Probability and Statistics for Computing

งานนำเสนอเรื่อง: "Probability and Statistics for Computing"— ใบสำเนางานนำเสนอ:

1 88520159 Probability and Statistics for Computing
บทที่ 9 การประมาณค่าและทดสอบสมมติฐานเกี่ยวกับ ผลต่างสัดส่วนของประชากร 𝑃 1 − 𝑃 2 Probability and Statistics for Computing

2 ผลต่างสัดส่วนของประชากร 𝑃 1 − 𝑃 2
ผลต่างสัดส่วนของประชากร 𝑃 1 − 𝑃 2 ต้องการทดสอบว่าสัดส่วนของลักษณะที่สนใจ ทดสอบของสองประชากรว่าแตกต่างกัน มากกว่าหรือน้อยกว่ากันหรือไม่ ตัวอย่าง ในการผลิตสินค้ามีเครื่องจักรสอง เครื่อง ผู้ผลิตสนใจว่าเครื่องจักรสองเครื่องมี ประสิทธิภาพในการทำงานดีพอๆ กันหรือไม่ โดยนับจำนวนสินค้าที่ผลิตแล้วเสียของสอง เครื่องจักร คำนวณสัดส่วนของสินค้าที่ผลิตแล้วเสียในเครื่องจักรที่ 1 𝑃 1 = 𝑋 1 𝑁 1 คำนวณสัดส่วนของสินค้าที่ผลิตแล้วเสียในเครื่องจักรที่ 2 𝑃 2 = 𝑋 2 𝑁 2 แล้วทำการเปรียบเทียบค่า 𝑃 1 − 𝑃 2 ว่ามีค่าเป็นอย่างไร

3 การประมาณค่าผลต่างสัดส่วนของประชากร
ถ้าสุ่มตัวอย่างจากประชากรสองชุด ซึ่งมีขนาด 𝑛 1 และ 𝑛 2 ซึ่งมีขนาดใหญ่ ผลต่างสัดส่วนของตัวอย่าง 𝑝 1 − 𝑝 2 จะมีการแจก แจงปกติ การประมาณแบบจุดของผลต่างสัดส่วนของ ประชากร 𝑃 1 − 𝑃 2 ค่าสถิติที่เป็นตัวประมาณ คือ ผลต่างสัดส่วนของตัวอย่าง 𝑝 1 − 𝑝 2 การประมาณแบบช่วงของผลต่างสัดส่วนของ ประชากร เมื่อ 𝑝 1 = 𝒙 1 𝑛 และ 𝑝 𝟐 = 𝒙 𝟐 𝑛 𝟐 ช่วงความเชื่อมั่น (1−𝛼) 100% ของ 𝑃 1 − 𝑃 2 คือ ( 𝑝 1 − 𝑝 2 )± 𝑍 𝛼/ 𝑝 1 (1− 𝑝 1 ) 𝑛 𝑝 2 (1− 𝑝 2 ) 𝑛 2

4 การประมาณแบบช่วงของ 𝑃 1 − 𝑃 2 ด้วย โปรแกรม R
prop.test(x=c( 𝑥 1 , 𝑥 2 ), n=c( 𝑛 1 , 𝑛 2 ), correct=FALSE , conf.level = 0.95) 𝑥 1 , 𝑥 2 คือ ความถี่ที่สนใจของตัวอย่าง 1 และ 2 ตามลำดับ 𝑛 1 , 𝑛 2 คือ ความถี่ทั้งหมดของตัวอย่าง 1 และ 2 ตามลำดับ correct คือ การปรับค่า Yate เมื่อข้อมูล ตัวอย่างมีขนาดใหญ่จะกำหนดให้เป็น FALSE conf.level คือ ระดับความเชื่อมั่น Default = 0.95

5 ตัวอย่างที่ 1 โรงงานแห่งหนึ่งมีเครื่องจักรในการผลิต กระป๋องจำนวน 2 เครื่อง จากการสุ่มกระป๋องที่ ผลิตโดยเครื่องจักรเครื่องที่ 1 มาจำนวน ใบ พบว่ากระป๋องมีตำหนิ 50 ใบ และสุ่ม กระป๋องที่ผลิตโดยเครื่องจักรเครื่องที่ 2 มา จำนวน 300 ใบ พบว่ากระป๋องมีตำหนิ 30 ใบ 1. จงประมาณค่าผลต่างของสัดส่วนของ กระป๋องที่มีตำหนิทั้งหมดที่ผลิตโดยเครื่องจักร เครื่องที่1 และเครื่องที่ 2 2. จงหาช่วงความเชื่อมั่นที่ 95% ของผลต่าง สัดส่วนของกระป๋องที่มีตำหนิทั้งหมดที่ผลิต โดยเครื่องจักรเครื่องที่ 1 และเครื่องที่ 2

6 ตัวอย่างที่ 1 1. จงประมาณค่าผลต่างสัดส่วนของกระป๋องที่มีตำหนิ ทั้งหมดที่ผลิตโดยเครื่องจักรเครื่องที่ 1 และเครื่องที่ 2 กำหนดให้ 𝑃 1 คือ สัดส่วนของกระป๋องที่มีตำหนิจาก เครื่องจักรเครื่องที่ 𝑃 2 คือ สัดส่วนของกระป๋องที่มีตำหนิจาก เครื่องจักรเครื่องที่ 2 เครื่องจักรเครื่องที่ 1 : 𝑥 1 =50, 𝑛 1 =250, 𝑝 1 = =0.2 เครื่องจักรเครื่องที่ 2 : 𝑥 2 =30, 𝑛 2 =300, 𝑝 2 = =0.1 ดังนั้น 𝑝 1 − 𝑝 2 =0.2−0.1=0.1 สรุป ผลต่างสัดส่วนของกระป๋องที่มีตำหนิทั้งหมดที่ ผลิตโดยเครื่องจักรเครื่องที่ 1 และเครื่องที่ 2 มีค่าเป็น โดยเครื่องที่ 1 ผลิตได้มีตำหนิมากกว่าเครื่องที่ 2

7 ตัวอย่างที่ 1 2. จงหาช่วงความเชื่อมั่นที่ 95% ของผลต่าง สัดส่วนของกระป๋องที่มีตำหนิทั้งหมดที่ผลิต โดยเครื่องจักรเครื่องที่ 1 และเครื่องที่ 2 prop.test(x=c(50,30), n=c(250,300), correct=FALSE , conf.level = 0.95) 2-sample test for equality of proportions without continuity correction data: c(50, 30) out of c(250, 300) X-squared = , df = 1, p-value = alternative hypothesis: two.sided 95 percent confidence interval: sample estimates: prop 1 prop 2 สรุป ช่วงความเชื่อมั่นที่ 95% ของผลต่างสัดส่วนของกระป๋องที่มีตำหนิทั้งหมดที่ผลิตโดยเครื่องจักรเครื่องที่ 1 และเครื่องที่ 2 มีค่าอยู่ในช่วง ถึง

8 ตัวอย่างที่ 2 จากการตรวสุขภาพฟันประจำปีของนักเรียน โรงเรียนอนุบาลแห่งหนึ่ง โดยสุ่มเด็กนักเรียน หญิงจำนวน 380 คน พบว่ามีฟันผุจำนวน 50 คน และสุ่มเด็กนักเรียนชายจำนวน 300 คน มีฟันผุ จำนวน 45 คน จากข้อมูลดังกล่าว 1.จงประมาณค่าผลต่างของสัดส่วนการฟันผุของ เด็กนักเรียนหญิงและนักเรียนชาย 2. จงหาของผลต่างของสัดส่วนการฟันผุของเด็ก นักเรียนหญิงและนักเรียนชายที่ระดับความ เชื่อมั่นที่ 99%

9 ตัวอย่างที่ 2 1.จงประมาณค่าผลต่างของสัดส่วนการฟันผุของเด็ก นักเรียนหญิงและนักเรียนชาย กำหนดให้ 𝑃 1 คือ สัดส่วนของการฟันผุของเด็กนักเรียน หญิง 𝑃 2 คือ สัดส่วนของการฟันผุของเด็กนักเรียน ชาย นักเรียนหญิง : 𝑥 1 =50, 𝑛 1 =380, 𝑝 1 = =0.1316 นักเรียนชาย : 𝑥 2 =45, 𝑛 2 =300, 𝑝 2 = =0.1500 ดังนั้น 𝑝 1 − 𝑝 2 =0.1316−0.1500=−0.0184 สรุป ผลต่างของสัดส่วนการฟันผุของเด็กนักเรียนหญิง และนักเรียนชาย มีค่าเป็น โดยนักเรียนชายมีการฟันผุมากกว่า นักเรียนหญิง

10 ตัวอย่างที่ 2 2. จงหาของผลต่างของสัดส่วนการฟันผุของ เด็กนักเรียนหญิงและนักเรียนชายที่ระดับ ความเชื่อมั่นที่ 99% prop.test(x=c(50,45), n=c(380,300), correct=FALSE , conf.level = 0.99) 2-sample test for equality of proportions without continuity correction data: c(50, 45) out of c(380, 300) X-squared = , df = 1, p-value = alternative hypothesis: two.sided 99 percent confidence interval: sample estimates: prop 1 prop 2 สรุป ช่วงความเชื่อมั่นที่ 99% ผลต่างของสัดส่วนการฟันผุของเด็กนักเรียนหญิงและนักเรียนชาย มีค่าอยู่ในช่วง ถึง

11 ทบทวนการทดสอบสมมติฐาน
การตั้งสมมติฐาน 𝐻 0 :𝜃= 𝜃 0 𝐻 1 :𝜃≠ 𝜃 0 𝐻 0 :𝜃≥ 𝜃 0 𝐻 1 :𝜃< 𝜃 0 𝐻 0 :𝜃≤ 𝜃 0 𝐻 1 :𝜃> 𝜃 0 การทดสอบสมมติฐานสองทาง การทดสอบสมมติฐานทางเดียว

12 การทดสอบทางเดียวด้านซ้าย (Left-tailed test)
การทดสอบทางเดียวด้านซ้าย เป็นการทดสอบ สมมติฐาน ที่สมมติฐานรองเป็นเครื่องหมาย น้อยกว่า (<) โดยมีเขตวิกฤติอยู่ที่ปลายหาง ด้านซ้ายของการแจกแจง 𝐻 0 :𝜃≥ 𝜃 0 𝐻 1 :𝜃< 𝜃 0 ปฏิเสธ H0 ยอมรับ H0 ค่าวิกฤต เลือกตัวสถิติ หาค่าสถิติทดสอบ และดูว่าค่าสถิติทดสอบตกในบริเวณใด หรือ ดูจาก p-value (ค่า prop ทางด้านซ้ายของค่าสถิติทดสอบ) p-value < 𝜶 ปฏิเสธ H0 p-value >= 𝜶 ยอมรับ H0 P(X< ค่าวิกฤต) = 𝜶 หาได้จาก qnorm(𝜶) หาได้จาก pnorm(ค่าสถิติทดสอบ)

13 การทดสอบทางเดียวด้านขวา (Right-tailed test)
การทดสอบทางเดียวด้านขวา เป็นการทดสอบ สมมติฐาน ที่สมมติฐานรองเป็นเครื่องหมาย มากกว่า (>) โดยมีเขตวิกฤติอยู่ที่ปลายหาง ด้านขวาของการแจกแจง 𝐻 0 :𝜃≤ 𝜃 0 𝐻 1 :𝜃> 𝜃 0 ยอมรับ H0 ปฏิเสธ H0 เลือกตัวสถิติ หาค่าสถิติทดสอบ และดูว่าค่าสถิติทดสอบตกในบริเวณใด หรือ ดูจาก p-value (ค่า prop ทางด้านขวาของค่าสถิติทดสอบ) p-value < 𝜶 ปฏิเสธ H0 p-value >= 𝜶 ยอมรับ H0 ค่าวิกฤต P(X< ค่าวิกฤต) = 𝟏−𝜶 หาได้จาก qnorm(𝟏−𝜶) หาได้จาก 1-pnorm(ค่าสถิติทดสอบ)

14 การทดสอบสองทาง (Two-tailed test )
การทดสอบสองทาง เป็นการทดสอบ สมมติฐาน ที่สมมติฐานรองเป็นเครื่องหมายไม่ เท่ากับ (≠) โดยมีเขตวิกฤติอยู่ที่ปลายทั้งสอง ข้างของการแจกแจง 𝐻 0 :𝜃= 𝜃 0 𝐻 1 :𝜃≠ 𝜃 0 ปฏิเสธ H0 ยอมรับ H0 ปฏิเสธ H0 ค่าวิกฤต เลือกตัวสถิติ หาค่าสถิติทดสอบ และดูว่าค่าสถิติทดสอบตกในบริเวณใด หรือ ดูจาก p-value (ค่า prop ทางด้านขวาและด้านซ้ายของค่าสถิติทดสอบ) p-value < 𝜶 ปฏิเสธ H0 p-value >= 𝜶 ยอมรับ H0 หาได้จาก pnorm(-|ค่าสถิติทดสอบ|) + 1-pnorm(|ค่าสถิติทดสอบ|)

15 การทดสอบสมมติฐานเกี่ยวกับผลต่างสัดส่วนของประชากร
การตั้งสมมติฐาน 𝑃 1 และ 𝑃 2 คือ สัดส่วนของสิ่งที่สนใจจาก ประชากรที่ 1 และ 2 ตามลำดับ 𝑑 คือ ผลต่างสัดส่วนของสิ่งที่สนใจของสอง ประชากร 𝐻 0 : 𝑃 1 − 𝑃 2 =𝑑 𝐻 1 : 𝑃 1 − 𝑃 2 ≠𝑑 𝐻 0 : 𝑃 1 − 𝑃 2 ≥𝑑 𝐻 1 : 𝑃 1 − 𝑃 2 <𝑑 𝐻 0 : 𝑃 1 − 𝑃 2 ≤𝑑 𝐻 1 : 𝑃 1 − 𝑃 2 >𝑑

16 การทดสอบสมมติฐานเกี่ยวกับผลต่างสัดส่วนของประชากร
กรณี 𝑑≠0 เมื่อ 𝑝 1 = 𝑥 1 𝑛 1 , 𝑝 2 = 𝑥 2 𝑛 2 หาค่า p-value ด้วยโปรแกรม R ต้องสร้างฟังก์ชันเอง ค่าสถิติทดสอบ 𝑍 𝑍= 𝑝 1 − 𝑝 2 −𝑑 𝑝 1 (1− 𝑝 1 ) 𝑛 𝑝 2 (1− 𝑝 2 ) 𝑛 2

17 การทดสอบสมมติฐานเกี่ยวกับผลต่างสัดส่วนของประชากร
การสร้างฟังก์ชัน หาค่า p-value สำหรับ กรณี 𝑑≠0 p.value.z <-function(p1,p2,n1,n2,d,alternative) { Z=((p1-p2)-d)/sqrt((p1*(1-p1)/n1)+(p2*(1-p2)/n2)) if (alternative=="greater") p.value=1-pnorm(Z) else if(alternative=="less") p.value=pnorm(Z) else p.value=pnorm(-abs(Z)) + 1-pnorm(abs(Z)) print(p.value) }

18 การทดสอบสมมติฐานเกี่ยวกับผลต่างสัดส่วนของประชากร
กรณี 𝑑=0 เมื่อ 𝑝 1 = 𝑥 1 𝑛 1 , 𝑝 2 = 𝑥 2 𝑛 และ 𝑃 = 𝑥 1 + 𝑥 2 𝑛 1 + 𝑛 2 หาค่า p-value ด้วยโปรแกรม R ค่าสถิติทดสอบ 𝑍 𝑍= 𝑝 1 − 𝑝 𝑃 (1− 𝑃 )( 1 𝑛 𝑛 2 ) prop.test(x=c( 𝑥 1 , 𝑥 2 ), n=c( 𝑛 1 , 𝑛 2 ), alternative=c("two.sided", "less", "greater"), correct=FALSE , conf.level = 0.95)

19 ตัวอย่างที่ 3 บริษัทผลิตอุปกรณ์อิเลคทรอนิกส์แห่งหนึ่ง ต้องการเปรียบเทียบคุณภาพของแผงวงจร ไฟฟ้าชนิดหนึ่งจากโรงงาน 2 แห่ง โดยสุ่ม ตัวอย่างแผงวงจรไฟฟ้าที่ผลิตจากโรงงานที่ 1 และ 2 มาจำนวน 200 และ 250 แผงตามลำดับ แล้วนำมาตรวจสอบคุณภาพ ซึ่งพบว่า แผงวงจรไฟฟ้าจากโรงงานที่ 1 และ 2 ไม่ผ่าน การตรวจสอบมีจำนวน 6 และ 10 แผง ตามลำดับ ที่ระดับนัยสำคัญ 0.05 บริษัทแห่งนี้ จะสรุปได้หรือไม่ว่า แผงวงจรไฟฟ้าที่ไม่ผ่าน การตรวจสอบจากโรงงานที่ 1 มีสัดส่วนน้อย กว่าที่ผลิตจากโรงงานที่ 2

20 ตัวอย่างที่ 3 0.05 1. ตั้งสมมติฐานในการทดสอบ
กำหนดให้ 𝑃 1 คือ สัดส่วนแผงวงจรไฟฟ้าที่ไม่ผ่านการ ตรวจสอบจากโรงงานที่ 1 𝑃 2 คือ สัดส่วนแผงวงจรไฟฟ้าที่ไม่ผ่านการ ตรวจสอบจากโรงงานที่ 2 1. ตั้งสมมติฐานในการทดสอบ 𝐻 0 : 𝑃 1 − 𝑃 2 ≥0 𝐻 1 : 𝑃 1 − 𝑃 2 <0 2. กำหนดระดับนัยสำคัญ (𝛼) = 0.05 0.05

21 ตัวอย่างที่ 3 3. คำนวณหาค่า p-value
4. สรุป ยอมรับ 𝐻 0 ที่ระดับนัยสำคัญ 0.05 ไม่สามารถ สรุปได้ว่าแผงวงจรไฟฟ้าที่ไม่ผ่านการตรวจสอบจาก โรงงานที่ 1 มีสัดส่วนน้อยกว่าที่ผลิตจากโรงงานที่ 2 > prop.test(x=c(6,10), n=c(200,250), alternative = "less", correct=FALSE , conf.level = 0.95) 2-sample test for equality of proportions without continuity correction data: c(6, 10) out of c(200, 250) X-squared = , df = 1, p-value = alternative hypothesis: less 95 percent confidence interval: sample estimates: prop 1 prop 2

22 ตัวอย่างที่ 4 ในการสำรวจจความคิดเห็นของประชาชน เกี่ยวกับการที่รัฐบาลเก็บเงินค่าดูแลบำบัดน้ำ เสียของที่พักอาศัย โดยการสุ่มประชาชนในเขต กรุงเทพ จำนวน 300 คน และในต่างจังหวัด จำนวน 500 คน ปรากฏว่าในเขตกรุงเทพมมีผู้ ที่เห็นด้วยกับการที่รัฐบาลเก็บเงินค่าบำบัดน้ำ เสีย 58% และ ในต่างจังหวัดมีผู้เห็นด้วย 45% ที่ระดับนัยสำคัญ 0.05 จะสรุปได้หรือไม่ว่า สัดส่วนของผู้ที่เห็นด้วยกับมาตรการรัฐนี้ใน เขตกรุงเทพมากกว่าต่างจังหวัดมากกว่า 5 เปอร์เซนต์

23 ตัวอย่างที่ 4 0.05 1. ตั้งสมมติฐานในการทดสอบ
กำหนดให้ 𝑃 1 คือ สัดส่วนของผู้ที่เห็นด้วยกับ มาตรการรัฐนี้ในเขตกรุงเทพ 𝑃 2 คือ สัดส่วนของผู้ที่เห็นด้วยกับ มาตรการรัฐนี้ในต่างจังหวัด 1. ตั้งสมมติฐานในการทดสอบ 𝐻 0 : 𝑃 1 − 𝑃 2 ≤0.05 𝐻 1 : 𝑃 1 − 𝑃 2 >0.05 2. กำหนดระดับนัยสำคัญ (𝛼) = 0.05 0.05

24 ตัวอย่างที่ 4 3. คำนวณหาค่า p-value
4. สรุป ปฏิเสธ 𝐻 0 ที่ระดับนัยสำคัญ 0.05 สามารถ สรุปได้ว่าสัดส่วนของผู้ที่เห็นด้วยกับมาตรการรัฐนี้ ในเขตกรุงเทพมากกว่าต่างจังหวัดมากกว่า 5 เปอร์เซนต์ > p.value.z(p1=0.58,p2=0.45,n1=300,n2=500,d=0.05,alternative="greater") [1]

25 ตัวอย่างที่ 5 โรงงานผลิตขวดน้ำดื่ม ต้องการพิจารณา ขบวนการผลิตขวดน้ำดื่มด้วยวิธีการแบบเดิมและ แบบใหม่ พบว่า 1.จงหาค่าผลต่างของสัดส่วนชิ้นส่วนที่ชำรุดจากวิธีการ แบบเดิมและวิธีการแบบใหม่ 2. จงหาช่วงความเชื่อมั่น 95% ของผลต่างสัดส่วนของ ชิ้นส่วนที่ชำรุดจากวิธีการแบบเดิมและวิธีการแบบใหม่ 3. จงทดสอบว่าสัดส่วนของชิ้นส่วนที่ชำรุดจากวิธีการ แบบเดิมและวิธีการแบบใหม่แตกต่างกันหรือไม่ ที่ระดัย นัยสำคัญ 0.05 วิธีการ จำนวนชิ้นที่สุ่มมา จำนวนชิ้นที่ชำรุด แบบเดิม 250 25 แบบใหม่ 200 10

26 ตัวอย่างที่ 5 1.จงหาค่าผลต่างของสัดส่วนชิ้นส่วนที่ชำรุดจากวิธีการ แบบเดิมและวิธีการแบบใหม่ กำหนดให้ 𝑃 1 คือ สัดส่วนของชิ้นส่วนที่ชำรุดจากวิธีการ แบบเดิม 𝑃 2 คือ สัดส่วนของชิ้นส่วนที่ชำรุดจากวิธีการ แบบใหม่ วิธีการแบบเดิม : 𝑥 1 =25, 𝑛 1 =250, 𝑝 1 = =0.1 วิธีการแบบใหม่ : 𝑥 2 =10 𝑛 2 =200, 𝑝 2 = =0.05 ดังนั้น 𝑝 1 − 𝑝 2 =0.1−0.05=0.05 สรุป ผลต่างของสัดส่วนชิ้นส่วนที่ชำรุดจากวิธีการ แบบเดิมและวิธีการแบบใหม่ มีค่าเป็น 0.05 โดยวิธีการแบบเดิมผลิตขวดน้ำดื่มชำรุด มากกว่าวิธีการแบบใหม่

27 ตัวอย่างที่ 5 2. จงหาช่วงความเชื่อมั่น 95% ของผลต่าง สัดส่วนของชิ้นส่วนที่ชำรุดจากวิธีการแบบเดิม และวิธีการแบบใหม่ prop.test(x=c(25,10), n=c(250,200), correct=FALSE , conf.level = 0.95) 2-sample test for equality of proportions without continuity correction data: c(25, 10) out of c(250, 200) X-squared = , df = 1, p-value = alternative hypothesis: two.sided 95 percent confidence interval: sample estimates: prop 1 prop 2 สรุป ช่วงความเชื่อมั่น 95% ของผลต่างสัดส่วนของชิ้นส่วนที่ชำรุดจากวิธีการแบบเดิมและวิธีการแบบใหม่ มีค่าอยู่ในช่วง ถึง

28 ตัวอย่างที่ 4 1. ตั้งสมมติฐานในการทดสอบ
3. จงทดสอบว่าสัดส่วนของชิ้นส่วนที่ชำรุดจาก วิธีการแบบเดิมและวิธีการแบบใหม่แตกต่างกัน หรือไม่ ที่ระดัยนัยสำคัญ 0.05 กำหนดให้ 𝑃 1 คือ สัดส่วนของชิ้นส่วนที่ชำรุดจาก วิธีการแบบเดิม 𝑃 2 คือ สัดส่วนของชิ้นส่วนที่ชำรุดจาก วิธีการแบบใหม่ 1. ตั้งสมมติฐานในการทดสอบ 𝐻 0 : 𝑃 1 − 𝑃 2 =0 𝐻 1 : 𝑃 1 − 𝑃 2 ≠0 2. กำหนดระดับนัยสำคัญ (𝛼) = 0.05

29 ตัวอย่างที่ 3 3. คำนวณหาค่า p-value
4. สรุป ปฏิเสธ 𝐻 0 ที่ระดับนัยสำคัญ 0.05 สัดส่วนของ ชิ้นส่วนที่ชำรุดจากวิธีการแบบเดิมและวิธีการแบบ ใหม่แตกต่างกัน > prop.test(x=c(25,10), n=c(200,250), alternative = "two.sided", correct=FALSE , conf.level = 0.95) 2-sample test for equality of proportions without continuity correction data: c(25, 10) out of c(200, 250) X-squared = , df = 1, p-value = alternative hypothesis: two.sided 95 percent confidence interval: sample estimates: prop 1 prop 2