนค่า
เมื่อ เป็นเลขคี่ เมื่อ เป็นเลขคู่ ใช้การสมมาตรกันของฟังก์ชัน เป็นฟังก์ชันคี่ คำตอบเท่ากันแต่ง่ายกว่า
ค่าแอมปลิจูดขององค์ประกอบฮาร์โมนิกส์ ค่าเฟสขององค์ประกอบฮาร์โมนิกส์ สเปกตรัมแอมปลิจูด สเปกตรัมเฟส
อนุกรมฟูริเยร์แบบเอ๊กซ์โปเนนเชียลหรืออนุกรมฟูริเยร์เชิงซ้อน สูตรของออยเลอร์ อนุกรมฟูริเยร์เชิงตรีโกณ ทำการแทน กำหนดให้ค่าคงที่เชิงซ้อน
ค่าของขึ้นอยู่ กับค่าของ และฟังก์ชัน ถ้าแทนค่าของ ด้วย กำหนดให้คู่สังยุคเชิงซ้อน และ อนุกรมฟูริเยร์แบบเอ๊กซ์โปเนนเชียล
การหาค่าสัมประสิทธิ์เชิงซ้อน เมื่อ สมการความสัมพันธ์ของอนุกรมฟูริเยร์เชิงซ้อน
เมื่อ คือขนาดขององค์ประกอบอนุกรมฟูริเยร์แบบเอ๊กซ์โปเนนเชียล เมื่อ วาดกราฟสเปกตรัมความถี่ของ เทียบกับ หรือ ที่มีค่าทั้งค่าบวกและค่าลบที่สมมาตรกับจุดกำเนิด ขนาดขององค์ประกอบของสัญญาณไซน์ที่ เมื่อ ค่าองค์ประกอบไฟตรงมีค่าเป็น
ตัวอย่างที่ 2 จงหาอนุกรมฟูริเยร์เชิงซ้อนของสัญญาณสี่เหลี่ยม วิธีทำ ค่าเฉลี่ยของฟังก์ชัน มีค่าเป็นศูนย์ เนื่องจากเป็นฟังก์ชันคู่
ค่าสัมประสิทธิ์เชิงซ้อนทั้งหมดจะมีเฉพาะส่วนจริงเท่านั้น อนุกรมฟูริเยร์เชิงซ้อน , , ,
ผลตอบสนองสมบูรณ์เมื่ออินพุทเป็นฟังก์ชันรายคาบ ผลตอบสนองวงจรที่ประกอบด้วยแหล่งจ่ายที่เป็นสัญญาณรายคาบใดๆและ อุปกรณ์แบบพาสซีพ ผลตอบสนองตามธรรมชาติ (ผลตอบสนองชั่วขณะ) ผลตอบสนองเชิงบังคับ (ผลตอบสนองที่สภาวะคงตัว) ผลตอบสนองชั่วขณะหาได้จากกำหนดให้แหล่งจ่ายมีค่าเท่ากับศูนย์ (แหล่งจ่ายแรงดันลัดวงจรและแหล่งจ่ายกระแสทำการเปิดวงจร) แล้วทำการหาความสัมพันธ์ของวงจรทีมีเฉพาะอุปกรณ์แบบพาสซีพ หรือหาได้จากโพลของฟังก์ชันถ่ายโอนโดยที่เงื่อนไขเริ่มต้นยังคงมีอยู่ในวงจร ผลตอบสนองที่สภาวะคงตัวทำการแทนแหล่งจ่าย ด้วยการบวกกันของฟังก์ชันไซน์และวิเคราะห์หาคำตอบของวงจรโดยใช้เฟสเซอร์
การหาผลตอบสนองที่สภาวะคงตัวของแรงดันหรือกระแสในวงจร แทนอินพุทที่เป็นฟังก์ชันรายคาบด้วยอนุกรมฟูริเยร์ แต่ละแหล่งจ่ายจะมีขนาดและความถี่ของแต่ละตัวที่แตกต่างกัน หาผลตอบสนองของแต่ละอินพุทของอนุกรมฟูริเยร์ทำการวิเคราะห์โดยใช้เฟสเซอร์ แปลงวงจรจากโดเมนเวลาให้เป็นโดเมนความถี่ ทำการแปลงกลับให้เป็นโดเมนเวลา ทำการรวมคำตอบที่ได้ในแต่ละแหล่งจ่ายเข้าด้วยกันโดยใช้วิธีการวางซ้อน
ตัวอย่างที่ 3 (ก) จงหาแรงดัน ที่สภาวะคงตัว (ข) จงวาดสเปกตรัมแอมปลิจูดและสเปกตรัมเฟสของสัญญาณแรงดันอินพุท กำหนดให้แรงดันอินพุท วิธีทำ สมการอนุกรมฟูริเยร์ของแรงดันอินพุท
เมื่อ เขียนสมการของแรงดันอินพุทใหม่ เขียนแอมปลิจูดและเฟสแต่ละฮาร์โมนิกส์
สเปกตรัมแอมปลิจูด สเปกตรัมเฟส เขียนแรงดันอินพุทเป็นองค์ประกอบของฟังก์ชันโคไซน์ที่ความถี่ต่างๆ วาดวงจรใหม่ในโดเมนความถี่
หากระแส โดยใช้การแบ่งกระแส หาแรงดันเอาท์พุท เมื่อแรงดันมีองค์ประกอบของสัญญาณไซน์เป็น โดยที่ ความถี่มูลฐาน แรงดันเอาท์พุทที่สภาวะคงตัวในโดเมนเวลา
ตัวอย่างที่ 4 จงหากระแสที่สภาวะคงตัว เมื่อแรงดันอินพุท วิธีทำ เขียนสมการของแรงดันอินพุท หาค่าอิมพิแดนซ์ที่ต่อขนานกัน หาค่ากระแส
เมื่อกระแสมีองค์ประกอบของสัญญาณไซน์เป็น โดยที่ และความถี่มูลฐาน กระแสที่ไหลผ่านตัวต้านทาน 1 โอห์ม กระแสในแต่ละองค์ประกอบ องค์ประกอบไฟตรง (dc term) กระแสที่เวลาใดๆ
ตัวอย่างที่ 5 จงหาผลตอบสนองสมบูรณ์ของกระแส ในวงจรเมื่อสวิทช์ทำงานที่เวลา และวงจรเข้าสู่สภาวะคงตัวที่ เงื่อนไขเริ่มต้นของวงจรมีค่าเป็นศูนย์ โดยที่แหล่งจ่ายแรงดันมีค่าเป็น ผลตอบสนองตามธรรมชาติ ผลตอบสนองที่สภาวะคงตัว
วิธีทำ กระแส เมื่อ คือผลตอบสนองตามธรรมชาติของกระแส คือผลตอบสนองที่สภาวะคงตัวของกระแส หาผลตอบสนองตามธรรมชาติที่เวลา สวิตช์ปิดวงจรและลัดวงจรที่แหล่งจ่ายแรงดัน KVL จะได้ หาค่า หาผลตอบสนองเชิงบังคับในกรณีของแหล่งจ่ายที่เป็นฮาร์โมนิกส์ที่ แรงดันเฟสเซอร์
อิมพิแดนซ์ของวงจรที่ฮาร์โมนิกส์ที่ กระแส แปลงกระแสของฮาร์โมนิกส์ที่ เป็นโดเมนเวลา ผลตอบสนองขององค์ประกอบไฟตรง ลัดวงจรที่ตัวเหนี่ยวนำ
กระแสในโดเมนเวลา ที่เวลา ผลตอบสนองสมบรูณ์ ที่เวลา เมื่อ กระแสที่แปรตามเวลา A
การวิเคราะห์วงจรโดยใช้ฟูริเยร์ บทสรุปสัปดาห์ที่11 การวิเคราะห์วงจรโดยใช้ฟูริเยร์ อนุกรมฟูริเยร์เป็นเครื่องมือที่ใช้วิเคราะห์วงจร ที่ประกอบด้วยแหล่งจ่ายสัญญาณรายคาบ อนุกรมฟูริเยร์เขียนแทนด้วยองค์ประกอบของสัญญาณไซน์หลายๆความถี่ อนุกรมฟูริเยร์แบบตรีโกณ อนุกรมฟูริเยร์แบบเชิงซ้อนหรือแบบเอ๊กซ์โปเนนเชียล สเปกตรัมของอนุกรมฟูริเยร์ประกอบด้วยแอมปลิจูดและเฟสเป็นแบบดีสครีต