CSC201 Analysis and Design of Algorithms P and NP Problems Dr.Surasak Mungsing E-mail: Surasak.mu@spu.ac.th Apr-17

Euler Circuit Problems ลากเส้นตามรูปโดยไม่ซ้ำ มีรูปใดทำได้บ้าง และ รูปใดทำไม่ได้เลย เป็นไปได้ ถ้ามี node degree เป็นคี่ = 2 โหนด (Euler path) การจบที่จุดเริ่มต้น จะเป็นไปได้ ถ้ากราฟมี node degree ทั้งหมดเป็นคู่ (Euler Circuit) เป็นไปไม่ได้ ถ้ามี node degree เป็นคี่มากกว่า 2 โหนด 4/4/2017

ความยากของปัญหา ปัญหาแบ่งเป็นกลุ่มได้แก่ กลุ่มปัญหา P กลุ่มปัญหา NP กลุ่มปัญหา NP-hard กลุ่มปัญหา NP-complete บางปัญหามีความยากที่ยังไม่มีใครในโลกออกแบบอัลกอริทึมที่ให้ผลเฉลยได้รวดเร็ว ซึ่งปัญหาเหล่านี้ว่า NP-complete problem 4/4/2017

ประสิทธิภาพของอัลกอริทึม ปัญหา เวลาทำงานของอัลกอริทึม Sorting O(n log n) Closest point 2D Single source shortest path O(e + v log v) Minimum spanning tree O(e log e) Matrix multiplication O(n3) All pair shortest path O(v3) Sum of subset O(2n) Assignment O(n!) อัลกอริทึมที่มีประสิทธิภาพ หมายถึงอัลกอริทึมที่จะทำงานได้รวดเร็วและมีอัตราการเติบโตของเวลาทำงานที่ยอมรับได้ คือ O(nk) อัลกอริทึมที่ไม่มีประสิทธิภาพ หมายถึงอัลกอริทึมที่มีเวลาการทำงานโตเร็วกว่าฟังก์ชันพหุนามเช่น O(n log n) O(2n) หรือ O(n!) Apr-17

ปัญหาง่ายหรือยาก เป็นปัญหาง่าย (Tractable problem) ก็ต่อเมื่อมีอัลกอริทึมที่มีประสิทธิภาพซึ่งใช้แก้ปัญหานี้ได้ เป็นปัญหายาก (Intractable problem) ก็ต่อเมื่อพิสูจน์ได้ว่าต้องใช้อัลกอริทึมที่ไม่มีประสิทธิภาพแน่ๆในแก้ปัญหานี้ ปัญหาในตารางประสิทธิภาพอัลกอริทึมข้างต้น ยกเว้น 2 รายการสุดท้ายเป็นปัญหาง่ายทั้งสิ้น เพราะได้พบอัลกอริทึมที่มีประสิทธิภาพซึ่งใช้แก้ปัญหาเหล่านี้แล้ว สองปัญหาสุดท้ายในตารางประสิทธิภาพอัลกอริทึมข้างต้นเป็นปัญหายากเพราะอาจมีอัลกอริทึมที่มีประสิทธิภาพซึ่งแก้ปัญหาเหล่านี้ได้ที่เรายังไม่รู้จักก็ได้ 4/4/2017

มีปัญหาอะไรบ้างที่รู้ว่ายากแน่ๆ ปัญหาแจกแจงทุกกรณี เซตย่อย ซึงมีความซับซ้อนอยู่ใน O(2n) ปัญหาย้ายจานหอคอยฮานอย ซึ่งต้องทำการย้าย 2n -1 ครั้ง ปัญหายากที่สนใจกันส่วนใหญ่เป็นปัญหาที่คิดคำตอบนานๆ ไม่ใช่คิดคำตอบยาวๆ ปัญหาประเภทที่พิสูจน์ได้เลยว่าไม่มีอัลกอริทึมใดๆหาคำตอบได้ (เรียกกันว่าปัญหา non-computable) เช่น Hilbert’s Tenth Problem ซึ่งต้องการหาคำตอบของสมการ Diphantine ตัวอย่างเช่น จงหาว่ามีคำตอบจำนวนเต็มของตัวแปร x, y และ z ในสมการ 42x2y +34xz = 112 หรือไม่ ? ปัญหา Halting problem ซึ่ง Alan Turing เป็นผู้พิสูจน์ว่า เป็นปัญหาแบบคำนวณไม่ได้ในปี ค.ศ. 1937 4/4/2017

ปัญหาการตัดสินใจ ปัญหาการตัดสินใจคือปัญหาที่ให้คำตอบว่า ใช่/ไม่ใช่ ได้/ไม่ได้ มี/ไม่มี จริง/ไม่จริง มีเพียงสองคำตอบ ตัวอย่างของปัญหาประเภทนี้ เช่น Satisfiability (SAT) Hamilton Circuit (HAM) Traveling Salesperson Problem (TSP) 4/4/2017

ตัวอย่างปัญหา Satisfiability (SAT) 4/4/2017

ตัวอย่างปัญหา Hamilton Circuit 10 1 1 2 3 5 2 13 5 6 4 11 7 8 4 3 9 กราฟที่มีวงจร Hamilton 12 กราฟที่ไม่มีวงจร Hamilton 4/4/2017

Traveling Salesperson Problem (TSP) กำหนดให้ G คือกราฟ อยากทราบว่ามีวงจรในกราฟนี้ซึ่งผ่านจุดยอด (Vertex) ทุกจุดในกราฟจุดละหนึ่งครั้ง โดยความยาวรวมของวงจรนี้มีค่าไม่เกิน k หรือไม่ เป็น NP-hard Problem

Other Problems เป็น NP-hard Problem Partition Partition n positive integers s1, s2, s3, …, sn into two groups A and B such that the sum of the numbers in each group is the same. [9, 4, 6, 3, 5, 1,8] A = [9, 4, 5] and B = [6, 3, 1, 8] เป็น NP-hard Problem Subset Sum Problem Does any subset of n positive integers s1, s2, s3, …, sn have a sum exactly equal to c? [9, 4, 6, 3, 5, 1,8] and c = 18 A = [9, 4, 5]

ต้องการคำตอบที่เป็นไปได้หรือคำตอบที่ดีที่สุด เป้าหมายการแก้ปัญหานั้น ต้องการจะให้ได้คำตอบที่ดีที่สุดหรือต้องการแค่คำตอบที่เป็นไปได้ ตัวอย่างปัญหา Travelling Salesperson: บุรุษไปรษณีย์ต้องการเดินส่งจดหมายให้ครบทุกเมืองโดยให้มีระยะทางรวมสั้นที่สุด คำตอบที่ดีที่สุดในปัญหานี้คือคำตอบของระยะทางที่สั้นที่สุด จะใช้เวลาสำหรับการหาคำตอบเป็น O(n!) คำตอบที่พอใช้ได้อาจอยู่ในเทอมของ O(na) ทั้งนี้ระยะเวลาที่ใช้ในการทำคำตอบที่ดีที่สุดของแต่ละปัญหาขึ้นกับลักษณะธรรมชาติของปัญหานั้นๆ 4/4/2017

ปัญหาเป็นแบบ P หรือ NP ปัญหาแบ่งเป็น 2 กลุ่ม กลุ่มแรกคือปัญหาที่แก้ไขได้ในเวลา Polynomial กลุ่มที่สองคือปัญหาที่ ไม่ สามารถแก้ไขได้ในเวลา Polynomial ปัญหาในกลุ่มที่สองอาจแก้ได้ในเวลา Polynomial ถ้าใช้วิธีเดา (guess) คำตอบ โดยกำหนดระยะเวลาในการเดาคำตอบให้อยู่ในรูปของเวลา P ปัญหาที่แก้ไขได้ในเวลา Polynomial เรียกว่าปัญหาแบบ P ปัญหาที่แก้โดยใช้เวลา P ในการเดาคำตอบ เป็นปัญหาแบบ NP หรือ Non-Deterministic Polynomial 4/4/2017

เครื่องคำนวณแบบ Turing เสนอโดย Alan Turing ในปี ค.ศ. 1936 เป็นแบบจำลองของเครื่องคำนวณที่มีโครงสร้างง่ายๆ แต่สามารถใช้แก้ปัญหาส่วนใหญ่ได้ มีปัญหาบางประเภทที่ไม่ว่าจะใช้เครื่องคำนวณแบบใดก็ตาม ก็ไม่สามารถจะใช้หาคำตอบของปัญหาเหล่านั้นได้ เช่น ปัญหาที่ว่าจะรู้ได้อย่างไรว่าโปรแกรมที่ให้มาจะหยุดทำงาน (the Halting Problem) A Turing Machine was a specific mechanical device that could carry out some specific task in a systematic way. Each Turing Machine would work in a similar manner, using mechanisms related to the computer concepts of input, output and a program. 4/4/2017

Deterministic Turing Machine (DTM) เทปที่มีความยาวไม่จำกัด แบ่งออกเป็นช่องๆ เท่าๆ กัน เพื่อไว้บรรจุข้อมูล ซึ่งอาจเป็นตัวเลขหรือตัวหนังสือก็ได้ หัวสำหรับอ่านและเขียนตัวอักษรที่อยู่บนเทป หัวนี้อ่านตัวอักษรครั้งละหนึ่งตัวอักษรและสามารถเลื่อนไปมาทางซ้ายหรือขวาได้ หรือไม่เลื่อนเลย ทั้งนี้จะขึ้นกับส่วนควบคุมหรือลำดับการทำงานของเครื่องคำนวณ ส่วนควบคุม ทำหน้าที่ตัดสินใจว่า จะให้หัวอ่าน/เขียนบันทึกตัวอักษรอะไรลงไปบนเทป เมื่ออ่านตัวอีกษรหนึ่งตัวบนเทป จะเป็นผู้กำหนดว่าจะให้ไปทำขั้นตอนไหนต่อไปในลำดับการทำงนของเครื่อง . . . . หัวอ่าน/เขียน ส่วนควบคุม เทปที่มีความยาว ไม่จำกัด 4/4/2017

Non- deterministic Turing Machine (NDTM) 1. เทปที่มีความยาวไม่จำกัด แบ่งออกเป็นช่องๆ เท่าๆ กัน เพื่อไว้บรรจุข้อมูล ซึ่งอาจป็นตัวเลขหรือตัวหนังสือก็ได้ 2. หัวสำหรับอ่านและเขียนตัวอักษรที่อยู่บนเทป หัวนี้อ่านตัวอักษรครั้งละหนึ่งตัวอักษรและสามารถเลื่อนไปมาทางซ้ายหรือขวาได้ หรือไม่เลื่อนเลย ทั้งนี้จะขึ้นกับส่วนควบคุมหรือลำดับการทำงานของเครื่องคำนวณ 3. ส่วนควบคุมแน่ชัดและส่วนเดา ทำหน้าที่ตัดสินใจว่า จะให้หัวอ่าน/เขียนบันทึกตัวอักษรอะไรลงไปบนเทป เมื่ออ่านตัวอีกษรหนึ่งตัวบนเทป จะเป็นผู้กำหนดว่าจะให้ไปทำขั้นตอนไหนต่อไปในลำดับการทำงนของเครื่อง 4/4/2017

DTM and NDTM with k tapes 4/4/2017

โปรแกรมสำหรบเครื่องคำนวณแบบ Turing กลุ่มขั้นตอนการทำงานของส่วนควบคุม แทนด้วย Q q0 คือขั้นตอนเริ่มต้น qF คือขั้นตอนสุดท้าย {qi} คือขั้นตอนระหว่าง q0 และ qF ฟังก์ชันการเปลี่ยนขั้นตอนการทำงานและเลื่อนหัวอ่าน/เขียน  แทนฟังก์ชันเมื่ออ่านตัวอักรเข้ามา ตำแหน่งหัวอ่าน/เขียน เลื่อนได้ 3 แบบ คือ L (ไปทางซ้าย) R (ไปทางขวา) และ S (ไม่เลื่อน) : (Q – {qF} x T  Q x T x {L, R, S} 4/4/2017

การลดรูปของปัญหา กำหนดให้ Q1 และ Q2 เป็นปัญหาการตัดสินใจ 2 ปัญหา ถ้าเราลดรูปปัญหา Q1ไปเป็นปัญหา Q2 ก็แสดงว่าเราสามารถเปลี่ยนตัวอย่างปัญหาใดๆของ Q1 ไปเป็นตัวอย่างปัญหาของ Q2 ได้ จากนั้นใช้อัลกอริทึม Q2 หาคำตอบ ก็จะเป็นคำตอบของตัวอย่างปัญหาของ Q1 นั้น การลดรูปของปัญหาเป็นกลวิธีในการแก้ปัญหาแบบหนึ่ง สมมติว่าเราต้องการแก้ปัญหา Q1 สิ่งที่นักออกแบบอัลกอริทึมต้องคิดคือ Q1 เป็นปัญหาที่รู้สึกคล้ายๆกับปัญหาอื่นที่เราเคยรู้จักวิธีแก้ไขหรือไม่ ถ้ารู้สึกว่าคล้ายปัญหา Q2 แล้ว คิดต่อว่าจะมีวิธีตีความปัญหา Q1 ให้อยู่ในรูปแบบของปัญหา Q2 ที่เรารู้จักวิธีแก้ไขนั้นได้อย่างไร 4/4/2017

กลุ่มปัญหา NP-Complete P  NP ปัญหาในกลุ่ม P เป็นปัญหาง่ายทั้งสิ้น เพราะมีอัลกอริทึมหาคำตอบได้อย่างมีประสิทธิภาพ ในขณะที่ปัญหาในกลุ่ม NP นั้นยังไม่เด่นชัด ในปี ค.ศ. 1971 Cook ได้แสดงให้เห็นว่าปัญหา SAT เป็นปัญหาที่ยากที่สุดใน NP โดยการพิสูจน์ว่าทุกๆปัญหาใน NP สามารถลดรูปแบบพหุนามไปเป็น SAT ได้หมด ในปี ค.ศ. 1972 Karp ได้อาศัยกลวิธีการลดรูปเพื่อแสดงให้เห็นว่ามีปัญหาอื่นๆอีกมากมายหลากหลายรูปแบบที่มีความยากง่ายเทียบเท่ากับ SAT นั่นก็คือกลุ่มปัญหาที่เรียกว่า NP-Complete ซึ่งเป็นกลุ่มปัญหาที่ยากที่สุดใน NP หมายความว่าเป็นกลุ่มปัญหาที่มีความยากง่ายทัดเทียมกันหมด (อันเป็นที่มาของคำว่า Complete หรือ บริบูรณ์) 4/4/2017

NP-Complete (ต่อ) ดังนั้นหากใครพบอัลกอริทึมที่มีประสิทธิภาพที่แก้เพียง 1 ปัญหาใน NP-Complete ก็ย่อมหมายความว่าทุกปัญหาใน NPC เป็นปัญหาง่ายทั้งสิ้น (นั่นคือพิสูจน์ได้ว่า P = NP) ในทางกลับกัน ถ้ามีใครสามารถพิสูจน์เพียง 1 ปัญหาใดใน NPC เป็นปัญหายาก ก็สรุปได้ว่าทุกปัญหาในกลุ่มนี้เป็นปัญหายากทั้งสิ้น (นั่นคือ พิสูจน์ได้ว่า P  NP หรือ P  NP) 4/4/2017

สรุป กลุ่มปัญหา NP-Hard If any NP-Complete can be solved in polynomial time, then all NP problems can be solved in polynomial time. P NP-Complete NP Or, if any NP-complete problem can be solved in polynomial time, then NP = P กลุ่มปัญหา NP-Hard Q เป็นปัญหา NP-Hard ถ้าทุกปัญหาใน NP สามารถลดรูปแบบพหุนามไปเป็น Q ได้ NP-Complete คือกลุ่มของปัญหาการตัดสินใจที่เป็น NP-Hard และอยู่ในกลุ่ม NP ปัญหา NP-Hard ไม่จำเป็นต้องเป็นปัญหาตัดสินใจ 4/4/2017

สรุป SAT เป็น NP Problem NP problem ทั้งหลายแปลงให้เป็นปัญหา SAT ได้ในเวลา Polynomial การแก้ปัญหาที่เป็น NP สามารถทำได้ในเวลาที่เป็น Polynomial โดยใช้เครื่อง NDTM 4/4/2017

4-Apr-17