CIM2103 การวิเคราะห์เชิงปริมาณ

งานนำเสนอเรื่อง: "CIM2103 การวิเคราะห์เชิงปริมาณ"— ใบสำเนางานนำเสนอ:

1 CIM2103 การวิเคราะห์เชิงปริมาณ
บทที่ 6 ตัวแบบขนส่งและการประยุกต์

2 6.1 ปัญหาการขนส่ง (Transportation Problem)
ปัญหาการขนส่งเป็นปัญหาหนึ่งทางธุรกิจ เนื่องจากการทำธุรกิจจะต้องมีการส่งมอบสินค้าสำเร็จรูป วัตถุดิบ ฯลฯ บริษัทหนึ่งอาจมีโรงงานผลิตสินค้าหลายแห่งซึ่งอยู่ต่างพื้นที่กัน จะต้องส่งสินค้าให้กับตัวแทนจำหน่าย โดยที่กำลังการผลิตของโรงงานแตกต่างกัน และตัวแทนจำหน่ายก็สั่งซื้อสินค้าในปริมาณที่ต่างกัน ดังนั้นเป้าหมายขององค์กรคือการทำให้ค่าขนส่งรวมต่ำสุด จึงต้องศึกษาว่าควรที่จะจัดส่งสินค้าจากโรงงานใด ไปยังตัวแทนจำหน่ายใดบ้าง เป็นจำนวนเท่าใด เพื่อทำให้ต้นทุนค่าขนส่งรวมต่ำสุด

3 6.1 ปัญหาการขนส่ง (Transportation Problem)
ปัญหาเกี่ยวกับการจัดสรรสินค้าจากแหล่งต้นทาง (Source) (ได้แก่ โรงงาน โกดัง คลังสินค้า เป็นต้น) ไปยังแห่งปลายทาง (Destination) (ได้แก่ ร้านค้า ลูกค้า) เป็นต้น โดยมีวัตถุประสิงค์เพื่อให้เสียค่าจ่ายในการขนส่งรวมต่ำที่สุด ดังนั้นปัญหาการขนส่งจึงเป็นปัญหาที่ต้องการหาค่าต่ำสุด (Minimize problem)

4 6.1 รูปแบบปัญหาการขนส่ง ปัญหาการขนส่งจะประกอบด้วย
แหล่งต้นทาง (Source) เป็นแหล่งซึ่งมีความสามารถในการผลิต โดยอาจผลิตได้ไม่เท่ากัน ได้แก่ โรงงานหรือแหล่งวัตถุดิบ คลังสินค้า เป็นต้น ซึ่งมีอยู่หลายแห่ง ในที่นี้ใช้สัญลักษณ์ m แห่ง แหล่งปลายทาง (Destination) เป็นแหล่งรับวัตถุดิบ หรือสินค้าต่อหน่วยจากแหล่งต้นทาง ได้แก่ คลังสินค้า ร้านค้า ตัวแทนจำหน่าย ลูกค้า เป็นต้น ในที่นี้ใช้สัญลักษณ์ n แห่ง 3. ค่าขนส่งต่อหน่วย (Transportation cost) เป็นค่าใช้จ่ายในการขนส่งสินค้าต่อหน่วยจากแหล่งต้นทาง (i) ไปยังแหล่งปลายทาง (j) ซึ่งค่าขนส่งอาจแตกต่างกันขึ้นอยู่กับระยะทางและสภาพการขนส่ง ในที่นี้ใช้สัญลักษณ์ Cij

5 6.1 รูปแบบปัญหาการขนส่ง ในการตัดสินใจจัดสรรสินค้าจำเป็นต้องมีข้อมูลที่สำคัญดังนี้ 4. จำนวนสินค้าที่แหล่งต้นทางที่ i มีอยู่ (อุปทาน) = ai, i = 1,2,...,m 5. จำนวนสินค้าที่แหล่งปลายทางที่ j สั่งซื้อหรือต้องการ ( อุปสงค์ ) = bj, j = 1,2,...,n - จำนวนแหล่งต้นทางและจำนวนแหล่งปลายทางจะเท่ากันหรือไม่ก็ได้ - กำหนดให้ Xij = จำนวนสินค้าที่ส่งจากแหล่งต้นทาง i ไปยังแหล่งปลายทางที่ j Z = ค่าขนส่งรวม

6 6.1 รูปแบบปัญหาการขนส่ง a1 b1 a2 b2 bn a m ปริมาณสินค้า จุดต้นทาง
จุดปลายทาง ความต้องการ C11 a1 b1 C12 C1n C21 a2 b2 C22 C2n Cm1 Cm2 a m bn Cmn

7 โรงงานที่ 1(กรุงเทพฯ) a1
6.1 รูปแบบปัญหาการขนส่ง แหล่งต้นทาง (Source) แหล่งปลายทาง (Destination) ตัวแทนจำหน่ายที่ 1 b1 โรงงานที่ 1(กรุงเทพฯ) a1 โรงงานที่ 2(ราชบุรี) a2 ตัวแทนจำหน่ายที่ 2 b2 โรงงานที่ m (นครราชสีมา) am ตัวแทนจำหน่ายที่ n bn รูปที่ 1 แสดงลักษณะปัญหาการขนส่ง

8 จากรูปที่ 1 แสดงลักษณะปัญหาการขนส่งที่มีจากแหล่งต้นทาง (Source) คือโรงงานผลิตสินค้า m แห่ง โดยโรงงานตั้งอยู่ในพื้นที่ต่างกัน เช่น โรงงานที่ 1 ตั้งอยู่ในกรุงเทพฯ และสามารถผลิตได้ a1 หน่วย/เดือน โรงงานที่ 2 อยู่ในเขตจังหวัดราชบุรี สามารถผลิตได้ a2 หน่วย/เดือน โรงงานที่ m อยู่ที่จังหวัดนครราชสีมาซึ่งสามารถผลิตได้ an หน่วย/เดือน ส่วนปลายทาง ได้แก่ ตัวแทนจำหน่าย ซึ่งมี n แห่ง ซึ่งตัวแทนจำหน่ายที่ j สั่งซื้อสินค้า bj หน่วย

9 6.2 การเลือกใช้ตัวแบบ เป้าหมายของการแก้ปัญหา คือ จะต้องจัดส่งสินค้าจากแหล่งต้นทางแต่ละแห่งไปยังแหล่งปลายทางใดบ้าง เป็นจำนวนหรือปริมาณเท่าใด เพื่อทำให้ค่าขนส่งรวมต่ำสุด ซึ่งสามารถเขียนเป็นสมการวัตถุประสงค์ของปัญหาข้างต้น ดังนี้ Minimize Z = C11X11 + C12X12+…+CmnXmn โดยที่ Cij = ค่าขนส่งสินค้าต่อหน่วย ในการขนส่งจากแหล่งต้นทาง i ไปยังแหล่งปลายทางที่ j i = 1,2,…,m j = 1,2,..,n

10 6.2 การเลือกใช้ตัวแบบ สำหรับเงื่อนไขจะมี 2 ด้าน ดังนี้
1. ด้านแหล่งต้นทาง (จำนวนสินค้าที่มี/ที่ผลิต) แหล่งต้นทางที่ 1 : X11 + X12 +X13 + … + X1n <= a1 แหล่งต้นทางที่ 2 : X21 + X22 +X13 + … + X1n <= a2 . แหล่งต้นทางที่ m : Xm1 + Xm2 +Xm3 + … + Xmn <= am (i = 1, 2, 3, ..,n)

11 6.2 การเลือกใช้ตัวแบบ 2. ด้านแหล่งปลายทาง (จำนวนสินค้าที่ต้องการ)
แหล่งปลายทางที่ 1 : X11 + X21 +X31 + … + Xm1 =< b1 แหล่งปลายทางที่ 2 : X12 + X22 +X32 + … + Xm2 =< b2 . แหล่งปลายทางที่ n : X1n + X2n+X3n + … + Xmn =< bn (i = 1, 2, 3, ..,n)

12 6.2 การเลือกใช้ตัวแบบ จุดต้นทาง จุดปลายทาง ai 1 2 … n C11 X11 C12 X12
C1n X1n a1 C21 X21 X22 C2n X2n a2 . m Cm1 Xm1 Cm2 Xm2 Cmn Xmm am bj b1 b2 bn สมมติฐานที่สำคัญของตัวแบบปัญหาการขนส่ง คือ ผลรวมของสินค้าที่มีอยู่ซึ่งอยู่ที่จุดต้นทาง ต้องเท่ากับ ผลรวมของสินค้าที่จุดปลายทางที่ต้องการ

13 6.3 ขั้นตอนการแก้ปัญหา ขั้นตอนการแก้ปัญหาการขนส่ง แบ่งเป็น 2 ขั้นตอน ดังนี้ ขั้นที่ 1 การหาผลลัพธ์เบื้องต้น เทคนิคที่ใช้ในการหาผลลัพธ์เบื้องต้น (การหาค่า Xij) มีหลายเทคนิค ในที่นี้จะกล่าวถึงเฉพาะเทคนิคที่นิยม 2 เทคนิค ดังนี้ วิธีมุมตะวันตกเฉียงเหนือ (Northwest Corner Method) วิธีโวเกล (Vogel’s Approximation Metohd (VAD)) ขั้นที่ 2 การหาผลที่ดีที่สุด เป็นการนำผลลัพธ์เบื้องต้นมาศึกษาว่าผลลัพธ์เบื้องต้นที่ได้เป็นผลลัพธ์ที่ดีที่สุดหรือเป็นผลลัพธ์ที่ทำให้ค่าขนส่งรวมต่ำสุดหรือยัง ถ้ายังก็จะปรับผลลัพธ์เบื้องต้น เพื่อทำให้ค่าขนส่งรวมลดลง อาจจะมีการปรับครั้งเดียวหรือหลายๆครั้ง จนกระทั่งได้ผลลัพธ์ที่ทำให้ค่าขนส่งรวมต่ำสุด สำหรับเทคนิคที่ใช้ปรับคือ วิธีโมดิ (Modified Distribution Method (MOD))

14 6.4 การหาผลลัพธ์เบื้องต้น (Initial Solutions)
ขั้นที่ 1 การหาผลลัพธ์เบื้องต้น วิธีมุมตะวันตกเฉียงเหนือ (Northwest Corner Method) ขั้นที่ 1: ให้เริ่มที่ช่อง (1,1) ซึ่งอยู่มุมซ้ายบน โดยกำหนด X11 = ค่าต่ำสุดของ (a1, b1) ขั้นที่ 2 : หักค่า Xij ออกจาก ai แล bj ขั้นที่ 3 : ให้เลื่อนไปทางขวา หรือลงมาในแนวดิ่ง 1 ช่อง นั่นคือ - ถ้าค่า ai เหลือให้เลื่อนไปที่ช่องว่างทางขวามือ 1 ช่อง - ถ้าค่า bj เหลือให้เลื่อนไปที่ช่องว่างข้างล่าง 1 ช่อง - ถ้าค่า ai และ bj เหลือจะเลื่อนไปทางขวาหรือข้างล่างก็ได้ ขั้นที่ 4 : หาค่า Xij โดยที่ Xij = ค่าต่ำสุดของ (ai, bj) ที่เหลืออยู่ ขั้นที่ 5 : กลับไปขั้นที่ 2

15 ตัวอย่างที่ 6.1 ไทยซูซิกะ มีโรงงานผลิตรถจักรยานยนต์ 3 แห่ง คือ A B และ C มีตัวแทนจำหน่าย 3 ตัวแทน ซึ่งตั้งอยู่ตามภาคต่างๆ โดยโรงงาน A, B และ C ผลิตรถจักรยานยต์ได้ 25, 40, และ 30 คัน/เดือน ตามลำดับ ขณะที่ตัวแทนจำหน่ายมีความต้องการรถจักรยานยนต์เดือนละ 30, 30 และ 35 คัน ตามลำดับ ค่าขนส่งแสดงดังตาราง

16 ตาราง แสดงค่าขนส่ง (หน่วย : บาท)
ตัวแทน โรงงงาน 1 2 3 ai A 25 B 4 40 C 30 bj 35 95

17 วิธีการหาผลลัพธ์เบื้องต้นโดยวิธีมุมตะวันตกเฉียงเหนือ (Northwest Corner Method) โดยมีขั้นตอนดังนี้
ขั้นที่ 1 : เริ่มที่ช่อง (A,1) โดยได้ XA1 = min (aA, b1) min(25,30) = 25 ขั้นที่ 2 : ขณะนี้โรงงาน A ไม่มีสินค้าเหลือ (a1 = 0) เนื่องจากส่งให้ตัวแทนที่ 1 หมด ขณะที่ตัวแทนที่ 1 ยังได้สินค้าไม่ครบ ขาดอีก 5 หน่วย (bi เหลือ = ) จึงต้องได้รับจากโรงงานอื่นๆ ขั้นที่ 3 : เลื่อนลงมาที่ช่อง (B,1) ขั้นที่ 4 : XB1 = min (aB,b1 ที่เหลือ) = min(40,5) = 5 นำค่า 5 มาใส่ในช่อง (B,1) ขั้นที่ 5 : หักค่า Xb1 = 5 ออกจากค่า aB และ b1 ได้ aB เหลือ 35 คัน นั่นคือโรงงาน B มี รถจักรยานยนต์เหลือ 35 คัน ขณะที่ตัวแทนที่ 1 ได้รถจักรยานยนต์ครบแล้ว (b1 =0) ขั้นที่ 6 : เนื่องจากโรงงาน B มีสินค้าเหลือ 35 คัน จึงเลื่อนไปที่ช่อง (B,2) ขั้นที่ 7 : Xb2 min(aB ที่เหลือม ,b2) = min(35,30) = 30 นำค่า 30 ใส่ในช่อง (B,2) ขั้นที่ 8 : หักค่า XB2 = 30 ออกจาก aB และ b2 พบว่า aB เหลือ 40 – = 5 คัน นั่นคือ โรงงาน B ยังคงมีจักรยานยนต์เหลืออีก 5 คัน แต่ b2 = 0 นั่นคือตัวแทนที่ 2 ได้รับ ตามที่สั่งแล้ว

18 ขั้นที่ 9 : เนื่องจากโรงงาน B มีรถเหลือจึงเลื่อนไปทางขวา 1 ช่อง ไปที่ช่อง (B,3)
ขั้นที่ 10 : XB3 = min (aB ที่เหลือ, b3) = min(5,35) = 5 นำค่า 5 ใส่ในช่อง (B,3) ขั้นที่ 11 : หัก XB3 = 5 ออกจาก aB และ b3 ได้ aB เป็นศูนย์นั่นคือไม่มีรถเหลือที่โรงงาน B เลย ขณะที่ตัวแทนที่ 3 ยังต้องการเพิ่ม 30 คัน ขั้นที่ 12 : เนื่องจากตัวแทนที่ 3 ยังได้ไม่ครบ จึงเลื่อนลงมาที่ช่อง (C,3) ขั้นที่ 13 : ได้ Xc3 = min(30,30) = 30 นำค่า 30 ใส่ในช่อง (C,3)

19 สรุปยอดการจัดส่งรถจักรยานยนต์ เมื่อใช้วิธีมุมตะวันตกเฉียงเหนือ
โรงงาน A ส่งรถจักรยานยนต์ 25 คัน ให้ตัวแทนที่ 1 ค่าขนส่ง = 25 *3 = 75 บาท โรงงาน B ส่งรถจักรยานยนต์ 5 คัน ให้ตัวแทนที่ 1 ค่าขนส่ง = 5 * 4 = 20 บาท โรงงาน B ส่งรถจักรยานยนต์ 30 คัน ให้ตัวแทนที่ 2 ค่าขนส่ง = 30 * 2 = 60 บาท โรงงาน B ส่งรถจักรยานยนต์ 5 คัน ให้ตัวแทนที่ 3 ค่าขนส่ง = 5 *3 = 15 บาท โรงงาน C ส่งรถจักรยานยนต์ 30 คัน ให้ตัวแทนที่ 3 ค่าขนส่ง = 30 *3 = 90 บาท ค่าขนส่งรวม บาท ถ้าจัดส่งโดยใช้วิธีมุมตะวันตกเฉียงเหนือ จะเสียค่าขนส่งรวม 260 บาท

20 ตัวอย่าง 6.2 บริษัทเอสเอมอีบางกอก จำกัด ผลิตสินค้าประเภทน้ำยาทำความสะอาด สินค้าจะจัดส่งให้ตัวแทนจำหน่าย 4 ราย จากคลังสินค้า 3 แห่งของบริษัท คลังสินค้าแต่ละแห่งมีน้ำยาทำความสะอาดที่จัดส่งได้เป็นจำนวน 10,000 ลิตร 12,000 ลิตร และ 5,000 ลิตร ตามลำดับ ในขณะที่ตัวแทนจำหน่ายมีความต้องการสินค้า 12,000 ลิตร 8,000 ลิตร 4,000 ลิตร และ 3,000 ลิตร ตามลำดับ ค่าใช้จ่ายในการจัดส่งสินค้าแต่ละเส้นทางแสดงในตารางต่อไปนี้

21 ค่าใช้จ่ายในการขนส่ง (บาท/ลิตร)
จุดต้นทาง จุดปลายทาง ตัวแทน 1 ตัวแทน 2 ตัวแทน 3 ตัวแทน 4 คลังสินค้า 1 6 4 14 12 คลังสินค้า 2 10 คลังสินค้า 3 8 ค่าใช้จ่ายในการขนส่ง (บาท/ลิตร)

22 จำนวนสินค้าที่มี (ลิตร)
คลังสินค้า ตัวแทนจำหน่าย จำนวนสินค้าที่มี (ลิตร) 1 2 3 4 6 10,000 14 12 10000 2,000 10 8,000 12,000 8 3,000 5,000 จำนวนที่ต้องการ (ลิตร) 4000 3000 27,000

23 แบบฝึกหัด 1. บริษัทผลิตเฟอร์นิเจอร์ไม้แห่งหนึ่ง มีโรรงานผลิตอยู่ในจังหวัดนครศรีธรรมราช เชียงใหม่ และระยอง จะต้องส่งเฟอร์นิเจอร์ให้ร้านค้า 3 แห่ง โดยมีตารางการขนส่งดังนี้ จงใช้วิธีมุมตะวันตกเฉียงเหนือหาผลลัพธ์เบื้องต้น ค่าขนส่ง (หน่วย : บาท) ร้านค้า โรงงาน 1 2 3 ai นครศรีธรรมราช 5 4 300 เชียงใหม่ 8 150 ระยอง 9 7 250 bj 200

24 แบบฝึกหัด 2.บริษัทคอนกรีตมีโรงงานผลิต 3 แห่ง และมีโครงการก่อสร้างอยู่ 3 โครงการ ซึ่งอยู่ในจังหวัดต่างๆ ค่าขนส่งต่อรถบรรทุก 1 คัน ได้แสดงดังตารางข้างล่างนี้ จงหาผลลัพธ์เบื้องต้นโดยวิธีมุมตะวันตกเฉียงเหนือ ค่าขนส่ง (หน่วย : 1,000 บาท/รถบรรทุก 1 คัน) โครงการ โรงงาน 1 2 3 ผลิตได้(คัน) 10 4 11 70 12 5 8 50 9 7 6 30 ความต้องการ (คัน) 40 60 150

25 CIM2103 การวิเคราะห์เชิงปริมาณ
บทที่ 6 ตัวแบบขนส่งและการประยุกต์ (ต่อ)

26 6.5 วิธีโวเกล (Vogel’s Approximation Method) (VAM)
เป็นเทคนิคการหาผลลัพธ์เบื้องต้นของปัญหาขนส่งที่นำค่่าขนส่งต่อหน่วยมาพิจาณา ขณะที่วิธีมุมตะวันตกเฉียงเหนือไม่ได้พิจารณาค่าขนส่งต่อหน่วย ทำให้ค่าขนส่งรวมที่ใช้วิธี VAM มักจะต่ำกว่าวิธีมุมตะวันตกเฉียงเหนือ

27 6.5 วิธีโวเกล (Vogel’s Approximation Method) (VAM)
ขั้นที่ 1 หาค่าความแตกต่างในแถวนอนและแถวตั้งแต่ละแถว โดยที่ ค่าแตกต่าง = ค่าขนส่งรองต่ำสุด - ค่าขนส่งต่ำสุด ขั้นที่ 2 : เลือกแถวนอนหรือแถวตั้งที่มีค่าแตกต่างมากที่สุด ขั้นที่ 3 : เลือกช่องที่มีค่าขนส่งต่อหน่วย Cij ต่ำสุดของแถวนอนหรือแถวตั้งที่เลือกไว้ได้ในขั้นที่ 2 ขั้นที่ 4 : ให้ค่า Xij = min(ai,bi) ของช่อง ( i , j ) ที่เลือก ขั้นที่ 5 : ตัดแถวนอน่ี่ไม่มีสินค้าเหลืออยู่ หรือตัดแถวตั้งที่ได้รับสินค้าครบแล้ว ขั้นที่ 6 : กลับไปขั้นที่ 1 (ขึ้นรอบที่ 2๗

28 ตัวอย่างที่ 6.3 จงใช้วิธี VAM หาผลลัพธ์เบื้องต้นของตัวอย่าง 6.1
การคำนวณรอบที่ 1 ขั้นที่ 1 : จากตารางที่ 6.1 ในแต่ละแถวนอนและแต่ละแถวตั้งคำนวณหาค่าแตกต่าง เช่น แถวนอนที่ 1 : ค่าแตกต่าง = ค่าขนส่งรองต่ำสุด - ค่าขนส่งต่ำสุด = 3 – 2 = 1 แถวนอนที่ 2 : ค่าแตกต่าง = 3 – 2 = 1 ได้ค่าแตกต่างของทุกแถวนอนและแถวตั้งดังแสดงในตาราง ขั้นที่ 2 เลือกแถวนอน 1, 2 , 3 หรือ แถวตั้งที่ 1, 2, หรือ 3 ก็ได้เพราะมีค่าแตกต่างสูงสุดเท่ากัน คือ 1 ในที่นี้เลือกแถวนอนที่ 2 ขั้นที่ 3 : จากแถวนอนที่ 2 เลือกช่อง (B,2) เพราะมีค่าขนส่งต่อหน่วย Cij = 2 มีค่าต่ำสุด ขั้นที่ 4 ให้ XB2 = min (aB, b2) = min (40 , 30) = 30 นำ 30 ใส่ในช่อง (B , 2) ขั้นที ่5 เนื่องจากตัวแทนที่ 2 ได้รับสินค้าครบแล้วจึงตัดแถวตั้งที่ 2 ออก ทำให้เหลือเพียง 2 ตัวแทน ย้อนกลับไปทำขั้นที่ 1 ใหม่ในรอบที่ 2

29 แสดงการใช้วิธี VAM ในการคำนวณรอบที่ 1
ตัวแทน โรงงงาน 1 2 3 ai ค่าแตกต่าง (แถวนอน) A 25 3 – 2 = 1* B 4 30 40 C bj 35 95 (แถวตั้ง) 4 – 3 =1*

30 ตารางแสดงการใช้วิธี VAM ในการคำนวณรอบที่ 2
ขั้นที่ 1 : หาค่าแตกต่างของแต่ละแถวนอนและแถวตั้งที่เหลือยู่ ตารางแสดงการใช้วิธี VAM ในการคำนวณรอบที่ 2 ตัวแทน โรงงงาน 1 2 3 ai ค่าแตกต่าง (แถวนอน) A 25 3 – 2 = 1* B 4 30 40 4 – 3 = 1* C 3 – 3 = 0 bj 35 95 (แถวตั้ง) 4 – 3 =1* -

31 คำนวณรอบที่ 2 ขั้นที่ 2 : ค่าสูงสุดของค่าแตกต่าง = 1 ซึ่งหมายถึงจะเลือกแนวนอนที่ 1 หรือ 2 หรือเลือกแถวตั้งที่ หรือ 3 ก็ได้ เพราะค่าแตกต่างมากที่สุดเท่ากัน ในที่นี้เลือกแถวนอนที่ 1 ขัั้นที่ 3 : จากแถวนอนที่ 1 เลือกช่อง (A,3) เพราะมีค่าขนส่งต่ำสุด = 2 ขั้นที่ 4 : ให้ AA3 = min (aA, b3) = min (25, 35) = 25 นำ 25 ใส่ในช่อง (A, 3) ขั้นที่ 5 : ตัดแถวนอนที่ 1 ออก เพราะไม่มีสินค้าเหลือ ทำให้เลือกโรงงานเพียง 2 แห่ง (B,C) กลับไปทำขั้นที่ 1 ในรอบที่ 3

32 คำนวณรอบที่ 3 ขั้นที่ 1 : หาค่าแตกต่างของแต่ละแถวนอนและแถวตั้งที่เหลือ
ขัั้นที่ 2 : เลือกแถวนอนที่ 2 หรือแถวตั้งที่ 1 ก็ได้ เพราะค่าแตกต่างมากที่สุดเท่ากัน ในที่นี้จะเลือกแถว นอนที่ 2 ขั้นที่ 3 : จากแถวนอนที่ 2 เลือกช่อง (B , 3) เพราะค่าขนส่งต่ำสุด = 3 ขั้นที่ 4 : ให้ XB3 = min (40 – 30, 35 – 25 ) = 10 นำ 10 ใส่ในช่อง (B , 3) ขั้นที่ 5 : ตัดแถวนอนที่ 2 และแถวนอนที่ 3 ออกเพราะไม่มีสินค้าเหลือและได้รับสินค้าครบแล้ว

33 ตารางแสดงการใช้วิธี VAM ในการคำนวณรอบที่ 2
ขั้นที่ 1 : หาค่าแตกต่างของแต่ละแถวนอนและแถวตั้งที่เหลือยู่ ตารางแสดงการใช้วิธี VAM ในการคำนวณรอบที่ 2 ตัวแทน โรงงงาน 1 2 3 ai ค่าแตกต่าง (แถวนอน) A 25 - B 4 30 10 40 4 – 3 = 1* C 3 – 3 = 0 bj 35 95 (แถวตั้ง) 4 – 3 =1*

34 จากตาราง จะพบว่าเหลือเพียงช่องเดียวคือช่อง (C , 1) ให้ ) Xc1 = (ac,b1) = min (30, 30) = 30 นำ 30 ใส่ในช่อง (C , 1) เมื่อตรวจจะพบว่าทุกโรงงานส่งสินค้าหมดแล้ว และทุกตัวแทนได้รับสินค้าครบตามที่สั่ง สรุปผลลัพธ์เบื้องต้นโดยวิธี VAM โรงงาน A ส่งรถจักรยานยนต์ 25 คัน ให้ตัวแทนจำหน่ายที่ 3 ค่าขนส่ง = 25 * 2 = 50 บาท โรงงาน B ส่งรถจักรยานยนต์ 30 คัน ให้ตัวแทนจำหน่ายที่ 2 ค่าขนส่ง = 30 * 2 = 60 บาท โรงงาน B ส่งรถจักรยานยนต์ 10 คัน ให้ตัวแทนจำหน่ายที่ 3 ค่าขนส่ง = 10 * 3 = 30 บาท โรงงาน C ส่งรถจักรยานยนต์ 30 คัน ให้ตัวแทนจำหน่ายที่ 1 ค่าขนส่ง = 30 * 3 = 90 บาท ค่าขนส่งรวม = 230 บาท ถ้าจัดส่งรถจักรยานยนต์โดยวิธี VAM จะต้องเสียค่าขนส่งรวม 230 บาท ซึ่งต่ำกว่าวิธีมุมตะวันตกเฉียงเหนืออยู่ 30 บาท

35 6.5 การหาผลลัพธ์ที่ดีที่สุด (Optimal Solution)
เป็นขั้นตอนต่อจากการหาผลลัพธ์เบื้องต้น ไม่ว่าจะหาผลลัพธ์เบื้องต้นโดยวิธีตะวันตกเฉียงเหนือ หรือวิธีโวเกล (VAM) ก็ตาม ต้องนำมาพิจารณาว่าผลลัพธ์เบื้องต้นที่ได้เป็นผลลัพธ์ที่ดีที่สุดหรือยัง ถ้าดีที่สุดแล้ว คือ ค่าขนส่งรวมต่ำสุด จะถือว่าผลลัพธ์เบื้องต้นนั้นเป็นผลลัพธ์ที่ดีที่สุด แต่ถ้าผลลัพธ์ที่ได้ยังสามารถปรับค่าขนส่งได้อีก แสดงว่าผลลัพธ์เบื้องต้นดังกล่าวไม่ใช้ผลลัพธ์ที่ดีที่สุด ต้องทำการปรับผลลัพธ์เพื่อลดค่าขนส่งรวมลง จนกระทั่งได้ผลลัพธ์ที่ดีที่สุด ซึ่งสามารถแบ่งเป็น 2 ขั้นตอนดังนี้ 1) ตรวจสอบผลลัพธ์เบื้องต้นว่าให้ค่าใช้จ่ายหรือค่าขนส่งรวมต่ำสุดหรือไม่ ถ้าต่ำสุดแล้วผลลัพธ์ เบื้องต้นนั้นคือ ผลลัพธ์ที่ดีที่สุด แต่ถ้ายังไม่ใช้ให้ทำขั้นที่ 2 2) ทำการปรับผลลัพธ์เพื่อลดค่าขนส่งรวม จนไม่สามารถลดได้อีกแล้ว จึงถือว่าผลลัพธ์สุดท้าย เป็นผลลัพธ์ที่ดีที่สุด

36 6.5 การหาผลลัพธ์ที่ดีที่สุด (Optimal Solution)
สำหรับเทคนิคที่ใช้ในการตรวจสอบและหาผลลัพธ์ที่ดีที่สุดจะกล่าวถึงในที่นี้คือ วิธีโมดิ [Modified Distribution Mothod (MODI)] ได้นำหลักเกณฑ์ของโปรแกรมเชิงเส้นมาใช้ โดยจะแบ่งตัวแปรเป็น 2 กลุ่ม เหมือนโปรแกรมเชิงเส้นดังนี้ 1. ตัวแปรพื้นฐาน (Basis variable) คือตัวแปรของช่องที่มีค่า Xij มากกว่าศูนย​์ (Xij > 0) 2. ตัวแปรไม่พื้นฐาน (Non basis variable) หมายถึงตัวแปรที่มีค่า Xij ที่เท่ากับศูนย์ หรือช่องที่ไม่ มีการขนส่ง (Xij = 0) จำนวนตัวแปรพื้นฐาน = จำนวนแถวนอน (m) + จำนวนแถวตั้ง (n) – 1 ถ้าจำนวนตัวแปรพื้นฐานน้อยกว่า m + n – 1ต้องทำให้เท่ากับ m + n – 1 เสียก่อนถึงจะใช้วิธี MODI ได้

37 จากตัวอย่างที่ 6.1 ซึ่งใช้วิธีมุมตะวันตกเฉียงเหนือได้
ตัวแปรพื้นฐาน = – 1 = 5 ตัว ดังนี้ 𝑋 𝐴1 = 25, 𝑋 𝐵1 = 5, 𝑋 𝐵2 = 30, 𝑋 𝐵3 = 5 และ 𝑋 𝐶3 = 30 ส่วนตัวแปรไม่มีพื้นฐานมี 4 ตัว คือ 𝑋 𝐴2 = 𝑋 𝐴3 𝑋 𝐶1 = 𝑋 𝐶2 = 0 จากตัวอย่างที่ 6.2 ซึ่งใช้วิธี VAM หาผลลัพธ์เบื้องต้นได้ตัวแปรพื้นฐานเพียง 4 ตัว ดังนั้นจำเป็นจะต้องเพิ่มช่องพื้นฐานอีก 1 ช่อง เพื่อทำให้เป็น 5 โดยการเลือกจากช่องไม่พื้นฐาน ในตัวอย่างนี้มีช่องไม่พื้นฐาน 5 ช่อง คือ ช่อง (A , 1), (A , 2), (B, 1), (C , 2), (C, 3) เลือกช่องใดก็ได้ 1 ช่อง ในที่นี้เลือกช่อง (A, 1) โดยให้ 𝑋 𝐴1 นำ 0 ใส่ช่อง (A, 1) จะได้ตัวแปรหรือช่องพื้นฐาน = 5 เท่าที่ควรเป็น

38 หลักจากปรับให้มีจำนวนตัวแปรพื้นฐาน = m + n – 1 แล้วจึงตรวจสอบผลลัพธ์ การตรวจสอบจะต้อง สร้างวงจรปิด (Closed loop) วิธีการสร้างวงจรปิด มีดังนี้ เริ่มจากตัวแปรหรือช่องไม่พื้นฐาน ลากเส้นเชื่อมระหว่างช่องที่เลือกจากขั้นที่ 1 กับช่องอื่นๆ ซึ่งเป็นช่องพื้นฐาน โดยเส้นที่ลากเชื่อมนั้นต้องเป็นเส้นตรงในแนวดิ่งหรือแนวนอนเท่านั้น และต้องมาสิ้นสุดที่จุดเริ่มต้นเสมอ ใส่เครื่องหมายบวกที่จุดเร่ิมต้น แล้วใส่เครื่องหมายลบและบวกสลับกันไปที่จุดมุมหรือช่องทางที่ได้ลากเส้นตรงเชื่อมไว้แล้วในขั้นที่ 2 โดยที่ในแต่ละแถวนอนหรือแต่ละแถวตั้งจะมีเครื่องหมายบวกและลบอย่างละ 1 เครื่องหมายเท่านั้น ทางเดือนหรือเส้นตรงที่ลากเชื่อมสามารถตัดกันได้ จุดมุมของวงจรปิดจะมีเดียงจุดเดียที่เป็นตัวแปรหรือช่องไม่พื้นฐาน ตัวอย่างวงจรแสดงดังตาราง

39 ตารางแสดงวงจรปิดรูปสี่เหลี่ยม
1 2 3 + 30 จุดเริ่มต้น - 40 25

40 ตาราง แสดงวงจรปิดเริ่มที่ชอ่ง (1 , 1) ซึ่งเป็นช่องไม่พื้นฐาน แล้วลากเส้นแนวนอนไปที่ช่อง
(1 , 3) ซึ่งเป็นช่องพื้นฐานหลังจากนั้นลากเส้นตรงในแนวดิ่งไปที่ช่อง (3 , 3) และลากไปที่ช่อง (3 , 1) ซึ่งเป็นช่องพื้นฐานทั้งคู่ แล้วไปยังจุดเริ่มต้นคือ ช่อง (1 , 1) และใส่เครื่องหมาย + ที่ช่อง (1 ,1) หลังจากนั้นใส่เครื่องหมาย ( - ), ( + ) สลับกันไป โดยที่ช่อง (1 , 2) ไม่ใช่จุดมุม หรือช่อง (1 ,2) เป็นทางผ่าน วงจรปิด : 𝑋 𝑋 𝑋 𝑋 𝑋 11

41 1 2 3 4 + 30 - 7 จุดเริ่มต้น 5

42 จากตาราง เริ่มจากช่อง (2 , 1) ซึ่งเป็นช่องไม่พื้นฐานจะพบว่า วงจรปิดเป็นรูปหกเหลี่ยมและมีจุดมุมเดียวที่เป็นช่องไม่พื้นฐาน คือ จุดเริ่มต้น ที่เหลืออีก 5 มุมเป็นช่องพื้นฐาน คือ ช่อง (1 , 1), (1 , 3), ( 3 , 3), ( 3 , 2), (2 , 2) และมีช่องพื้นฐาน 1 ช่อง คือ ช่อง (2 , 4) ที่ไม่เกี่ยวข้องในวงจรปิด นี้ จะพบว่าตารางที่เป็นวงจรหกเหลี่ยม ขณะที่รูปเป็นวงจรปิดรูปสี่เหลี่ยม วิธีโมดิ [Modified Distribution Method (MODI)] เป็นเทคนิคที่ใช้ปรับผลลัพธ์เบื้องต้นให้เป็นผลลัพธ์ที่ดีที่สุด โดยการปรับค่า Xij เพื่อทำให้ค่าขนส่งรวมต่ำสุด โดยพิจารณาจากค่าขนส่งต่อหน่วย Cij เป็นหลัก มีขั้นตอนดังนี้ ขันที่ 1 : หาผลลัพธ์เบื้องต้น ขั้นที่ 2 : ตรวจสอบว่าจำนวนตัวแปรพื้นฐานในผลลัพธ์เบื้องต้นเท่ากับจำนวนแหล่งต้น + จำนวน แหล่งปลายทาง - 1 หรือไม่ ถ้าไม่เท่ากับ m + n – 1 ต้องทำให้เท่า โดยการเติมศูนย์ (0) ที่ช่องไม่พื้นฐานช่องใดก็ได้

43 ขั้นที่ 3 : คำนวณค่า Ui และ Vj สำหรับช่องพื้นฐาน โดยที่ Ui + Vj = Cij
โดยกำหนดให้ Ui = 0 เสอม จึงทำให้ Vi = 𝐶 11 เสมอ ขั้นที่ 4 : คำนวณค่า Kij สำหรับช่องไม่พื้นฐาน ให้กำหนดค่า Kij โดยที่ Kij = Cij – Ui –Vj สำหรับช่องพื้นฐาน Kij = 0 เนื่องจาก Ui + Vj = Cij ขั้นที่ 5 : ตรวจสอบว่าผลลัพธ์ที่ได้ว่า เป็นผลลัพธ์ที่ดีที่สุดหรือยัง ถ้า Kij ≥ 0 ทุกค่า i, j แสดงว่าเป็นผลลัพธ์ที่ดีที่สุด แต่ถ้ามีค่า Kij < 0 แสดงว่ายังสามารถลดค่าขนส่งรวมได้อีกต้องทำต่อไปในขั้นตอนที่ 6 ขั้นที่ 6 : เลือกตัวแปรไม่พื้นฐานเข้ามาเป็นตัวแปรพื้นฐานโดยเลือกช่อง (i , j) ที่มีค่า Kij ที่ติดลบ มากที่สุด ขั้นที่ 7 : เปลี่ยนตัวแปรพื้นเดิมตัวหนึ่งให้เป็นตัวแปรไม่พื้นฐานโดยการสร้างวงจรปิด ซึ่งการสร้างวงจรปิด จะต้องเริ่มจากช่องไม่พื้นฐาน (i , j) ที่เลือกไว้ในขั้นที่ 6

44 ขั้นที่ 8 : คำนวณหาค่า Xij ของช่อง (i , j) ของจุดเริ่มต้นวงจรปิด
ตัวอย่าง 6.3 จากตัวอย่างที่ 6.1 ซึ่งได้ผลลัพธ์เบื้องต้นโดยวิธีมุมตะวันตกเฉียงเหนือ จงหาผลลัพธ์ที่ดีที่สุด วิธีทำ การคำนวณรอบที่ 1 ของวิธีโมดิ (MODI) ขั้นที่ 1 : หาผลลัพธ์เบื้องต้นได้ ดังแสดงในตาราง ซึ่งมี 𝑋 𝐴1 = 25, 𝑋 𝐵1 = 5, 𝑋 𝐵2 = 30, 𝑋 𝐵3 = 5 และ 𝑋 𝐶3 = 30 นั่นคือ มีช่องพื้นฐาน = 5 ช่อง

45 ตารางแสดงผลลัพธ์เบื้องต้นเบื้องต้นโดยวิธีมุมตะวันตกเฉียงเหนือ
คำนวณรอบที่ 1 ตารางแสดงผลลัพธ์เบื้องต้นเบื้องต้นโดยวิธีมุมตะวันตกเฉียงเหนือ ตัวแทน โรงงงาน 1 2 3 ai A 25 B 4 5 30 40 C bj 35 95

46 ขั้นที่ 2 : ตรวจสอบจำนวนช่องพื้นฐาน = m + n – 1 = 3 + 3 – 1 = 5
ขั้นที่ 3 : คำนวณค่า Ui และ Vj ของช่องพื้นฐาน โดยให้ 𝑈 𝐴 = 0 ช่อง (A , 1) : 𝑈 𝐴 + 𝑉 1 = 𝐶 𝐴1 = 𝑉 1 = 3 เนื่องจาก 𝑈 𝐴 = 0 ช่อง (B , 1) : 𝑈 𝐵 + 𝑉 1 = 𝐶 𝐵1 = 𝑈 𝐵 = 4 – 𝑉 1 = 4 – 3 = 1 ช่อง (B , 2) : 𝑈 𝐵 + 𝑉 2 = 𝐶 𝐵2 = 𝑉 2 = 2 – 𝑈 𝐵 = 2 – 1 = 1 ช่อง (B , 3) : 𝑈 𝐵 + 𝑉 3 = 𝐶 𝐵3 = 𝑉 3 = 3 – 𝑈 𝐵 = 3 – 1 = 2 ช่อง (C , 3) : 𝑈 𝐶 + 𝑉 3 = 𝐶 𝐶3 = 𝑈 𝐶 = 3 – 𝑉 3 = 3 – 2 = 1 นำค่า Ui และ Vj ใส่ในตาราง

47 ขั้นที่ 4 : คำนวณค่า Kij สำหรับช่องไม่พื้นฐาน โดยที่ Kij = Cij – Ui - Vj
ช่อง (A , 2) : 𝐾 𝐴2 = 𝐶 𝐴2 - 𝑈 𝐴 - 𝑉 2 = 3 – 0 – 1 = 2 ช่อง (A , 3) : 𝐾 𝐴3 = 𝐶 𝐴3 - 𝑈 𝐴 - 𝑉 3 = 2 – 0 – 2 = 0 ช่อง (C , 1) : 𝐾 𝐶1 = 𝐶 𝐶1 - 𝑈 𝐶 - 𝑉 1 = 3 – 1 – 3 = -1 ช่อง (C , 2) : 𝐾 𝐶2 = 𝐶 𝑐2 - 𝑈 𝐶 - 𝑉 2 = 2 – 1 – 1 = 0 นำค่า Kij ใส่ในตารางง ขั้นที่ 5 : ตรวจสอบว่า Kij พบว่ามีค่า 𝐾 𝐶1 = -1 ซึ่งน้อยกว่าศูย์แสดงว่าผลลัพธ์ที่ได้จากวิธีมุม ตะวันตกเฉียงเหนือยังไม่ใช่ผลลัพธ์ที่ดีที่สุด นั่นคือจะสามารถลดค่าขนส่งรวม จาก 260 บาท ได้ โดยการปรับค่า Xij ขั้นที่ 6 : เลือกช่องไม่พื้นฐานที่มีค่า Kij ติดลบมากที่สุด ในที่นี้เลือกช่อง (C , 1) เนื่องจากเป็นช่อง เดียวที่มี K เป็นติดลบ

48 ขั้นที่ 7 : สร้างวงจรปิด โดยเริ่มต้นที่ช่อง (C , 1) ได้วงจรปิดเป็นสี่เหลี่ยม
ขั้นที่ 8 : คำนวณค่า 𝑋 𝐶1

49 6.6 การคำนวณค่า 𝐗 𝐂𝟏 จากค่าเดิม 𝑋 𝐶1 = 0 หรือไม่มีการส่งรถจักรยานยต์จากโรงงาน C ให้กับตัวแทนที่ 1 และการที่เลือกให้ช่อง (C , 1) เป็นจุดเริ่มต้นของวงจรปิด เป็นการเพิ่มค่า 𝑋 𝐶1 จากศูนย์ให้เป็นบวก นั่นคือจะมีการส่งรถจักรยานยนต์จากโรงงาน C ไปให้ตัวแทนที่ 1 จึงให้เครื่องหมายบวกที่ช่อง (C , 1) จึงมีผลให้ช่อง (B , 1) มีเครื่องหมายลบ เพราะเมื่อตัวแทนที่ 1 ได้รับเพิ่มจากโรงงาน จะต้องลดจำนวนที่ได้จากโรงงาน B เพื่อทำให้ตัวแทนที่ 1 ได้รับตามที่สั่ง คือ 30 คัน

50 6.6 การคำนวณค่า 𝐗 𝐂𝟏 ดังนั้น ช่อง (C ,1 ) จึงมีเครื่องหมาย บวก 𝑋 𝐶1
6.6 การคำนวณค่า 𝐗 𝐂𝟏 ดังนั้น ช่อง (C ,1 ) จึงมีเครื่องหมาย บวก 𝑋 𝐶1 ดังนั้น ช่อง (B ,1 ) จึงมีเครื่องหมาย ลบ 𝑋 𝐶1 ดังนั้น ช่อง (B ,3 ) จึงมีเครื่องหมาย บวก 𝑋 𝐶1 ดังนั้น ช่อง (C ,3 ) จึงมีเครื่องหมาย บวก 𝑋 𝐶1 1 2 3 B 5 - 𝑋 𝐶1 5 + 𝑋 𝐶1 C 𝑋 𝐶1 30 - 𝑋 𝐶1 1 2 3 B 10 C 5 25

51 6.6 การคำนวณค่า 𝐗 𝐂𝟏 การพิจารณาว่า 𝑋 𝐶1 ควรมีค่าเท่าใด ให้พิจารณาเฉพาะที่มีเครื่องหมายลบ ซึ่งในที่นี้มีเครื่องหมายลบ 2 ค่า คือ 5 - 𝑋 𝐶1 และ 𝑋 𝐶1 นั่นคือ 𝑋 𝐶1 อาจจะมีค่าเป็น 5 หรือ 30 เพราะเมื่อเลือก 𝑋 𝐶1 เข้าเป็นตัวแปรพื้นฐาน ต้องเปลี่ยนตัวแปรพื้นฐานเดิมให้เป็นตัวแปรพื้นฐานเดิมให้เป็นตัวแปรไม่พื้นฐาน 1 ตัว เพื่อยังคงทำให้มีจำนวนตัวแปรพื้นฐาน = m + n -1 ถ้าให้ 𝑋 𝐶1 = 30 จะมีผลทำให้ 𝑋 𝐵1 = 5 – 30 = -25 ซึ่งเป็นไปไม่ได้ เพราะตัวแปรทุกตัวต้องมากกว่าหรือเท่ากับศูนย์ จึงไม่สามารถให้ 𝑋 𝐶1 = 30 ได้ ถ้าให้ 𝑋 𝐶1 = 5 จะทำให้ 𝑋 𝐵1 5 – 5 = 0, 𝑋 𝐵3 = = 10 และ 𝑋 𝐶3 = 30 – 5 = 25 ซึ่งไม่มีตัวแปรใดติดลบ จึงให้้ 𝑋 𝐶1 = 5 นั่นคือ 𝑋 𝐶1 = ค่าต่ำสุดของช่องที่มีเครื่องหมายลบ หรือ 𝑋 𝐶1 = min ( 5 , 30) = 5 สำหรับผลลัพธ์ในรอบที่ 1 แสดงไว้ในตาราง

52 ตารางแสดงผลลัพธ์รอบที่ 1 ของวิธีโมดิ (MODI)
คำนวณรอบที่ 2 ตารางแสดงผลลัพธ์รอบที่ 1 ของวิธีโมดิ (MODI) ตัวแทน โรงงงาน 1 2 3 ai A 25 B 4 30 10 40 C 5 bj 35 95

53 ผลลัพธ์ที่ได้คือ โรงงาน A ส่งรถจักรยานยนต์ให้ตัวแทนจำหน่ายที่ 1 เป็นจำนวน 25 คัน โรงงาน B ส่งรถจักรยานยนต์ให้ตัวแทนจำหน่ายที่ 2 และ 3 เป็นจำนวน 30 คัน และ 10 คัน ตามลำดับ โรงงาน B ส่งรถจักรยานยนต์ให้ตัวแทนจำหน่ายที่ 1 และ 3 เป็นจำนวน 5 คัน และ 25 คัน ตามลำดับ ค่าขนส่งรวม = ( 25×3) + ( 30×2) + ( 10×3) + ( 5×3) + ( 25×3) = 225 บาท ซึ่งต่ำกว่าจากผลลัพธ์เบื้องต้นโดยวิธีมุมตะวันตกเฉียงเหนือ

54 การคำนวณรอบที่ 2 : จากตาราง
ขั้นที่ 2 : จำนวนช่องพื้นฐาน = 5 ขั้นที่ 3 : คำนวณค่า Ui และ Vi สำหรับช่องพื้นฐาน โดยกำหนดให้ 𝑈 𝐴 = 0 ช่อง (A , 1) : 𝑈 𝐴 + 𝑉 1 = 𝐶 𝐴1 = 𝑉 1 = 3 – 0 = 3 ช่อง (C , 1) : 𝑈 𝐶 + 𝑉 1 = 𝐶 𝐵1 = 𝑉 3 = 3 – 3 = 0 ช่อง (C , 3) : 𝑈 𝐶 + 𝑉 3 = 𝐶 𝐶3 = 𝑉 3 = 3 – 0 = 3 ช่อง (B , 3) : 𝑈 𝐵 + 𝑉 3 = 𝐶 𝐵3 = 𝑉 3 = 3 – 3 = 0 ช่อง (B , 2) : 𝑈 𝐵 + 𝑉 2 = 𝐶 𝐵2 = 𝑉 2 = 2 – 0 = 2 นำค่า Ui และ Vj ใส่ในตารางขนส่ง ดังแสดงในตาราง

55 ขั้นที่ 4 : คำนวณค่า Kij สำหรับช่องไม่พื้นฐาน โดยที่ Kij = Cij – Ui –Vj
ช่อง (A , 2) : 𝐾 𝐴2 = 𝐶 𝐴2 - 𝑈 𝐴 - 𝑉 2 = 3 – 0 – 2 = 1 ช่อง (A , 3) : 𝐾 𝐴2 = 𝐶 𝐴3 - 𝑈 𝐴 - 𝑉 3 = 2 – 0 – 3 = -1 ช่อง (B , 1) : 𝐾 𝐵1 = 𝐶 𝐵1 - 𝑈 𝐵 - 𝑉 1 = 4 – 0 – 3 = 1 ช่อง (C , 2) : 𝐾 𝐶2 = 𝐶 𝐶2 - 𝑈 𝐶 - 𝑉 2 = 2 – 0 – 2 = 0 ขั้นที่ 5 : ตรวจสอบพบว่า 𝐾 𝐴3 = -1 หมายถึง เลือก 𝑋 𝐴3 เป็นตัวแปรพื้นฐาน ขั้นที่ 6 : เลือกปรับค่า 𝐾 𝐴3 จากศูนย์เป็นบวก ขั้นที่ 7 : สร้างวงจรปิดที่เริ่มจากช่อง (A , 3) ได้วงจรปิดเป็น (A , 3 ) (A , 1) (C , 1) (C , 3) (A , 3)

56 ตารางแสดงการคำนวณรอบที่ 2
ตัวแทน โรงงาน 1 2 3 ai Ui A 25 + B 4 30 10 40 C 5 bj 35 95 Vj

57 ขั้นที่ 8 : หาค่า 𝐾 𝐴3 25 - 𝑋 𝐴 𝑋 𝐴3 5 + 𝑋 𝐴 𝑋 𝐴3 ได้ค่า 𝑋 𝐴3 = min (25 , 25) = 25 𝑋 𝐴1 = 25 – 25 = 0, 𝑋 𝐴3 = 25, 𝑋 𝐶1 = = 30 และ 𝑋 𝐶3 = 25 – 25 = 0 เนื่องจากวงจรปิดทำให้มีตัวแปร 2 ตัว คือ 𝑋 𝐴1 และ 𝑋 𝐶3 มีค่าเป็นศูนย์ทั้งคู่ แต่จะต้องให้มีตัวแปรพื้นฐานหรือช่องพื้นฐาน = m + n – 1 = – 1 = 5 จึงต้องระบุให้ตัวแปรใดตัวแปรหนึ่งระห่วาง 𝑋 𝐴1 และ 𝑋 𝐶3 เป็นศูนย์ ในที่นี้ให้ 𝑋 𝐴1 = 0 ส่วน 𝑋 𝐶3 ไม่ต้องระบุดังแสดงในตาราง

58 ตารางแสดงผลลัพธ์รอบที่ 2 ของวิธีโมดิ (MODI)
ตัวแทน โรงงงาน 1 2 3 ai A 25 B 4 30 10 40 C bj 35 95 ค่าขนส่งรวม = 230 บาท

59 การคำนวณรอบที่ 3 : จากตาราง คำนวณค่า Ui และ Vi สำหรับช่องพื้นฐาน โดยกำหนดให้
𝑈 𝐴 = 0 ช่อง (A , 1) : 𝑈 𝐴 + 𝑉 1 = 𝐶 𝐴1 = 𝑉 1 = 3 – 0 = 3 ช่อง (A , 3) : 𝑈 𝐴 + 𝑉 3 = 𝐶 𝐴3 = 𝑉 3 = 2 – 0 = 2 ช่อง (C , 1) : 𝑈 𝐶 + 𝑉 1 = 𝐶 𝐶1 = 𝑈 𝐶 = 3 – 3 = 0 ช่อง (B , 3) : 𝑈 𝐵 + 𝑉 3 = 𝐶 𝐵3 = 𝑈 𝐵 = 3 – 2 = 1 ช่อง (B , 2) : 𝑈 𝐵 + 𝑉 2 = 𝐶 𝐵2 = 𝑉 2 = 2 – 1 = 1 ดังนั้น 𝑈 𝐴 = 0 𝑈 𝐵 = 𝑈 𝐶 = 0 𝑉 1 = 𝑉 2 = 𝑉 3 = 2

60 คำนวณค่า 𝐾 𝑖𝑗 สำหรับช่องไม่พื้นฐาน โดยที่ Kij = Cij – Ui –Vj
ช่อง (A , 2) : 𝐾 𝐴2 = 𝐶 𝐴2 - 𝑈 𝐴 - 𝑉 2 = 3 – 0 – 1 = 2 ช่อง (B , 1) : 𝐾 𝐵1 = 𝐶 𝐵1 - 𝑈 𝐵 - 𝑉 1 = 4 – 1 – 3 = 0 ช่อง (C , 2) : 𝐾 𝐶2 = 𝐶 𝐶2 - 𝑈 𝐶 - 𝑉 2 = 2 – 0 – 1 = 1 ช่อง (C , 3) : 𝐾 𝐶3 = 𝐶 𝐶3 - 𝑈 𝐶 - 𝑉 3 = 3 – 0 – 2 = 1 ในที่นี้มีค่า 𝐾 𝑖𝑗 ≥ 0 ทุกค่า จึงสรุปได้ว่าผลลัพธ์ในตาราง เป็นผลลัพธ์ฺที่ให้ค่าขนส่งรวมต่ำสุดโดยที่ โรงงาน A ส่งรถจักรยานยนต์ให้ตัวแทนจำหน่ายที่ 3 เป็นจำนวน 25 คัน โรงงาน B ส่งรถจักรยานยนต์ให้ตัวแทนจำหน่ายที่ 2 และ 3 เป็นจำนวน 30 และ 10 คัน โรงงาน C ส่งรถจักรยานยนต์ให้ตัวแทนจำหน่ายที่ 1 เป็นจำนวน 30 คัน ค่าขนส่งรวม = 230 บาท ลดลงจากเมื่อใช้วิธีตะวันตกเฉียงหนือ 30 บาท

61 ตัวอย่างที่ 6.4 จากตาราง จงใช้เทคนิค VAM ในการหาผลลัพธ์เบื้องต้น จงหาผลลัพธ์ที่ดีที่สุด
ตัวแทน โรงงงาน 1 2 3 ai A 25 B 4 40 C 30 bj 35 95

62 6.6 ลักษณะของปัญหาการขนส่ง
สำหรับการใช้เทคนิคของการขนส่งไม่ว่าจะเป็นวิธีมุมตะวันตกเฉียงเหนือ วิธี VAM หรือวิธี MODI มีเงื่อนไขว่าจำนวนสินค้าที่ผลิตได้ = จำนวนสินค้าที่ลูกค้าต้องการ ในทางปฏิบัติอาจเกิดเหตุการกรณีที่ผลิตสินค้ามากเกินความต้องการหรือน้อยกว่าความต้องการ โดยแบ่งลักณะปัญหาเป็น 3 แบบ ดังนี้ 1) ผลรวมของสินค้าที่แหล่งต้นทางเท่ากับผลรวมของจำนวนสินค้าที่แหล่งปลายทาง 2) ผลรวมของสินค้าที่แหล่างต้นทางมากกว่าผลรวมของสินค้าที่แหล่งปลายทาง 3) ผลรวมของจำนวนสินค้าที่แหล่งต้นทางน้อยกว่าผลรวมของจำนวนสินค้าที่แหล่งปลายทาง

63 6.7 ปัญหาการขนส่งเมื่อมีการแก้ไข
6.7 ปัญหาการขนส่งเมื่อมีการแก้ไข ในบางครั้งอาจมีบางเส้นทางที่ไม่สามารถขนส่งได้ หรือร้านค้าไม่ต้องการสินค้าจากโรงงาน จึงจะต้องไม่มีการขนส่งในเส้นทางดังกล่าว จึงต้องกำหนดให้ค่าขนส่งมีค่าสูงมากๆ เพื่อจะได้ไม่มีการขนส่ง โดยกำหนดค่าขนส่งเป็น M บาทต่อหน่วย ซึ่ง M เป็นเลขบวกที่มีค่ามาก หรือมีค่าขนส่งสูงมาก

64 แบบฝึกหัด 3. บริษัทผลิตของเล่นเด็กมี 3 โรงงาน (A, B, C) ซึ่งตั้งอยู่ในที่ต่างกันจะต้องส่งของเล่นไปให้ร้านค้า 3 แห่ง โดยมีรายละเอียดดังนี้ จงหาผลลัพธ์เบื้องต้น โดยวิธี VAM และ ผลลัพธ์ของวิธี VAM เป็นผลลัพธ์ที่ดีที่สุดหรือไม่ ตัวแทน โรงงงาน 1 2 3 จำนวนของเล่นที่ผลิตได้ (ชิ้น) A 4 25 B 6 7 40 C 8 5 30 จำนวนของเล่นที่สั่งซ์้อ (ขวด) 65 135