Chapter Objectives Chapter Outline Concept of the free-body diagram (FBD) for a particle Solve particle equilibrium problems using the equations of equilibrium Chapter Outline Condition for the Equilibrium of a Particle (เงื่อนไขการสมดุลสำหรับอนุภาค) The Free-Body Diagram (แผนภาพวัตถุอิสระ) Coplanar Systems (ระบบที่อยู่บนระนาบ) Three-Dimensional Force Systems (ระบบแรงใน 3 มิติ)

3.1 Condition for the Equilibrium of a Particle Particle at equilibrium if - At rest (หยุดนิ่ง) - Moving at constant a constant velocity Newton’s first law of motion ∑F คือผลรวมแบบเวกเตอร์ของแรงทั้งหมดที่กระทำบนอนุภาค Newton’s second law of motion ∑F = ma หากแรงเป็นไปตาม Newton's first law of motion, ดังนั้น อนุภาคจะเคลื่อนที่ด้วยความเร็วคงที่ หรือหยุดนิ่ง สมดุล

3.2 The Free-Body Diagram คือการแสดงการกระทำของแรงทั้งหมด (∑F) บนอนุภาคหนึ่ง ๆ เขียนเป็นรูปที่แสดงอนุภาคที่เป็น อิสระ (free) จากสภาพรอบ ๆ และแสดงแรงทั้งหมดกระทำอยู่บนอนุภาคนั้น ๆ พิจารณาข้อต่อ (connections) 2 ประเภทที่ใช้กันมาก ดังนี้ Spring Cables and Pulleys (รอก)

ขนาดของแรงที่เกิดขึ้นเมื่อสปริงยืดหรือหด มีค่า  3.2 The Free-Body Diagram Spring Linear elastic spring: การเปลี่ยนแปลงความยาวมีผลแบบสัดส่วนตรงตรงต่อแรงที่กระทำต่อสปริง spring constant หรือ stiffness k: ใช้นิยามความยืดหยุ่นของสปริง (หรือระบบอื่น ๆ) ขนาดของแรงที่เกิดขึ้นเมื่อสปริงยืดหรือหด มีค่า 

3.2 The Free-Body Diagram Cables and Pulley เคเบิลหรือคอร์ด (cable or cord) ถูกพิจารณาให้ไม่มีน้ำหนักและไม่ยืดตัว มีแรงดึงในทิศทางของเส้นเคเบิล แรงดึงต้องมีขนาดคงที่สำหรับสภาพสมดุล สำหรับมุม θ ใดๆ แรงดึง T ในเคเบิล มีค่าคงที่ ตลอดเส้น

3.2 The Free-Body Diagram ขั้นตอนการสร้าง FBD 1. วาดโครงร่างของระบบ 1. วาดโครงร่างของระบบ 2. แสดงแรงทุก ๆ ตัว - แรงกระทำ (Active forces) : พยายามทำให้อนุภาคเคลื่อนที่ - แรงต้าน (Reactive forces): ต้านทานการเคลื่อนที่จากการยึดรั้ง 3. ระบุแรงแต่ละตัว - แรงที่รู้ค่าทั้งขนาดและทิศทาง

Example 3.1 The sphere has a mass of 6kg and is supported by a system shown. Draw a free-body diagram of the sphere, the cord CE and the knot at C.

Solution FBD at Sphere Two forces acting, weight and the force on cord CE. Weight of 6kg (9.81m/s2) = 58.9N Cord CE Two forces acting: sphere and knot Newton’s 3rd Law: FCE is equal but opposite FCE and FEC pull the cord in tension For equilibrium, FCE = FEC

Solution FBD at Knot 3 forces acting: cord CBA, cord CE and spring CD น้ำหนักของก้อน sphere ไม่ได้กระทำโดยตรงกับจุด C แต่กระทำผ่านเส้น CE

3.3 Coplanar Systems อนุภาคที่มีแรงในระนาบ x-y กระทำ แตกแรงเป็นองค์ประกอบ i และ j เพื่อพิจารณาสมดุล สำหรับสมการสมดุลแบบสเกลลาร์ ผลรวมแบบพีชคณิตขององค์ประกอบ x และ y ต้องเท่ากับศูนย์

3.3 Coplanar Systems ขั้นตอนการวิเคราะห์ 1. Free-Body Diagram - กำหนดแกน x, y - กำกับชื่อ หรือแสดงค่า สำหรับแรงทั้งหมด (unknown & known forces) 2. สมการสำหรับสมดุล - หากมีสปริง ใช้ F = ks สำหรับแรงในสปริง - Equations of equilibrium ∑Fx = 0 ∑Fy = 0

Example 3.4 Determine the required length of the cord AC so that the 8kg lamp is suspended. The undeformed length of the spring AB is L’AB = 0.4m, and the spring has a stiffness of kAB = 300N/m.

Solution FBD at Point A Three forces acting, force by cable AC, force in spring AB and weight of the lamp. If force on cable AB is known, stretch of the spring is found by F = ks.

Solution

3.4 Three-Dimensional Force Systems For particle equilibrium ∑F = 0 แตกแรงเป็นองค์ประกอบ i, j, k ∑Fxi + ∑Fyj + ∑Fzk = 0 3 สมการสเกลลาร์ แสดงถึงผลรวมของแรงในแกน x, y, z ∑Fxi = 0 ∑Fyj = 0 ∑Fzk = 0

3.4 Three-Dimensional Force Systems Procedure for Analysis Free-body Diagram สร้างแกน x, y, z กำกับชื่อ หรือแสดงค่า สำหรับแรงทั้งหมด (unknown & known forces) Equations of Equilibrium ใช้สมการ ∑Fx = 0, ∑Fy = 0 และ ∑Fz = 0 แทนเวกเตอร์ลงในสมการ ∑F = 0 และกำหนดให้องค์ประกอบของ i, j, k = 0 ผลลัพท์ที่มีเครื่องหมายลบ หมายถึงทิศทางของคำตอบจริงตรงข้ามกับที่เขียนใน FBD

Example 3.7 Determine the force developed in each cable used to support the 40kN crate (กล่อง).

Solution เพื่อแสดงแรงที่ไม่ทราบค่าทั้งสามตัวของเคเบิล A (0, 0, 0) B (-3, -4, 8) C (-3, 4, 8) D (+, 0, 0) FBD at Point A เพื่อแสดงแรงที่ไม่ทราบค่าทั้งสามตัวของเคเบิล Equations of Equilibrium แสดงแรงแต่ละตัวในระบบคาร์ทีเชียน

Solution