การเคลื่อนที่ของวัตถุแข็งเกร็ง บทที่ 5 การเคลื่อนที่ของวัตถุแข็งเกร็ง Motion of Rigid Body อ.ดร.ชาคริต นวลฉิมพลี

เนื้อหาที่จะเรียนในวันนี้ 5.1 วัตถุแข็งเกร็ง (Rigid Body) 5.1.1 จุดศูนย์กลางมวลของวัตถุแข็งเกร็ง 5.1.2 โมเมนตัมเชิงมุมของวัตถุแข็งเกร็ง 5.2 โมเมนต์ความเฉื่อย (Moment of Inertia) - ทฤษฏีแกนขนาน - ทฤษฏีแกนตั้งฉาก

5.1 วัตถุแข็งเกร็ง (Rigid Body) ระบบอนุภาคที่ประกอบเป็นวัตถุ โดยที่ เมื่อมีแรงภายนอกมากระทำ อนุภาคทั้งหลายยังคงมีตำแหน่งที่สัมพัทธ์ระหว่างกันคงที่ไม่เปลี่ยนแปลง วัตถุแข็งเกร็งจะเป็นวัตถุที่มีรูปร่างไม่เปลี่ยนแปลงในขณะที่วัตถุมีการเคลื่อนที่

การเคลื่อนที่ของวัตถุแข็งเกร็ง มี 2 แบบ การเคลื่อนที่แบบเลื่อน ตำแหน่ง (Translational Motion) วัตถุจะเคลื่อนที่ไปในลักษณะที่แนวการเคลื่อนที่ของแต่ ละอนุภาคที่ประกอบกันเป็นวัตถุแข็งเกร็งนั้นจะขนานกัน ไป การเคลื่อนที่แบบหมุน (Rotational Motion) วัตถุจะหมุนรอบแกนหมุน โดยแต่ละอนุภาค ในวัตถุจะเคลื่อนที่เป็นวงกลมรอบแกนหมุนนั้น

5.1.1 จุดศูนย์กลางมวลของวัตถุแข็งเกร็ง จุดศูนย์กลางมวลของระบบอนุภาค จุดศูนย์กลางมวลของวัตถุแข็งเกร็ง เมื่อ และ V คือ ความหนาแน่น และปริมาตรของวัตถุแข็งเกร็ง

ตัวอย่างที่ 5-1 จงหาจุดศูนย์กลางมวลของลวดครึ่งวงกลมรัศมี R และมีมวล โดยกำหนดให้ลวดนี้มีความหนาแน่นเชิงเส้นคงที่เท่ากับ  กิโลกรัมต่อเมตร xcm = 0 และ  d dS R x y O เนื่องจาก  = M/L = M/R ดังนั้น

ตัวอย่างที่ 5-2 จงหาจุดศูนย์กลางมวลของกรวยตัน ซึ่งมีความหนาแน่น ต่อปริมาตรเท่ากับ  dV = x2dy = (y tanθ)2 dy จาก dm =  dV x dy y h 

5.1.2 โมเมนตัมเชิงมุมของวัตถุแข็งเกร็ง โมเมนตัมเชิงมุมของอนุภาคทั้งหมด ที่ประกอบกันเป็นวัตถุ คือ จากนิยามโมเมนตัมเชิงมุม

โดยทั่วไปทิศของจะไม่ขนานกับแกนหมุน 900 i ri vi Ri Li Liz mi  z นิยามปริมาณ โมเมนต์ของความเฉื่อย

โมเมนตัมเชิงมุมของอนุภาคทั้งหมดในวัตถุแข็งเกร็งรอบแกนหมุน z คือ โดยที่ ดังนั้น หรือ

กระดาษ และรอบแกนหมุนที่อยู่ในแนวเดียวกันกับคาน BC ตัวอย่างที่ 5-3 วัตถุเล็กๆ 3 อัน ถ้าอนุโลมให้เป็นอนุภาคได้ และถูกเชื่อมโยงด้วยคาน เบาดังรูป จงหาโมเมนความเฉื่อย รอบแกนหมุนที่ลากผ่านจุด A ซึ่งตั้งฉากกับหน้า กระดาษ และรอบแกนหมุนที่อยู่ในแนวเดียวกันกับคาน BC กรณีที่แกนหมุนลากผ่านจุด A ซึ่งตั้งฉากกับหน้ากระดาษ m3 = 10 kg m1 = 30 kg m2 = 20 kg A B C 5 cm 3 cm 4 cm กรณีที่แกนหมุนอยู่บนแนว BC

ตัวอย่างที่ 5-4 จงหาโมเมนตัมเชิงมุมของระบบดังรูปที่ 5-6 ซึ่ง ประกอบด้วยทรงกลมเท่ากันสองลูกที่มีมวล m ติดไว้กับปลาย แขนหมุนเป็นระยะ R และหมุนรอบแกน z ด้วยอัตราเร็วเชิงมุม  และไม่คิดมวลของแขนหมุน โมเมนตัมเชิงมุมของแต่ละทรงกลมสัมพัทธ์กับจุด O คือ จากรูป ก ดังนั้นโมเมนตัมเชิงมุมทั้งหมดของระบบ

ระยะห่างระหว่างมวล m กับแกนหมุน คือ Rsinθ Om y  R z L x  Rsin 900- z0 x0 (ก) (ข) จากรูป ข ระยะห่างระหว่างมวล m กับแกนหมุน คือ Rsinθ และ ดังนั้นโมเมนตัมเชิงมุมทั้งหมดของระบบ

โมเมนตัมเชิงมุมเริ่มต้น = โมเมนตัมเชิงมุมสุดท้าย ตัวอย่างที่ 5-5 แผ่นวัตถุรูปร่างกลมแบนมีมวล M = 2kg ผูกด้วยเชือกยาว R = 1.5 m แล้วแกว่งเป็นวงกลมเชิงมุม 0 = 3 rad/s ถ้ามีมวล m = 1 kg ตกลงมาบนแผ่นวัตถุที่กำลังหมุน แล้วจะทำให้ความเร็วเชิงมุมของแผ่นวัตถุ เปลี่ยนไปเป็นเท่าไร โมเมนตัมเชิงมุมเริ่มต้น = โมเมนตัมเชิงมุมสุดท้าย M m R O  rad/s

โมเมนต์ความเฉื่อย สำหรับวัตถุที่มีมวลกระจายอย่างต่อเนืองกันเป็นก้อนเดียวกัน หรือเป็นเนื้อเดียวกัน แบ่งมวลของวัตถุนั้นออกเป็นส่วนย่อยเล็กจำนวนหนึ่งซึ่งมีมวล dm r เป็นระยะห่างของมวลเล็กนั้น จากแกนหมุน ดังนั้น โมเมนต์ของความเฉื่อยของวัตถุแข็งเกร็ง คือ

วัตถุทรงกระบอกตันมวล M รัศมี R มีความหนาแน่น  แบ่งมวลเล็กๆ เป็นรูปทรงกระบอกที่ มีรัศมี r หนา dr และสูง h มีปริมาตร dV r R dr h มวลทรงกระบอกเล็กๆ จะมีค่าเท่ากับ โมเมนต์ของความเฉื่อยของวัตถุ รูปทรงกระบอกตัน รอบแกน z ของวัตถุ คือ

รัศมีไจเรชัน (Radius of Gyration , K) ไม่ว่าวัตถุจะมีรูปทรงอย่างไรก็ตาม คิดว่าก้อนมวลของวัตถุทั้งก้อนรวมกันอยู่ ณ ตำแหน่งหนึ่ง ระยะห่างจากจุดศูนย์รวมมวลไปยังแกนหมุน เรียกว่า รัศมีไจเรชัน ดังนั้น จะได้ โมเมนต์ของความเฉื่อยของวัตถุแข็งเกร็ง กรณีของทรงกระบอกตัน

ทฤษฎีแกนขนาน (The Parallel Axis Theorem) cm Zcm Ycm Y a P P A X Z Xcm x y Rcm Icm I แสดงระบบแกนหมุน XYZ ที่ขนานกับแกน XcmYcmZcm โดยมีจุด P เป็นจุดใด ๆ บนวัตถุ

ทฤษฎีแกนตั้งฉาก x y z o dm R

ตัวอย่างที่ 5-6 จงหาโมเมนต์ของความเฉื่อยของแท่งวัตถุยาว L และมีมวล M ซึ่งมีแกนหมุนอยู่ที่ปลายด้านหนึ่ง และตั้งฉากกับแกนของแท่งวัตถุ dx x Z Zcm L/2 X พิจารณาส่วนความยาว dx มวล dm และอยู่ห่างจากแกนหมุน Zcm เป็นระยะ x ความหนาแน่นเชิงเส้น  = M/L ดังนั้น dm = dx

จาก นั่นคือ จากทฤษฎีแกนขนานเมื่อ a = L/2 โมเมนต์ของความเฉื่อยรอบแกน Z ได้

ตัวอย่างที่ 5-7 จงหาโมเมนต์ของความเฉื่อยของจานกลมรัศมี R ที่มีมวล M โดยมีแกนหมุนผ่านจุดศูนย์กลางมวลดังรูปที่ 5-12 กำหนดให้  เป็นความหนาแน่นต่อพื้นที่ของจานนี้ dr R r Zcm วงแหวนมีความกว้าง dr มีมวล dm = (2r)dr จาก