การเคลื่อนที่แบบโปรเจคไตล์ (Projectile Motion)

การเคลื่อนที่แบบโปรเจคไตล์ (Projectile Motion) การเคลื่อนที่แบบโปรเจคไตล์ประกอบด้วยการเคลื่อนที่ 2 แนวพร้อมกัน คือแนวระดับและแนวดิ่ง ซึ่งพบว่าความเร็วต้นทางแนวระดับ ไม่มีผลต่อการเคลื่อนที่ในแนวดิ่ง โดยดูได้จากการตกของวัตถุที่ปล่อยและวัตถุที่ถูกดีด ถ้าดีดแรงตกไกล ดีดเบาตกใกล้ แต่จะตกถึงพื้นพร้อมกับวัตถุที่ปล่อยให้ตกในแนวดิ่ง ณ จุดเริ่มต้น -เดียวกัน แสดงว่า การเคลื่อนที่ในแนวระดับไม่มีผลต่อการเคลื่อนที่ในแนวดิ่ง ดังนั้น จึงแยกคิดการเคลื่อนที่เป็นอิสระต่อกัน 2 แนว ux vx vy v

การเคลื่อนที่ในแนวระดับของการเคลื่อนที่แบบโปรเจคไตล์ ขณะที่วัตถุเคลื่อนที่อยู่ในอากาศจะมีแรงดึงดูดของโลก (mg)กระทำเพียงแรงเดียวเท่านั้น โดยในแนวระดับ แรงกระทำต่อวัตถุมีค่าเป็นศูนย์ (F=0) จาก Fx = max เมื่อ Fx = 0 ดังนั้น ax = 0 ผลก็คือ วัตถุเคลื่อนที่ด้วยความเร็วคงตัว (vx = ux) ดังนั้น สมการในการเคลื่อนที่ในแนวระดับ คือ Sx = uxt เมื่อ Sx = การกระจัดในแนวระดับ ux = ความเร็วในแนวระดับ t = ช่วงเวลาของการเคลื่อนที่

การเคลื่อนที่ในแนวดิ่งของการเคลื่อนที่แบบโปรเจคไตล์ ในขณะที่วัตถุอยู่ในอากาศ จะมีแรงดึงดูดของโลก (mg) กระทำเพียงแรงเดียว ดังนั้น ความเร่งของวัตถุในแนวดิ่ง ay จึงเท่ากับ g การเคลื่อนที่ของวัตถุแบบโปรเจคไตล์ ในแนวดิ่ง จะเหมือนกับวัตถุที่ตกอย่างอิสระทุกประการ ดังนั้นสมการการเคลื่อนที่ของวัตถุในแนวดิ่งคือ 1.Vy = uy + ay.t 3.Sy = uyt + ½ ayt2 โดยที่ ay = g 4.vy2 = uy2 + 2aysy

การหาการกระจัดและความเร็ว ณ ตำแหน่งต่างๆของการเคลื่อนที่แบบโปรเจคไตล์ ux A  sAB sy B c sx จากรูปถ้าต้องการหาการกระจัด A ถึง B (SAB) sx = การกระจัดของวัตถุในแนวระดับ (c B) sy = การกระจัดของวัตถุในแนวดิ่ง (A c) จะได้ว่า ทิศของsAB หาได้จาก เมื่อ  เป็นมุมที่ SAB ทำกับแนวระดับ สรุป การหาการกระจัดของวัตถุเราต้องรู้ sx,sy ซึ่งหาได้จากสมการการเคลื่อนที่ในแต่ละแนว

Vx = ความเร็วในแนวระดับ ณ จุด B ux A B vx  vy vB จากรูป ถ้าต้องการหาความเร็ว ณ จุด B (vB) ซึ่งอยู่ในแนวเส้นสัมผัสกับส่วนโค้ง ณ จุด B Vx = ความเร็วในแนวระดับ ณ จุด B Vy = ความเร็วในแนวดิ่ง ณ จุด B ดังนั้น จะได้ว่า ทิศของvB หาได้จาก เมื่อ  เป็นมุมที่ vB ทำกับแนวระดับ สรุป การหาความเร็วของวัตถุเราต้องรู้ vx,vy ซึ่งหาได้จากสมการการเคลื่อนที่ในแต่ละแนว

ลักษณะการเคลื่อนที่แบบโปรเจคไตล์ แบบทั่วไปๆ ลักษณะการเคลื่อนที่แบบโปรเจคไตล์ แบบทั่วไปๆ 1.มีเฉพาะความเร็วต้นในแนวระดับเพียงแนวเดียว ดังรูป ก 2.มีความเร็วต้นทั้งแนวระดับและแนวดิ่ง ดังรูป ข และ ค u ux  u uy uy  รูป ก รูป ข ux รูป ค การคำนวณหาปริมาณต่างๆ ของการเคลื่อนที่ เหมือนดังที่กล่าวมาข้างต้น รูป ก ay = g , uy = 0 รูป ข ay = g , ux = ucos , uy = usin รูป ค ay = - g , ux = ucos , uy = usin

สรุปเงื่อนไขการเคลื่อนที่แบบโปรเจคไตล์ 1.วัตถุต้องมีการเคลื่อนที่อย่างอิสระ มีแรงดึงดูดของโลก mg กระทำเพียงแรงเดียว 2.ต้องมีความเร็วต้นในแนวระดับ(ux) ส่วนในแนวดิ่ง(uy) จะมีหรือไม่ก็ได้ โดยความเร็วในแนวระดับคงที่เสมอ 3.เวลาที่ใช้ในการเกิดการกระจัดจากจุดหนึ่งถึงจุดหนึ่ง ในแนวระดับ (x) เท่ากับในแนวดิ่ง (y) 4.ณ จุดสูงสุดของโปรเจคไตล์ ความเร็ว vy =0 แต่ vx = ux ดังนั้นความเร็ว ณ จุดสูงสุดจึงเท่ากับ ux 5.การพิจารณาปริมาณในแนวดิ่ง ถ้ามีทิศลงเพียงทิศทางเดียว ay = g แต่ถ้ามีการเคลื่อนที่ 2 ทิศทาง มีขึ้นและมีลง ay = - g 6.สมการการคำนวณ เหมือนการเคลื่อนที่ในแนวตรงทุกประการ

เมื่อได้ t ก็มาหา อัตราเร็ว ux จากสูตร ตัวอย่างที่1 เมื่อปาวัตถุออกไปในแนวระดับจากที่สูง 80 เมตร ปรากฏว่าวัตถุตกห่างจากจุดปาในแนวราบ 20 เมตร จงหาอัตราเร็วของวัตถุที่ปาออกไป วิเคราะห์โจทย์ เราควรเขียนรูปแสดงการเคลื่อนที่ พร้อมใส่รายละเอียด วิธีทำ เมื่อรู้ Sy = 80 m, Sx = 20 m, Uy = 0 , ay = 10 m/s2 ต้องการหา ux แต่เราต้อง หา t แนวดิ่งก่อน จาก Sy = uyt + ½ ayt2 ux แทนค่า 80 = 0 + ½ (10)t2 t = 4 S 80 m เมื่อได้ t ก็มาหา อัตราเร็ว ux จากสูตร จาก Sx = uxt 20 m แทนค่า 20 = ux(4) ดังนั้น ux = 5 m/s

t2 + 3t – 10 = 0 จาก sy = uyt + ½ ayt2 แทนค่า 50 = usin37๐t + ½ (10)t2 ตัวอย่างที่ 2 ชายคนหนึ่งยืนอยู่บนดาดฟ้าตึกสูง 50 เมตร แล้วปาก้อนหินออกไปในแนวทำมุม 37 องศา กับแนวระดับ ด้วยความเร็ว 25 m/s ก. นานเท่าไร ก้อนหินตกถึงพื้น ข.ก้อนหินตกห่างจากตัวตึกเท่าไร วิเคราะห์โจทย์ เขียนรูปแสดงการเคลื่อนที่ พร้อมใส่รายละเอียด เมื่อรู้ว่า u = 25 m/s และ ux =ucos37๐ , uy = usin 37๐ ay = 10 m/s2 , sy = 50 m ก.หาเวลา t ในแนวดิ่ง วิธีทำ จาก sy = uyt + ½ ayt2 ux 37๐ แทนค่า 50 = usin37๐t + ½ (10)t2 U=25m/s 50 = 25(3/5)t + 5t2 uy 50 m 5t2 + 15t – 50 = 0 t2 + 3t – 10 = 0 (t+5) (t-2) = 0 ดังนั้นก้อนหินตกถึงพื้น เมื่อเวลาผ่านไป t = 2 s

ดังนั้น ก้อนหินตกห่างจากตัวตึก 40 เมตร ข.หาระยะที่ก้อนหินตกห่างจากตัวตึก จาก sx = uxt = u(cos37๐ )t แทนค่าลงไป จะได้ = 25 x x 2 Sx = 40 m ดังนั้น ก้อนหินตกห่างจากตัวตึก 40 เมตร

แบบฝึกลองทำดู 1.น้องทรายขับรถออกจากบ้านระยะทาง 900 เมตร ไปสนามบินสุวรรณภูมิซึ่งอยู่ทางทิศตะวันออกและย้อนกลับมาทางทิศตะวันตก 600 เมตร ใช้เวลาเดินทางทั้งหมด 25 นาที น้องทรายจะขับรถด้วยอัตราเร็วเท่าใด (เมตร/วินาที) คำตอบ 1 m/s

2.ขว้างก้อนหินลงจากตึกสูง 80 เมตรด้วยความเร็วในแนวราบ 10 m/s ก้อนหินจะตกถึงพื้นห่างจากตึกในแนวราบเป็นระยะเท่าใด

3.น้องทรายโยนก้อนหินขึ้นจากพื้นด้วยความเร็วต้น 10 m/s ทำมุม 37 องศากับแนวราบ ก้อนหินจะตกลงพื้นห่างจากจุดที่โยนเท่าใด

4.ยิงกระสุนขึ้นจากพื้นด้วยความเร็ว10 m/s ในทิศทำมุม 53 องศากับพื้น ไปยังตึกสูง 5 ชั้น ชั้นละ 5 เมตร กระสุนจะตกลงที่ชั้นใด ถ้าตึกอยู่ห่างจากจุดที่ยิงในแนวราบ 100 เมตร