ความต่อเนื่อง (Continuity)

ถ้า | x – x0 | < , xD แล้ว | f(x) – f(x0) | <  บทนิยาม 4.4.1 กำหนด f : D , x0D จะเรียก f ว่าเป็น ฟังก์ชันต่อเนื่องที่ x0 ก็ต่อเมื่อแต่ละ  > 0 จะมี  > 0 ซึ่ง ถ้า | x – x0 | < , xD แล้ว | f(x) – f(x0) | <  } f(x0) } x0 เมื่อกำหนด  > 0

} f(x0) }   x0 จะมี  > 0 ซึ่งถ้า | x – x0 | < , xD ทำให้ | f(x) – f(x0) | < 

ทฤษฎีบท 4.4.2 ให้ f : D , x0D และ x0 เป็นจุดลิมิตของ D แล้ว ข้อความ (1)–(3) ต่อไปนี้เป็นข้อความที่สมมูลกัน (1) f ต่อเนื่องที่ x0 f มีลิมิตที่ x0 และ ถ้าลำดับ ที่ลู่เข้าสู่ x0 , xnD สำหรับทุกๆ n แล้วลำดับ ลู่เข้าสู่ f(x0)

พิสูจน์ (1)  (3) ให้  > 0 เนื่องจาก f ต่อเนื่องที่ x0 จะมี  > 0 ซึ่ง | x – x0 | < , xD ทำให้ | f(x) – f(x0) | <  ให้ เป็นลำดับใดๆ ที่ลู่เข้าสู่ x0, xnD สำหรับ n ดังนั้นจะมีจำนวนเต็มบวก k ที่ทำให้ | xn – x0 | <  สำหรับ n  k และย่อมทำให้ | f(xn) – f(x0) | <  สำหรับ n  k ดังนั้น ลู่เข้าสู่ f(x0)

(3)  (2) ถ้า เป็นลำดับใดๆ ที่ลู่เข้าสู่ x0, xnD สำหรับทุกๆ n แล้ว ลู่เข้าสู่ f(x0) โดยทฤษฎีบท 4.1.2 ย่อมได้ว่า f มีลิมิตที่ x0 และ f(x) = f(x0)

(2)  (1) ให้  > 0 เนื่องจาก f มีลิมิตที่ x0 และ f(x) = f(x0) จะมี  > 0 ซึ่ง 0 < | x – x0 | < , xD แล้ว | f(x) – f(x0) | <  สำหรับกรณีที่ x = x0 ทำให้ | x – x0 | = 0 <  และ | f(x) – f(x0) | = 0 <  จึงได้ว่าถ้า | x – x0 | < , xD แล้ว | f(x) – f(x0) | <  ดังนั้น f ต่อเนื่องที่ x0 นั่นคือ (1)–(3) เป็นข้อความที่สมมูลกัน 

ทฤษฎีบท 4.4.3 ถ้า f : D และ g : D เป็นฟังก์ชันต่อเนื่องที่จุด x0 , x0D แล้ว (1) f + g เป็นฟังก์ชันต่อเนื่องที่ x0 fg เป็นฟังก์ชันต่อเนื่องที่ x0 ถ้า g(x0)  0, เป็นฟังก์ชันต่อเนื่องที่ x0

พิสูจน์ มีหลายวิธีที่จะแสดงการต่อเนื่องที่จุด x0 ในข้อ (1) จะใช้ทฤษฎีบท 4.4.2 (3) (1) f และ g เป็นฟังก์ชันต่อเนื่องที่ x0, x0D ให้ เป็นลำดับใดๆที่ลู่เข้าสู่ x0 และ xnD สำหรับทุกๆ n โดยทฤษฎีบท 4.4.2 ได้ว่า และ เป็นลำดับที่ลู่เข้าสู่ f(x0) เป็นลำดับที่ลู่เข้าสู่ g(x0)

พิจารณาลำดับ = โดยทฤษฎีบท 3.4.1 ได้ว่าเป็นลำดับลู่เข้า และลู่เข้าสู่ f(x0) + g(x0) = (f + g)(x0) ดังนั้น f + g เป็นฟังก์ชันต่อเนื่องที่ x0 ในข้อ (2) จะใช้ทฤษฎีบท 4.4.2 (2)

(2) f และ g เป็นฟังก์ชันต่อเนื่องที่จุด x0, x0D ถ้า x0 ไม่ใช่จุดลิมิตของ D, fg เป็นฟังก์ชันต่อเนื่องที่ x0 จากข้อสังเกตตามบทนิยามความต่อเนื่อง ถ้า x0 เป็นจุดลิมิตของ D เนื่องจาก f เป็นฟังก์ชันต่อเนื่องที่ x0 ดังนั้น f(x) = f(x0) และเนื่องจาก g เป็นฟังก์ชันต่อเนื่องที่ x0 ดังนั้น g(x) = g(x0)

โดยทฤษฎีบท 4.2.1 fg ย่อมมีลิมิตที่ x0 และ f(x) ][ g(x) ] = f(x0)g(x0) = (fg)(x0) ดังนั้น fg เป็นฟังก์ชันต่อเนื่องที่ x0 ข้อ (3) จะพิสูจน์โดยทางตรง โดยอาศัยบทตั้ง 4.4.4 ซึ่งจะกล่าวก่อนการพิสูจน์ ทฤษฎีบท 4.4.3 (3) ดังต่อไปนี้

บทตั้ง 4.4.4 ให้ g : D เป็นฟังก์ชันต่อเนื่องที่ x0, x0D ที่ g(x0)  0 แล้วจะมี  > 0 และ  > 0 ซึ่งถ้า | x – x0 | <  และ xD แล้ว | g(x) |   พิสูจน์ เลือก  = > 0 เนื่องจาก g ต่อเนื่องที่ x0 จะมี  > 0 ซึ่ง | x – x0 | < , xD ทำให้ | g(x) – g(x0) | <  พิจารณา | g(x) | = | g(x) + g(x0) – g(x0) | = | g(x0) – (g(x0) – g(x)) |  | g(x0) | – | g(x) – g(x0) | > | g(x0) | –  =   =

ต่อไปจะพิสูจน์ 4.4.3 (3) ให้  > 0 เนื่องจาก g เป็นฟังก์ชันที่ต่อเนื่องที่ x0 และ g(x0)  0 โดยบทตั้ง 4.4.4 จะมี 1 > 0 และ  > 0 ซึ่ง | x – x0 | < 1 และ xD ทำให้ | g(x) |   จะแสดงว่า เป็นฟังก์ชันต่อเนื่องที่ x0

ให้  = | g(x0) | > 0 จะมี 2 > 0 ซึ่งถ้า | x – x0 | < 2 และ xD ที่ทำให้ | g(x) – g(x0) | <  เลือก  = min { 1, 2 } ซึ่งถ้า | x- x0 | <  และ xD ทำให้ | (x) – (x0) | = < =  ดังนั้น เป็นฟังก์ชันต่อเนื่องที่ x0 โดยทฤษฎีบท 4.4.3 (2) จะได้ว่า เป็นฟังก์ชันต่อเนื่องที่ x0 

ทฤษฎีบท 4.4.5 ให้ f : D และ g : D โดยที่เรนจ์ของ f เป็นเซตย่อยของ D ถ้า f ต่อเนื่องที่ x0 , x0 D และ g เป็นฟังก์ชันต่อเนื่องที่ f(x0) แล้ว gf เป็นฟังก์ชันต่อเนื่องที่ x0

พิสูจน์ ให้  > 0 เนื่องจาก g เป็นฟังก์ชันต่อเนื่องที่ f(x0) จะมี 1 > 0 ซึ่งถ้า | y – f(x0) | < 1 และ yD จะทำให้ | g(y) – g(f(x0)) | <  เนื่องจาก f เป็นฟังก์ชันต่อเนื่องที่ x0 จะมี  > 0 ซึ่งถ้า | x – x0 | <  และ xD จะทำให้ | f(x) – f(x0) | < 1 แต่ Im f  D ดังนั้น f(x), f(x0)D จะได้ว่า ถ้า | x – x0 | <  , xD และ | f(x) – f(x0) | < 1 ดังนั้น | (gf)(x) – (gf)(x0) | = | g(f(x)) – g(f(x0)) | <  นั่นคือ gf เป็นฟังก์ชันต่อเนื่องที่ x0 

} } }1 }1 gf แสดงฟังก์ชันประกอบ gf D D } } f x0 f(x0) g(f(x0)) } }1 } f g gf แสดงฟังก์ชันประกอบ gf