บทที่ 3 ลำดับและอนุกรม (Sequences and Series)

3.1 ลำดับและลิมิตของลำดับ (Sequences and Limit of Sequences) เมื่อกล่าวถึงลำดับ โดยทั่วไปจะนึกถึงจำนวนที่เขียนเรียงๆกันมี ตัวที่ 1 ตัวที่ 2 ตัวที่ 3 และต่อๆไป ตัวอย่างเช่น 1, , , , . . . , , . . . –1, 1, –1 , 1, … , (–1)n, ... 2, 4, 6, 8, …, 2n, ...

บทนิยาม 3.1.1 ลำดับจำนวนจริง เป็นฟังก์ชันจากเซตของจำนวนนับ ไปยังเซตของจำนวนจริง ตัวอย่างลำดับ และรูปแบบลำดับที่กำหนดโดยพจน์ที่ n ลำดับ = 1 , , , , . . . , , . . . เขียนเป็นรูปแบบทั่วไป = ลำดับ = 0, 2, 0, 2, …, 1 + (–1)n, ...

ตัวอย่างลำดับ และรูปแบบลำดับที่กำหนดโดยพจน์ที่ n เขียนเป็นรูปแบบทั่วไป = ลำดับฟีโบนัคซี (Fibonacci sequence) ซึ่งนิยามดังนี้ f = เมื่อ f1 = 1, f2 = 1, fn+1 = fn–1 + fn ( n  2 ) ลำดับนี้ คือ 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, …

กำหนด = 1 , , , , . . . , , . . . พิจารณาลำดับต่อไปนี้ (1) 1 , , , , …, , ... (2) , , , , …, , ... (3) 1 , , , , …, , ...

บทนิยาม 3.1.2 ถ้า s = เป็นลำดับของจำนวนจริง และ a = เป็นลำดับของจำนวนเต็มบวก ที่ a( i ) < a( j ) เมื่อ i < j ( i, j ) แล้วจะเรียกฟังก์ชัน ประกอบ sa ว่าเป็น ลำดับย่อย (subsequence) ถ้า a :  โดยที่ a( i ) = ai และ ai < aj เมื่อ i < j สำหรับ i, j และ s :  โดยที่ s( n ) = sn

sa( i ) = s( a( i ) ) = s( ai ) = สำหรับ i  sa( i ) = = , , , ...

ลิมิตของลำดับ (Limit of Sequences) ลำดับบางลำดับมีลิมิต บางลำดับไม่มีลิมิต เช่น กล่าวว่าเป็นลำดับที่ไม่มีลิมิต 1, 0, 1, 0, 1, … , , . . . 1, , , , , . . . , , . . . 2, 2, 2, 2, 2, …, 2, ... กล่าวว่าเป็นลำดับที่มีลิมิตเท่ากับ 0 กล่าวว่าเป็นลำดับที่มีลิมิตเท่ากับ 2

บทนิยาม 3.1.2 ให้ เป็นลำดับของจำนวนจริง จะกล่าวว่าลำดับ มีลิมิตเท่ากับจำนวนจริง L ก็ต่อเมื่อ แต่ละจำนวนจริงบวก  จะมี จำนวนเต็มบวก k ซึ่งทำให้ | sn – L | <  สำหรับ n  k ลำดับ มีลิมิตเท่ากับ L เราจะเขียนแทนด้วย = L หรือ sn  L เมื่อ n  

ตัวอย่าง 2 กำหนด = 1, , , , , ... , , . . . จงพิสูจน์ว่า = 0 การพิสูจน์ ให้  > 0 จะหาจำนวนเต็มบวก k ซึ่งทำให้ | – 0 | < , n  k พิจารณา | – 0 | = เลือก k ซึ่ง < k

ทำให้ | – 0 | =  < , n  k นั้นคือ = 0 

จากบทนิยามจะเห็นว่าสำหรับแต่ละ  > 0 สามารถเลือก k ที่ใหญ่เพียงพอซึ่งจะทำให้พจน์ที่มากกว่าหรือเท่ากับ k ทำให้อสมการเป็นจริง การเลือก k ในตัวอย่าง 2 ขึ้นอยู่กับ  เช่น ถ้า  = 0.25 เลือก k = 5 ทำให้ | | < 0.25, n  5  = 0.025 เลือก k = 41 ทำให้ | | < 0.025, n  41  = 0.0025 เลือก k = 401 ทำให้ | | < 0.0025, n  401 เป็นต้น มีลำดับบางลำดับที่การเลือก k ไม่ได้ขึ้นกับค่า  ดังตัวอย่าง 3

ตัวอย่าง 3 กำหนด เมื่อ sn = 2 ( n = 1, 2, 3, … ) จงแสดงว่า = 2 การพิสูจน์ ให้  > 0 จะหาจำนวนเต็มบวก k ซึ่ง | sn – 2 | < , n  k เนื่องจาก | sn – 2 | = | 2 – 2 | = 0 < , n สามารถเลือก k = 1 ( ไม่ได้ขึ้นกับ  ) ทำให้ | sn – 2 | <  , n  1 นั่นคือ = 2 

ตัวอย่าง 4 กำหนด โดยที่ sn = 2n เมื่อ n = 1, 2, 3, … จงแสดงว่า ลำดับ ไม่มีลิมิต การพิสูจน์ จะแสดงโดยการขัดแย้ง สมมติให้ = L เลือก  = 1 จะมีจำนวนเต็มบวก k ซึ่ง | sn – L | < 1 , n  k ดังนั้น | 2n – L | < 1 , n  k < n < , n  k

เกิดการขัดแย้ง เพราะ  ,  n  < n นั้นคือ = ไม่มีลิมิต 

ตัวอย่าง 5 ลำดับ = คือลำดับ 0, 2, 0, 2, … จงแสดงว่าลำดับ ไม่มีลิมิต การพิสูจน์ สมมติให้ = L ถ้า  = จะมีจำนวนเต็มบวก k ซึ่ง | sn – L | < , n  k พจน์ที่ n ของลำดับคือ sn = 1 + (–1)n จึงแยกพิจารณา | 1 + (–1)n – L | ได้ 2 กรณี ถ้า n เป็นจำนวนเต็มคี่ จะได้ | –L | = | L | <

ถ้า n เป็นจำนวนเต็มคู่ จะได้ | 2 –L | < เนื่องจาก 2 = | 2 – L + L |  | 2 – L | + | L | < + = 1 ซึ่งเป็นไปไม่ได้ นั่นคือ ลำดับ ไม่มีลิมิต 

ตัวอย่าง 6 กำหนด = จงพิสูจน์ว่า = 2 การพิสูจน์ ให้  > 0 จะหาจำนวนเต็มบวก k ซึ่งทำให้ | – 2 | < , n  k พิจารณา | – 2 | = | | = | |

ต้องการ <  เนื่องจาก < , n  เพียงพอที่จะพิจารณา <  , n  k เลือก k > ทำให้ | – 2 | <  <  , n  k นั้นคือ = 2 

ทฤษฎีบท 3.1.3 ถ้า เป็นลำดับของจำนวนจริงที่ sn  0 ทุก n และ = L แล้ว L  0 การพิสูจน์ จะแสดงโดยใช้การขัดแย้ง สมมติ L < 0 เนื่องจากลำดับ มีลิมิต เลือก  = – > 0 จะมีจำนวนเต็มบวก k ที่ทำให้ | sn – L | < – , n  k พิจารณาเฉพาะกรณี | sk – L | < –

ทำให้ลำดับมีพจน์ที่ k ที่น้อยกว่าศูนย์ เกิดการขัดแย้งที่ sn  0 ทุก n sk – L < – sk < < 0 ทำให้ลำดับมีพจน์ที่ k ที่น้อยกว่าศูนย์ เกิดการขัดแย้งที่ sn  0 ทุก n นั่นคือ L  0 