ครั้งที่ 4 การลดรูปสมการบูลลีน Quine McCluskey Method

ครั้งที่ 4 การลดรูปสมการบูลลีน Quine McCluskey Method

วิธีการของ Quine McCluskey
เราได้เรียนถึงวิธีการลดรูปสมการโดยใช้พีชคณิตบูลลีน และวิธีการของแผนภาพคาร์นอจ์มาแล้ว จากวิธีการทั้งสองจะพบว่า หากสมการมีตัวแปรจำนวนมาก การลดรูปจะยุ่งยากและซับซ้อนขึ้น ทำให้ยากต่อการลดรูป และในปัจจุบันนี้เราสามารถใช้คอมพิวเตอร์ช่วยในการลดรูปสมการโดยการเขียนเป็นโปรแกรมคอมพิวเตอร์ จึงได้มีผู้คิดวิธีการลดรูปในอีกลักษณะหนึ่งเรียกว่า วิธีการ Prime Implicant แต่นิยมเรียกตามชื่อเจ้าของวิธีการว่า Quine McCluskey

หลักการของวิธีการนี้คือ การเปรียบเทียบระหว่างเทอมที่ได้จากวิธีการเขียนสมการแบบ SOP เพื่อการลดรูป โดยการเปรียบเทียบครั้งแรกหากลดรูปได้ จะทำให้สามารถลดตัวแปรไป 1 ตัว แล้วนำผลจากการลดรูปแล้วมาเปรียบเทียบกันอีกครั้งเพื่อลดตัวแปรลงไปอีก ทำซ้ำวิธีการไปจนกระทั่งลดรูปไม่ได้ นำผลที่ได้จากการลดรูปมาทบทวน ตัดเทอมที่ซ้ำกันออกไป ก็จะได้คำตอบสุดท้าย

ในการเปรียบเทียบนั้น หากเป็นการเปรียบเทียบโดยตรงระหว่างคู่ของเทอมที่มีอยู่ของ SOP ทุกคู่ก็จะทำให้มีคู่เปรียบเทียบจำนวนมาก ในทางปฏิบัติพบว่ามีคู่เปรียบเทียบที่สามารถลดรูปได้และที่ลดรูปไม่ได้ จึงหาวิธีการแยกแยะว่า เทอมใดลดรูปกับเทอมใดไม่ได้แล้วแยกออกมาเพื่อจะไม่ต้องนำมาเปรียบเทียบกัน และพบว่า เทอมลักษณะดังกล่าวสามารถแยกออกมาเป็นกลุ่ของเทอมได้ จึงนำเทอมเหล่านั้นมาจัดเป็นกลุ่มดังนี้

การจัดกลุ่มของเทอมในสมการ 1. กลุ่มที่สมาชิกหรือเทอมในกลุ่มไม่ต้องนำมาเปรียบเทียบกัน 2. กลุ่มที่สมาชิกในกลุ่มหรือเทอมต้องนำมาเปรียบเทียบกัน 3. กลุ่มที่ต้องเปรียบเทียบกัน และกลุ่มที่ไม่ต้องเปรียบเทียบกัน ในการจัดกลุ่มนั้นเพื่อให้ง่ายต่อการลดรูป เราจะใช้เลขค่า 0 และ 1 เขียนแทนค่าในเทอมของสมการ โดยใช้ค่า 0 แทนค่าตัวแปรที่มีค่า invert และ1 แทนค่าตัวแปรที่เป็นค่าปกติ และใช้ตำแหน่งของค่าที่เขียนแสดงถึงชื่อตัวแปร แล้วนำมาพิจารณาจัดกลุ่ม

หลักการจัดกลุ่มและการเปรียบเทียบ Minterm ที่มี 1 จำนวนเท่ากันจัดอยู่ในกลุ่มเดียวกัน เช่นกลุ่มที่ในเทอมเป็น 0 หมด (minterm 0) กลุ่มที่แต่ละเทอมมี 1 ตัวเดียว (เช่น minterm 1, 4, 8) กลุ่มที่แต่ละเทอมมี 1 จำนวน 2 ตัว 3 ตัว 4 ตัว ไปเรื่อย ๆ สาเหตุที่จัดกลุ่มที่มีจำนวน 1 ในเทอมจำนวนเท่ากันไว้ด้วยกันก็เพราะว่า เทอมที่มีจำนวน 1 เท่ากันจะไม่มีโอกาสนำมาลดรูปร่วมกันได้ เช่น minterm 1 , 4, และ 8 นั้นจะไม่สามารถนำมาประกอบกันในการลดรูปได้เลย ในการเปรียบเทียบ ให้เปรียบเทียบกลุ่มของเทอมที่มี1 จำนวน n ตัวกับกลุ่มของเทอมที่มี 1 จำนวน n+1 ตัวเท่านั้น

คู่ของเทอมที่มาจากต่างกลุ่มที่นำมาเปรียบเทียบจะสามารถลดรูปกันได้ก็ต่อเมื่อ เทอมทั้งสองมีจำนวนตัวแปรเท่ากัน (เทอมที่ได้จากวิธีการของ SOP นั้นมีจำนวนตัวแปรเท่ากัน) ในการเปรียบเทียบนั้น ให้ดูว่าระหว่าง mintern ต่างกลุ่มที่เรานำมาเปรียบเทียบกันนั้น มีค่าตัวแปรเดียวกันตัวใดที่มีเป็นค่าตรงกันข้าม ตัวแปรนั้นจะถูกลดรูปไปตำแหน่งที่ตัวแปรหายไปนั้นให้เขียน – แทน

เช่น การเปรียบเทียบระหว่างค่า และ ค่า มาจากกลุ่มที่มี 1 ตัวเดียว ค่า มาจากกลุ่มที่มีตัวแปร 2 ตัว สามารถที่จะนำมาเปรียบเทียบได้ ส่วนจะลดรูปได้หรือไม่ เราจะพบว่าตำแหน่งทางขวา 3 ตำแหน่งมีค่าตัวแปรเหมือนกันคือ และมีตำแหน่งซ้ายสุดมีค่าตรงกันข้ามคือ 0 และ 1 เราสามารถลดรูปตัวแปรตัวขวาสุดได้ โดยในการเขียนค่าในตำแหน่งต่าง ๆ จะเขียนเหมือนเดิมยกวันตำแหน่งที่ 4 จะเขียน – แทนได้ดังนี้

จากผลการเปรียบเทียบที่ได้ (จากการเปรียบเทียบ minterm 2 ตัว) เรานำมาเปรียบเทียบกันอีกระหว่างกลุ่มว่าลดรูปกันได้ไหม ถ้าได้ก็รวมเข้าด้วยกันเป็น 4 ตัว ทำเช่นนี้ไปเรื่อย ๆ จนหมดเทอม แล้วนำผลระหว่างกลุ่มจากการรวม 4 เทอมมาพิจารณาในลักษณะเดียวกันอีก จนกระทั่งเหลือกลุ่มเดียวที่ไม่มีกลุ่มอื่นในการเปรียบเทียบ ผลที่ได้จากการรวมระหว่างกลุ่มจะนำไปใช้ในการหาเทอมที่ลดรูปดังตัวอย่างต่อไปนี้

ตัวอย่าง จาก Karnaugh Map ให้ลดรูปโดยวิธีการของ Quine McCluskey

จาก Karnaugh Map จะพบว่าประกอบด้วย minterm จำนวน 9 เทอมคือ m2 m4 m6 m8 m9 m10 m12 m13 และ m15 เขียนในรูปของ 0และ 1 ตามตำแหน่งของตัวแปร A B C และ D ดังนี้ m2 = m4 = 0100 m26 = m8 = 1000 m9 = m10 = 0100 m12 = m13 = 1101 m15 = 1111

เรานำมาจัดกลุ่มจะได้ กลุ่มแรก m2 m4 และ m8 อยู่ในกลุ่มที่มี 1 ตัวเดียว กลุ่มที่สอง m6 m9 m10 และ m12 อยู่ในกลุ่มที่มี 1 สองตัว กลุ่มที่สาม m13 อยู่ในกลุ่มที่มี สาม ตัว กลุ่มที่สี่ m13 อยู่ในกลุ่มที่มี สี่ ตัว ในการเปรียบเทียบ เราจะเทียบระหว่างกลุ่มที่มีค่า 1 ในเทอมที่แตกต่างกัน =1 คือระหว่างกลุ่มแรกกับกลุ่มที่สอง กลุ่มที่สองกับกลุ่มที่สาม และกลุ่มที่สามกับกลุ่มที่สี่เท่านั้น ดังนี้

กลุ่มแรกเราเรียกว่า List 1 จาก List1 การเทียบระหว่างกลุ่มแรกกับกลุ่มที่สอง สองกับสาม และสามกับสี่ เราแยกผลการเปรียบเทียบออกเป็นกลุ่ม และเรียกว่า List2 จาก List2 การเทียบระหว่างกลุ่มแรกกับกลุ่มที่สอง สองกับสาม เราแยกผลการเปรียบเทียบออกเป็นกลุ่ม และเรียกว่า List3 จากตัวอย่างจะพบว่า การเปรียบเทียบสิ้นสุดที่ List 3 เพราะเหลือกลุ่มเดียว

ในการพิจารณาหาเทอมผลลัพธ์นั้น เราดูจากกลุ่มใน List3 ก่อนว่าเกิดจากการรวมกลุ่มใดใน List2 แสดงว่ากลุ่มนั้นถูกนำมาลดรูปแล้ว ให้ทำเครื่องหมาย \/ ไว้ที่เทอมใน List2 ทำเช่นนี้จนหมดเทอมใน List3 กลุ่มที่ถูกนำมาพิจารณาให้เลือกมา (PI1) เป็นผลลัพธ์ เมื่อเทอมใน list 3 หมดแล้วก็ให้นำเทอมใน List2 ที่ไม่มีเครื่องหมายแสดงว่าถูกนำไปรวมใน List3 มาพิจารณาในทำนองเดียวกันว่าแต่ละเทอมเกิดจากเทอมใดใน List1 แล้วทำเครื่องหมายไว้ที่เทอมใน List1 ทำเช่นนี้จนหมดเทอมใน List2 เทอมใน List2 เหล่านี้เป็นเทอมที่เลือกมาเป็นผลลัพธ์ (PI2, PI3, PI4 , PI5 , PI6 และPI7 ) สุดท้ายพิจารณาเทอมใน List1 ว่าเทอมที่เหลือที่ไม่มีเครื่องหมายแสดงว่าถูกนำไปรวมกันในเทอมใน List2 ก็ให้เลือกเทอมนั้นมาด้วย กรณีตัวอย่างทุกเทอมถูกนำไปรวมกันใน List2 หมดแล้ว

PI ที่ได้ทั้งหมดจะนำมา OR กัน เป็นค่าของสมการผลลัพธ์ แต่สมการที่ได้จาก PI นี้ยังไม่ใช่สมการที่สั้นที่สุด เพราะยังมี PI บางตัวที่อาจจะเกิดจากเทอมที่ร่วมอยู่กับ PI อื่น (cover) เราจึงต้องทำการหาจำนวนที่น้อยที่สุดโดยการนำ PI ที่ได้มาแจกแจงว่าเทอมของ PI ใดร่วมอยู่กับ PI ตัวอื่นแล้วเลือกมาให้ได้จำนวน PI น้อยที่สุดโดยการใช้แผนภาพการแจกแจง

นำ PI ที่ได้มาพิจารณาเพื่อดูว่า เทอมที่เหลือควรจะเป็น PI ใดบ้าง โดยการดูว่า PI ใดเกิดจากการรวม minterm ใด เขียนเป็นแผนภาพดังนี้

จากแผนภาพ จะพบว่า PI บางตัวมีเทอมที่ซ้ำกับเทอมใน PI ตัวอื่น และบางตัวที่เทอมบางเทอมไม่ซ้ำ ในลักษณะนี้ PI ที่มีเทอมที่ไม่ซ้ำกับเทอมใน PI อื่น เป็น PI หลักที่เราต้องเลือกออกมาเป็น PI ในสมการผลลัพธ์ จากในตัวอย่าง PI ที่มีเทอมที่ไม่ซ้ำกับเทอมใน PI ตัวอื่นคือ PI1 และPI7 เราเรียก PI นี้ว่า Essential PI ซึ่งเป็น PI ที่ต้องเลือกออกมา หลังจากนั้นให้ลบเทอมที่เกิดจาก essential PI ที่เลือกออกเหลือเพียงเทอมของ PI ตัวที่เหลือดังนี้

จากแผนภาพที่เหลือจะพบว่า ส่วนที่เหลือนั้นมีเทอมที่ซ้ำกับเทอมใน PI อื่นๆ ที่เราต้องพิจารณาเลือก PI จำนวนน้อยที่สุดที่ทำให้ครอบคลุม เทอมทั้งหมด ในที่นี้เลือก PI3 และPI4 เพราะฉะนั้นเราก็จะได้ เทอมที่เป็นผลจากการลดรูปคือ PI1, PI3, PI4 , และPI7 เขียนเป็นสมการได้ดังนี้

จากคำตอบที่ได้ถ้าเรานำไปวงรอบใน K map ของโจทย์จะได้ดังนี้ หากเราใช้วิธีการวงรอบ K-map โดยตรงก็จะได้ผลลัพธ์เช่นเดียวกัน

ตัวอย่าง covering procedure

PI1 และ PI7 เป็น essential PI หลังจากเลือก PI1 และ PI7 แล้วจะได้

จะเห็นว่า PI2 และ PI3 และ PI4 และ PI6 มีเทอมที่ทับซ้อนกันทั้งหมด เราเลือกมาเพียงตัวเดียวในแต่ละคู่ และยังพบต่อไปว่า การเลือก PI2 และ PI4 นั้นเทอมของทั้งสอง PI ยังไปทับเทอมของ PI5 ทำให้ไม่ต้องเลือก PI5

Cyclic PI chart

วิธีการของ Quine McCluskey Cyclic PI chart

ตัวอย่าง Cyclic PI chart

กรณี Don’t Care ในวงจรดิจิตอลนั้น ค่าของเอาท์พุตจะมีค่า 0 หรือ 1 ตามอินพุตที่เข้ามาและการทำงานของวงจร แต่อาจจะมีบางกรณีที่ไม่ได้มีการกำหนดค่าเอาท์พุตสำหรับอินพุตที่เข้ามา โดยค่าเอาท์พุตมีค่าเป็นได้ทั้งค่า 0 หรือค่า 1 กรณีของเอาท์พุตในลักษณะนี้เรียกว่า กรณี ไม่แคร์ (don’t care) แต่ในการออกแบบนั้น ค่าของเอาท์พุทจะต้องถูกกำหนดเอาท์พุตว่าเป็น 0 หรือ 1 สำหรับการเขียนสมการแบบ SOP นั้น เรานำเฉพาะค่าเอาท์พุตที่เป็น 1 มาใช้ในการออกแบบ ค่าที่เป็น 0 ไม่นำมาคิดทั้งในสมการบูลลีน Karnaugh Map หรือแม้กระทั่งวิธีการของ Quine Mc Cluskey

กรณี Don’t Care สำหรับค่า don’t care นั้นก็ต้องมีการกำหนดว่าจะให้เป็น 0 หรือ 1 ในการลดรูปนั้น เราสามารถพิจารณาได้ดังนี้ หากเราเลือกที่จะให้ค่า don’t care เป็น 0 เราไม่ต้องนำมาคิดในการลดรูป ทำให้จำนวนเทอมที่จะลดรูปน้อยลง เป็นวิธีการที่ควรจะเลือก แต่หากพิจารณาให้ดีจะพบว่า ถ้าเราเลือกให้ค่า don’t care เป็น 1 แล้วนำไปลดรูปร่วมกับเทอมที่ไม่ใช่ don’t care ได้ ก็ควรจะทำ ฉะนั้นหากเทอมของเอาท์พุตนั้นไม่สามารถนำไปลดรูปกับเทอมอื่นได้ ก็ให้กำหนดเป็น 0 และไม่ต้องนำมาคิด แต่ถ้าสามารถนำไปลดรูปกับเทอมอื่นได้ ก็ให้กำหนดให้เป็น 1 แล้วจึงทำการลดรูป

กรณี Don’t Care การลดรูป
ในการลดรูปโดยสมการนั้น เราก็เขียนทุกเทอมของ don’t care ลงในสมการก่อน แล้วพิจารณาการลดรูป เทอมของกรณี don’t care ที่ไม่สามารถนำไปลดรูปได้ให้ตัดทิ้งไป แล้วทำการลดรูปไปตามปกติ ในการลดรูปโดย K-map นั้น เทอมที่เป็น don’t care ให้เขียน d หรือ x ลงในแผนภาพ แล้วทำการลดรูปโดยพิจารณาว่า d หรื x นั้นสามารถเลือกให้อยู่ในวงรอบการลดรูปได้ ส่วนที่ลดไม่ได้จะอยู่นอกวง d ที่อยู่ในวงจะหมายถึงค่าที่เป็น 1 และ d ที่อยู่นอกวงจะเป็น 0

กรณี Don’t Care การลดรูป
ในการลดรูปโดยวิธีการของ Quine McCluskey นั้น เรานำค่า minterm ของกรณี don’t care มาคิดเป็นเทอมที่จะลดรูปด้วย และทำตามกระบวนการลดรูปไปเรื่อย ๆ สุดท้ายเมื่อนำ PI ที่ได้กลับมาพิจารณาว่าเกิดจากเทอมใดบ้างนั้น ให้ดูว่าที่ List 1 นั้นมีเทอมของ don’t care เทอมใดที่ไม่มีการใช้ร่วมกับเทอมอื่นใน list 2 ให้ตัดเทอมนั้นทิ้ง (เทอมนี้ถูกกำหนดเป็น 0)

หน้า 204 รูป 3.24 และสมการ SOP

Ex3.25 หน้า 218-220 โจทย์ List สมการ

ระบบที่มีหลายเอาท์พุต
สำหรับระบบหรือวงจรที่มีหลายเอาท์พุตนั้น ในการออกแบบเราเขียนสมการสำหรับแต่ละอินพุตแล้วเขียนวงจร โดยอินพุตของทั้งสองวงจรมาจากอินพุตชุดเดียวกัน และพิจารณาว่าหากค่าเอาท์พุตมีเทอมที่เหมือนกัน เราก็ใช้ส่วนของวงจรเดียวกัน ดังที่แสดงมาในการออกแบบ Half-Adder และ Full Adder สำหรับในวิธีการของ Quine McCluskey ก็เช่นเดียวกัน เราจะแสดงโดยตัวอย่างดังนี้

ระบบที่มีหลายเอาท์พุต
Ex 3.26 หน้า

Combinational circuit Design
Example 1

Solution

Example2

Solution

The logic circuit is

Example3

The logic equation are

The expressions can be reduced to

MINIMIZATION Example1

MINIMIZATION Example2

MINIMIZATION : K-Maps Example1

MINIMIZATION : K-Maps Example2

MINIMIZATION : K-Maps

MINIMIZATION : K-Maps another method

MINIMIZATION : K-Maps

MINIMIZATION : K-Maps ผลลัพธ์ที่ได้

ครั้งที่ 4 การลดรูปสมการบูลลีน Quine McCluskey Method

งานนำเสนอที่คล้ายกัน

งานนำเสนอเรื่อง: "ครั้งที่ 4 การลดรูปสมการบูลลีน Quine McCluskey Method"— ใบสำเนางานนำเสนอ:

งานนำเสนอที่คล้ายกัน

เรื่องโครงการ

การติดต่อกลับ

เข้าสู่ระบบ

ลงทะเบียนผ่านเครือข่ายสังคม:

ครั้งที่ 4 การลดรูปสมการบูลลีน Quine McCluskey Method

งานนำเสนอที่คล้ายกัน

งานนำเสนอเรื่อง: "ครั้งที่ 4 การลดรูปสมการบูลลีน Quine McCluskey Method"— ใบสำเนางานนำเสนอ:

งานนำเสนอที่คล้ายกัน

เรื่องโครงการ

การติดต่อกลับ