Chapter 4: Probability ความน่าจะเป็น

เนื้อหา: การทดลองเชิงสุ่มและสเปซตัวอย่าง ความน่าจะเป็นพื้นฐาน (Basic Probability Concepts) ความน่าจะเป็นแบบมีเงื่อนไข (Conditional Probability) เหตุการณ์ที่อิสระกัน (Independence events)

การทดลองเชิงสุ่มและสเปซตัวอย่าง การทดลองเชิงสุ่ม (Random experiment) เป็นการ ทดลองที่ไม่สามารถทำนายผลลัพธ์ได้แน่นอน ล่วงหน้าว่าอะไรจะเกิดขึ้น เช่น การโยนเหรียญ การ ทอดลูกเต๋าการหยิบไพ่จากสำรับ จำนวนผลิตภัณฑ์ เสียในการผลิตครั้งหนึ่ง เหล่านี้ถือเป็นการทดลอง เชิงสุ่ม ทั้งสิ้น และในการทำการทดลองเชิงสุ่มครั้ง หนึ่ง ๆ นี้แม้ว่าจะไม่สามารถทำนายผลลัพธ์ได้ แน่นอนล่วงหน้า แต่สามารถทราบบอกได้ว่าจะมี ผลลัพธ์อะไรเกิดขึ้นได้บ้าง ซึ่งเซตของผลลัพธ์ที่ เป็นไปได้ทั้งหมดที่เกิดขึ้นในการทดลองเชิงสุ่มนี้ เรียกว่า สเปซตัวอย่าง (Sample space : S) และ ผลลัพธ์ (Outcome) หรือ สมาชิกแต่ละตัวในสเป ซตัวอย่าง เรียกว่า จุดตัวอย่าง (Sample point)

ตัวอย่างของการทำการทดลองเชิงสุ่ม เช่น โยนเหรียญ 1 เหรียญ 1 ครั้ง ทอดลูกเต๋า 1 ลูก 1 ครั้ง ทดลองหยิบไพ่จากสำรับมาอย่างสุ่ม 1 ใบ ยิงปืนไปที่เป้า 1 นัด โยนเหรียญ 1 เหรียญ 2 ครั้ง สุ่มคนมา 1 คน เพื่อสอบถามหมู่เลือด

Sample Spaces เซตของผลลัพธ์ทั้งหมดที่เป็นไปได้ในการทดลองเชิง สุ่มหนึ่ง (Collection or Set of All Possible Outcomes) ตัวอย่างที่ 4.1 โยนลูกเต๋า 1 ลูก 1 ครั้ง S = { All 6 faces of a die } = { 1,2,3,4,5,6 } ตัวอย่างที่ 4.2 ทดลองหยิบไพ่จากสำรับมาอย่างสุ่ม 1 ใบ S = { All 52 cards of a bridge deck }

Sample Spaces ตัวอย่างที่ 4.3 เช่น โยนเหรียญ 1 เหรียญ 2 ครั้ง S={ HH,HT,TH,TT } , H แทน หัว ,T แทน ก้อย และสมาชิกที่เป็นไปได้แต่ละตัวในเซต S เรียกว่า Sample point

เนื่องจากเหตุการณ์เป็นเซตของสมาชิกที่เราสนใจ ดังนั้นโดยอาศัย การกระทำของเซต (Operation of sets) จะทำให้เกิดเหตุการณ์ใหม่ ให้ A, B เป็นเหตุการณ์ใด ๆ ใน Sample space 1. เหตุการณ์ A หรือ B แทนด้วย หมายถึง เหตุการณ์ A เกิดหรือ B เกิด หรือทั้ง สองเหตุการณ์เกิดขึ้นหรือกล่าวได้ว่ามีอย่างน้อยหนึ่ง เหตุการณ์เกิดขึ้น นั่นคือ ผลลัพธ์ของเหตุการณ์ จะเป็น ผลลัพธ์ที่อยู่ในเหตุการณ์ A หรือ B หรืออยู่ทั้งใน A และ B

4. เหตุการณ์ A และ B แทนด้วย หมายถึง เหตุการณ์ A และ B เกิดขึ้นพร้อมกัน นั่นคือ ผลลัพธ์ของเหตุการณ์ จะเป็นผลลัพธ์ ที่อยู่ทั้งในเหตุการณ์ A และ เหตุการณ์ B

3. Complement ของเหตุการณ์ A แทนด้วย หรือ หมายถึง เหตุการณ์ที่ไม่ใช่เหตุการณ์ A นั่นคือ ผลลัพธ์ของเหตุการณ์ จะเป็นผลลัพธ์ที่อยู่ ใน S แต่ไม่อยู่ใน A *** S และ Ø เป็นเหตุการณ์หนึ่งด้วย เพราะแต่ละ กรณีเหล่านี้เป็นเซตย่อยของ สเปซตัวอย่าง

Mutually Exclusive Events (M.E.E.) เหตุการณ์ A และ B จะเรียกว่า Mutually exclusive events ถ้าเหตุการณ์ A และ B ไม่มีผลลัพธ์ร่วมกัน (Disjoint events) นั่นคือ

ตัวอย่าง 4.4 โยนเหรียญ 1 อัน 2 ครั้ง S = {HH, HT, TH, TT} ถ้าให้ A แทน เหตุการณ์ที่เหรียญขึ้นหน้า เหมือนกันทั้งสอง B แทน เหตุการณ์ที่เหรียญขึ้นหัวอย่าง น้อย 1 ครั้ง C แทน เหตุการณ์ที่เหรียญขึ้นหัว 1 ครั้ง จะได้ว่า A = {HH, TT} B = {HH, HT, TH} C = {HT, TH} จงเขียนเซตของเหตุการณ์ต่อไปนี้

แนวความคิดเกี่ยวกับความน่าจะเป็น ในการทดลองเชิงสุ่มหนึ่งๆ เหตุการณ์ที่สนใจอาจจะ เกิดขึ้นหรือไม่เกิดขึ้นก็ได้ถ้าเราจะวัดโอกาสหรือความ น่าจะเป็น (Chance or Probability) ที่เหตุการณ์ที่ คาดหวังจะเกิดขึ้น ความน่าจะเป็นดังกล่าวจะถูก กำหนดเป็นตัวเลขในช่วง 0 ถึง 1 ถ้าแน่ใจว่าเหตุการณ์ เกิดขึ้นแน่นอน ก็กล่าวได้ว่าความน่าจะเป็นของ เหตุการณ์นั้นเป็น 1แต่ถ้าแน่ใจว่าเหตุการณ์นั้นไม่ เกิดขึ้น จะได้ว่าความน่าจะเป็นของเหตุการณ์นั้นเป็น 0

ดังนั้นกล่าวได้ว่า… ความน่าจะเป็น (Probability) คือ ตัวเลขที่ใช้เป็น มาตรในการวัดหรือบอกโอกาสของการเกิด เหตุการณ์ว่ามีโอกาสเกิดขึ้นมากหรือน้อยเพียงใด และความน่าจะเป็นจะมีความหมายก็ต่อเมื่อ เหตุการณ์นั้นหรือเหตุการณ์ที่เราสนใจ ยังไม่เกิดขึ้นหรือเกิดขึ้นแล้วแต่เรายังไม่ทราบผล แต่ถ้าทราบผลของเหตุการณ์นั้นแล้วความน่าจะเป็น ก็จะหมดความหมาย

ความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ (Probability of Event) Frequency Probabilty or Frequency Approach or Empirical Probabilty Classical Probabilty or Classical Approach or Mathematical Probabilty Subjective Probabilty

Frequency Approach

Classical Approach ในการทำการทดลองเชิงสุ่มหนึ่ง สนใจเหตุการณ์ A ความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ A แทนด้วย P(A) ซึ่ง โดยที่ n(A) แทน จำนวนสมาชิกของเหตุการณ์ A n(S) แทน จำนวนสมาชิกทั้งหมดในแซม เปิลสเปซ S กรณีนี้สมาชิกแต่ละตัวในสเปซตัวอย่างต้องมีโอกาส เกิดขึ้นได้เท่า ๆ กันและเกิดขึ้นไม่พร้อมกัน (Each of the Outcomes in the Sample Space is Equally Likely to Occur and mutually exclusive)

Axiom of probability 1. ให้ A เป็นเหตุการณ์ใด ๆ ใน S แล้ว P(A) ≥ 0 4. P(S) =1 3. ให้ A1 , A2 , ... , Ak เป็นเหตุการณ์ใด ๆ ใน S และ เกิดขึ้นไม่พร้อมกันแล้ว จะได้ว่า จาก Axiom ดังกล่าว จะได้ทฤษฎีความน่าจะเป็นที่ สำคัญดังต่อไปนี้

ทฤษฎีที่เกี่ยวข้อง

ทฤษฎีที่เกี่ยวข้อง

ตัวอย่าง 4.5 ทอดลูกเต๋า 1 ลูก 1 ครั้ง ให้ A แทน เหตุการณ์ที่ลูกเต๋าขึ้นแต้มคี่ ให้ B แทน เหตุการณ์ที่ลูกเต๋าขึ้นแต้ม 2 หรือ 5 ให้ C แทน เหตุการณ์ที่ลูกเต๋าขึ้นแต้ม 3 และ 4 จงหาความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ A, B, C, A B,

ตัวอย่าง 4.6 โยนเหรียญ 1 เหรียญ 3 ครั้ง ตัวอย่าง 4.6 โยนเหรียญ 1 เหรียญ 3 ครั้ง ให้ A แทน เหตุการณ์ที่เหรียญขึ้นหัว 2 ครั้ง ให้ B แทน เหตุการณ์ที่เหรียญขึ้นหัวในการโยน ครั้งแรก ให้ C แทน เหตุการณ์ที่ขึ้นหัวอย่างน้อย 1 ครั้ง จงหา

ตัวอย่าง 4.7 หยิบไพ่จากสำรับมาอย่างสุ่ม 1 ใบ ตัวอย่าง 4.7 หยิบไพ่จากสำรับมาอย่างสุ่ม 1 ใบ จงหา 1. P(ได้ไพ่แต้ม K) 4. P(ได้ไพ่โพดำ) 3. P(ได้ไพ่ K โพดำ) 4. P(ได้ไพ่แต้ม K หรือ โพดำ) **** ฝึกปฏิบัติ

ตัวอย่าง 4.8 โยนเหรียญ 1 เหรียญ 5 ครั้ง ตัวอย่าง 4.8 โยนเหรียญ 1 เหรียญ 5 ครั้ง จงหาความน่าจะเป็นที่ 1. เหรียญขึ้นหัว 2 ครั้ง 4. เหรียญขึ้นหัวอย่างน้อย 1 ครั้ง 3. เหรียญขึ้นหัวอย่างมาก 1 ครั้ง 4. เหรียญขึ้นหัว 2 หรือ 3 ครั้ง **** ฝึกปฏิบัติ

ความน่าจะเป็นแบบมีเงื่อนไข (Conditional Probability) ความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ B เมื่อกำหนดว่า เหตุการณ์ A เกิดขึ้นแล้ว (Probability of event B given that event A had occurred.) แทนด้วย P(B | A) ซึ่ง Definition

ตัวอย่าง 4.9 ในมหาวิทยาลัยแห่งหนึ่ง ทราบว่า 25% ของนักศึกษาชั้นปีที่ 1 สอบตกวิชาคณิตศาสตร์ 15% ของนักศึกษาชั้นปีที่ 1 สอบตกวิชาสถิติและ 10% ของนักศึกษาชั้นปีที่ 1 สอบตกทั้งสองวิชา ถ้าสุ่มนักศึกษามา 1 คน 1. ถ้าทราบว่านักศึกษาคนนั้นสอบตกวิชาคณิตศาสตร์ จงหาความน่าจะเป็นที่เขาสอบตกวิชาสถิติ 4. ถ้าทราบว่านักศึกษาคนนั้นสอบตกวิชาสถิติจงหา ความน่าจะเป็นที่เขาสอบวิชาคณิตศาสตร์ 3. จงหาความน่าจะเป็นที่เขาสอบตกอย่างน้อย 1 วิชา

ตัวอย่าง 4.10 ครอบครัวหนึ่งมีลูก 3 คน จงหาความน่าจะเป็นที่ 1. ครอบครัวนี้มีลูกสองคนแรกเป็นชาย 4. ครอบครัวนี้มีลูกเป็นชายสองคน 3. ถ้าทราบว่าครอบครัวนี้มีลูกสองคนแรกเป็นชาย จง หาความน่าที่ครอบครัวนี้มีลูก เป็นชายสองคน 4. ถ้าทราบว่าครอบครัวนี้มีลูกเป็นหญิงสองคน จงหา ความน่าจะเป็นที่ครอบครัวนี้ มีลูกคนแรกเป็นหญิง **** ฝึกปฏิบัติ

ตัวอย่าง 4.11 กล่องใบหนึ่งบรรจุหลอดไฟ 100 หลอด ซึ่งเป็นหลอดดี 80 หลอดและหลอดเสีย 20 หลอด หยิบหลอดไฟจากกล่องนี้มาอย่างสุ่ม 2 หลอด โดยหยิบมาทีละหลอดแบบ ไม่ใส่คืน จงหาความน่าจะเป็นที่หยิบได้หลอดเสียทั้งสองหลอด

กรณี n เหตุการณ์ ตัวอย่าง 4.12 หยิบไพ่จากสำรับมาอย่างสุ่ม 3 ใบ โดยหยิบทีละใบแบบไม่ใส่คืน 1. จงหาความน่าจะเป็นที่หยิบได้ K ทั้งสามใบ 4. จงหาความน่าจะเป็นที่หยิบ J, Q, K ตามลำดับ

ตัวอย่าง 4.13 โยนลูกเต๋า 1 ลูก 2 ครั้ง ให้ A แทน เหตุการณ์ที่ครั้งแรกลกู เต๋าขึ้น แต้ม 5 หรือ 6 ให้ B แทน เหตุการณ์ที่ครั้งที่สองลูกเต๋าขึ้นแต้มคู่ จงหา

เหตุการณ์ที่อิสระกัน (Independent Events) เหตุการณ์ A และ B อิสระกัน ถ้า เหตุการณ์สองเหตุการณ์อิสระกัน เมื่อความน่าจะเป็น ของการเกิดเหตุการณ์หนึ่งไม่มี ผลกระทบต่อความน่าจะเป็นของการเกิดขึ้นของอีก เหตุการณ์หนึ่ง

เหตุการณ์ที่อิสระกัน (Independent Events) นิยาม เหตุการณ์ A และ B อิสระกัน ก็ต่อเมื่อ

ตัวอย่าง 4.14 ข้อมูลจากตาราง ตัวอย่าง 4.14 ข้อมูลจากตาราง สุ่มนักเรียนมา 1 คน จงหาความน่าจะเป็นที่ 1. ได้ผู้ที่ใส่แว่นตา 4. ได้ผู้ที่ใส่แว่นตา โดยกำหนดว่าเป็นเพศชาย 3. ได้ผู้ที่ใส่แว่นตา และ เป็นเพศชาย **** ฝึกปฏิบัติ

ตัวอย่าง 4.15 กรณี n เหตุการณ์ หยิบไพ่มา 5 ใบอย่างสุ่มจากสำรับ โดยหยิบทีละใบ แบบใส่คืน จงหาความน่าจะเป็นที่ 1. ได้ K ทั้ง 5 ใบ 4. ได้ K 3 ใบ และ Q 2 ใบ **** ฝึกปฏิบัติ

ตัวอย่าง 4.16 นาย ก. นาย ข. และนาย ค. ทำข้อสอบข้อหนึ่ง ซึ่งโอกาส ที่นาย ก. นาย ข. และ นาย ค. จะทำข้อสอบถูกต้องเท่ากับ 0.4 , 0.5 , และ 0.6 ตามลำดับ จงหาความน่าจะเป็นที่ 1. ทั้งสามคนทำข้อสอบถูกต้อง 4. ทำข้อสอบถูก 2 คน เท่านั้น 3. ทำข้อสอบถูกอย่างน้อย 1 คน **** ฝึกปฏิบัติ