ดาวน์โหลดงานนำเสนอ
งานนำเสนอกำลังจะดาวน์โหลด โปรดรอ
1
ฟังก์ชันหลายตัวแปรและการหาอนุพันธ์
(Multivariable Functions and Their Deriatives) เราทราบถึงกราฟและอนุพันธ์ของฟังก์ชันที่ขึ้นกับตัวแปรอิสระเพียง 1 ตัวมาแล้ว (calculus I) และเราสามารถขยายแนวความคิดดังกล่าวไปสู่ฟังก์ชันที่ขึ้นกับตัวแปรอิสระหลายตัวแปร และการหาอนุพันธ์ของฟังก์ชันนั้น ซึ่งความรู้ในเรื่องนี้ สามารถนำไปใช้อธิบายปรากฏการณ์ต่างๆ ที่เกิดขึ้นในชีวิตประจำวันได้เป็นอย่างดี
2
ฟังก์ชันสองตัวแปร ปริมาตร สมการวงกลมรัศมี 1
ฟังก์ชันสองตัวแปรเป็นฟังก์ชันที่ขึ้นกับตัวแปรอิสระสองตัวแปร ปริมาตร เป็นฟังก์ชันของรัศมี และ ความสูง สมการวงกลมรัศมี 1 เป็นฟังก์ชันของ x และ y
3
ระยะทางของวัตถุที่เคลื่อนที่ในแนวดิ่ง
เป็นฟังก์ชันของความเร็วต้น และเวลา
4
ฟังก์ชันสองตัวแปร เรียก x และ y ว่าตัวแปรอิสระ
โดเมน (domain) ของฟังก์ชัน f เรียก z ที่หาได้ว่าตัวแปรไม่อิสระ เรียกเซตของ z ที่หาได้จาก f ว่าพิสัย หรือ เรนจ์ (Range)
5
ถูกสุดๆ ผ่อนคอมพิวเตอร์ notebook รุ่น HENG&HANG ราคา 34,999
ดอกเบี้ย 0.8%!!! ดอกเบี้ยต่ำกว่านี้ไม่มีอีกแล้ว
6
f(เงินดาวน์, จำนวนเดือนที่จะผ่อน)
ถูกสุดๆ ผ่อนคอมพิวเตอร์ notebook รุ่น HENG&HANG ราคา 34,999 ดอกเบี้ย 0.8%!!! ดอกเบี้ยต่ำกว่านี้ไม่มีอีกแล้ว พบว่า ราคาของการผ่อนต่อ 1 เดือน ขึ้นกับ เงินดาวน์ และจำนวนเดือนที่จะผ่อน f(เงินดาวน์, จำนวนเดือนที่จะผ่อน) เงินผ่อนต่อ 1 เดือน = (34999-เงินดาวน์)*0.8/(100*12) +(34999-เงิน ดาวน์)/จำนวนเดือนที่จะผ่อน
7
เงินผ่อนต่อ 1 เดือน =f(เงินดาวน์, จำนวนเดือนที่จะผ่อน)
= (34999-เงินดาวน์)*0.8/(100*12) +(34999-เงินดาวน์)/จำนวนเดือนที่จะผ่อน โดเมน (domain) เงินดาวน์ จำนวนเดือนที่จะผ่อน เรนจ์ (Range)
9
จงหา
10
ฟังก์ชันสามตัวแปร ถูกสุดๆ ผ่อนคอมพิวเตอร์ notebook รุ่น HENG&HANG
แบบ C ราคาดูหนังฟังเพลงได้ดีสุดๆ 54,999 ดอกเบี้ย 0.8%!!! ดอกเบี้ยต่ำกว่านี้ไม่มีอีกแล้ว!!!
11
w = f(แบบของเครื่อง, เงินดาวน์, จำนวนเดือนที่จะผ่อน)
พบว่า ราคาของการผ่อนต่อ 1 เดือน ขึ้นกับ แบบของเครื่อง, เงินดาวน์ และจำนวนเดือนที่จะผ่อน w = f(แบบของเครื่อง, เงินดาวน์, จำนวนเดือนที่จะผ่อน) โดเมน (domain) แบบของเครื่อง 34,999 44,999 54,999 เงินดาวน์ จำนวนเดือนที่จะผ่อน
12
ฟังก์ชันแนวผิวโค้งของฟังก์ชัน 3 ตัวแปร
Level Surfaces of Functions of Three Variables เรียกฟังก์ชันของตัวแปร (x,y,z) ที่เป็นค่าคงตัวว่า แนวผิวโค้ง (Level Surface) เรียก f(x,y,z) =c ว่า แนวผิวโค้ง (Level Surface)
13
ตัวอย่าง x-3y+5z=12 x2+y2+z2=4
14
ลิมิตและความต่อเนื่องของฟังก์ชันสองตัวแปร
Limit and Continuity of Functions of two variables เราใช้สัญลักษณ์ แทน ลิมิตของฟังก์ชัน f(x,y) มีค่าเท่ากับ L เมื่อ x มีค่าเข้าใกล้ x0 และ y มีค่าเข้าใกล้ y0 พร้อมๆ กัน
15
คุณสมบัติของลิมิตของฟังก์ชัน 2 ตัวแปร
ให้ L,M และ K เป็นจำนวนจริง และ และ 1. กฎการบวก 2. กฎการลบ 3. กฎการคูณ 4. กฎการหาร ถ้า
16
5. กฎการคูณด้วยค่าคงตัว
6. กฎการยกกำลัง ถ้า
17
จงหาค่า
20
แนวความคิดเรื่องลิมิตและความต่อเนื่องของฟังก์ชันสองตัวแปร
สามารถขยายไปสู่ แนวความคิดเรื่องลิมิตและความต่อเนื่องของ ฟังก์ชันหลายตัวแปร (ตัวแปรอิสระตั้งแต่ 2 ตัวแปร) ได้ด้วย
21
(Partial Derivatives)
อนุพันธ์ย่อย (Partial Derivatives) สำหรับฟังก์ชันตั้งแต่ 2 ตัวแปรเป็นต้นไป เราสามารถหา อนุพันธ์ของฟังก์ชันนั้นๆ เทียบกับตัวแปรอิสระแต่ละ ตัวแปรได้ และ จะหมายถึง อัตราการเปลี่ยนแปลงของฟังก์ชัน เทียบกับการเปลี่ยนแปลงของตัวแปรนั้นๆ เมื่อจุดอื่นถูกตรึงอยู่
22
พิจารณาฟังก์ชัน เมื่อ y=8 พบว่า
เป็นเฉพาะฟังก์ชันที่จะแปรผันได้เมื่อค่า x เปลี่ยนไป ในทำนองเดียวกัน เมื่อ x=2 พบว่า เป็นเฉพาะฟังก์ชันที่จะแปรผันได้เมื่อค่า y เปลี่ยนไป
24
เราใช้สัญลักษณ์ แทนอนุพันธ์ย่อยของ f เทียบกับ x เมื่อ พิจารณาที่จุด (x0,y0) จงหา เมื่อ
25
เราใช้สัญลักษณ์ แทนอนุพันธ์ย่อยของ f เทียบกับ y เมื่อ พิจารณาที่จุด (x0,y0) จงหา เมื่อ
26
บางครั้งเราใช้สัญลักษณ์
แทน แทน เป็นตัวอักษรจาก Cyrillic อ่านว่า “ดี”
27
ความหมายของอนุพันธ์ย่อยในเชิงเรขาคณิต
30
กฎการหาอนุพันธ์ย่อย 1. กฎการบวก 2. กฎการลบ
31
3. กฎการคูณ 4. กฎการหาร
32
5. กฎการคูณด้วยค่าคงตัว
เป็นค่าคงตัวใดๆ 6. กฎการยกกำลัง
33
7. กฎลูกโซ่ ถ้า
34
ให้ จงหา
35
ให้ จงหาความชันของ พื้นผิว z=f(x,y) ในทิศทางของแกน x ณ จุด (1,-2)
36
ให้ จงหาความชันของ พื้นผิว z=f(x,y) ในทิศทางของแกน y ณ จุด (1,-2)
37
ให้ ถ้า z เป็นฟังก์ชันของ x,y และหา อนุพันธ์ย่อยได้ จงหา และ
38
จงใช้กฎลูกโซ่หาอนุพันธ์ของ
เทียบกับ t เมื่อ
42
กฎลูกโซ่ ถ้า เป็นฟังก์ชันของ ถ้า เป็นฟังก์ชันของ
43
ถ้า เป็นฟังก์ชันของ
44
ถ้า เป็นฟังก์ชันของ
45
ถ้า เป็นฟังก์ชันของ และ
46
ถ้า เป็นฟังก์ชันของ และ
47
ถ้า เป็นฟังก์ชันของ และ
48
จงใช้กฎลูกโซ่หาอนุพันธ์ย่อยของ
เทียบกับ r และ s โดยให้เขียนอนุพันธ์ดังกล่าวในรูปของฟังก์ชัน ของ r และ s ด้วย เมื่อ
49
จงใช้กฎลูกโซ่หาอนุพันธ์ย่อยของ
เทียบกับ r และ s โดยให้เขียนอนุพันธ์ดังกล่าวในรูปของฟังก์ชัน ของ r และ s ด้วย เมื่อ
50
จงใช้กฎลูกโซ่หาอนุพันธ์ของ
เทียบกับ t ที่ t=0 เมื่อ
51
จงใช้กฎลูกโซ่หาอนุพันธ์ย่อยของ
เทียบกับ r และ s โดยให้เขียนอนุพันธ์ดังกล่าวในรูปของฟังก์ชัน ของ r และ s ด้วย เมื่อ
52
จงใช้กฎลูกโซ่หาอนุพันธ์ย่อยของ
เทียบกับ r และ s โดยให้เขียนอนุพันธ์ดังกล่าวในรูปของฟังก์ชัน ของ r และ s ด้วย เมื่อ
53
จงใช้กฎลูกโซ่หาอนุพันธ์ย่อยของ
เทียบกับ r และ s โดยให้เขียนอนุพันธ์ดังกล่าวในรูปของฟังก์ชัน ของ r และ s ด้วย เมื่อ
55
Derivatives of Implicit Functions
การหาอนุพันธ์ของฟังก์ชันโดยปริยาย Derivatives of Implicit Functions โดยกฎลูกโซ่ถ้า เป็นฟังก์ชันของ โดยกฎลูกโซ่ถ้า เป็นฟังก์ชันของ
57
สำหรับ
58
สูตรการหาอนุพันธ์สำหรับฟังก์ชันโดยปริยาย
ถ้า F(x,y) เป็นฟังก์ชันที่หาอนุพันธ์ได้ และสมการ F(x,y)=0 นิยามให้ y เป็นฟังก์ชันที่หาอนุพันธ์เทียบกับ x ได้ ณ จุดใดๆ ที่ จะได้
59
จงหา ถ้า
60
จงหา ถ้า
61
จงหา ถ้า
63
จงใช้กฎลูกโซ่หาอนุพันธ์ย่อยของ
เทียบกับ u และ v โดยให้เขียนอนุพันธ์ดังกล่าวในรูปของฟังก์ชัน ของ u และ v ด้วย เมื่อ
64
อนุพันธ์ย่อยอันดับสูง
65
ถ้า จงหา
66
ถ้า จงหา
67
จงหา ถ้า
70
ถ้า จงหา
71
ความหมายของอนุพันธ์ย่อยในเชิงเรขาคณิต
72
เราสามารถขยายแนวความคิดจาก
ความชันของพื้นผิว f(x,y) ในแนวแกน x ความชันของพื้นผิว f(x,y) ในแนวแกน y ความชันของพื้นผิว f(x,y) ในแนวทิศทางใดๆ ที่กำหนด
74
ให้ u เป็นเวกเตอร์ 1 หน่วยในทิศทาง v
สมการเส้นตรง L
76
ถ้าสามารถหาอนุพันธ์ของ
ได้ที่จุด และ เป็นเวกเตอร์ 1 หน่วย แล้ว อนุพันธ์ระบุทิศทางของ f ที่จุด (x0,y0) ในทิศทาง ของ u คือ
77
จงหาอนุพันธ์ระบุทิศทางของฟังก์ชัน
ที่จุด (1,2) ในทิศทางของเวกเตอร์
79
สามารถเขียนใหม่ในรูปของเวกเตอร์ได้คือ
อนุพันธ์ระบุทิศทางของ f ที่จุด (x0,y0) ในทิศทางของ <u1,u2> คือ สามารถเขียนใหม่ในรูปของเวกเตอร์ได้คือ
80
แกรเดียนของ f (gradient of f) และใช้สัญลักษณ์
เวกเตอร์ดังกล่าวมีชื่อเฉพาะว่า แกรเดียนของ f (gradient of f) และใช้สัญลักษณ์
81
สัญลักษณ์ อ่านว่า “เดล” (del) ในเอกสารบางฉบับอาจจะอ่านว่า “นาบลา” (nabla)
82
จงหาแกรเดียนของ f และอนุพันธ์ของ f (x,y)=xey ที่จุด (2,0)
ในทิศทางจากจุด P(2,0) ไปยังจุด Q(4,1)
83
อนุพันธ์ระบุทิศทางของฟังก์ชัน 2 ตัวแปร
ถ้าสามารถหาอนุพันธ์ของ ได้ที่จุด และ เป็นเวกเตอร์ 1 หน่วย แล้ว อนุพันธ์ระบุทิศทางของ f ที่จุด (x0,y0) ในทิศทาง ของ u คือ
84
แกรเดียนของฟังก์ชัน 2 ตัวแปร
อนุพันธ์ระบุทิศทางของฟังก์ชัน 2 ตัวแปร เมื่อ เป็นเวกเตอร์ 1 หน่วย
85
อนุพันธ์ระบุทิศทางของฟังก์ชัน 3 ตัวแปร
ถ้าสามารถหาอนุพันธ์ของ ได้ที่จุด และ เป็นเวกเตอร์ 1 หน่วย แล้ว อนุพันธ์ระบุทิศทางของ f ที่จุด (x0,y0,z0) ในทิศทาง ของ u คือ
86
แกรเดียนของฟังก์ชัน 3 ตัวแปร
อนุพันธ์ระบุทิศทางของฟังก์ชัน 3 ตัวแปร เมื่อ เป็นเวกเตอร์ 1 หน่วย
87
จงหาแกรเดียนของ f ที่จุด (1,1,1) เมื่อ
88
จงหาแกรเดียนของ f และอนุพันธ์ของ f (x,y,z)=x3-xy2-z
ที่จุด (1,1,0) ในทิศทาง v=2i-3j+6k
92
การประยุกต์ใช้แกรเดียน (Application of gradients)
93
ความหมายของอนุพันธ์ย่อยในเชิงเรขาคณิต
95
ระนาบสัมผัสกับผิวโค้ง
96
ระนาบสัมผัสกับผิวโค้ง
ถ้า เป็นสมการผิวโค้งโดยที่ เป็นค่าคงตัวใดๆ และ ถ้า แล้ว ระนาบสัมผัสผิวโค้ง ณ จุด คือ หรือ
97
จงหาระนาบสัมผัสผิวโค้ง ณ จุด
งานนำเสนอที่คล้ายกัน
