บทนิยาม ไฮเพอร์โบลา คือ เซตของจุดบนระนาบ ซึ่งผลต่างของระยะทางจุดเหล่านี้ไปยังจุดคงที่สองจุดบนระนาบ มีค่าคงตัวซึ่งมากกว่าศูนย์ แต่น้อยกว่าระยะห่างระหว่างจุดคงที่สองจุดนั้น P(x,y) จุดคงที่ จุดคงที่ O

ส่วนประกอบของไฮเพอร์โบลา เส้นกำกับ จุดปลายแกนสังยุค P(x,y) . โฟกัส โฟกัส แกนสังยุค จุดยอด จุดยอด จุดศูนย์กลาง แกนตามขวาง ลาตัสเรกตัม ลาตัสเรกตัม จุดปลายแกนสังยุค เส้นกำกับ

1. สมการไฮเพอร์โบลา c Y P(x,y) B(0,b) b F’(-c,0) V’(-a,0) V(a,0) 1. สมการไฮเพอร์โบลา Y P(x,y) B(0,b) b F’(-c,0) V’(-a,0) V(a,0) F(c,0) a C(0,0) X c B’(0,-b) จำว่า c2 = a2 + b2 เสมอ

2. สมการไฮเพอร์โบลา c Y F(0,c) P(x,y) V(0,a) a B’(-b,0) B(b,0) C(0,0) 2. สมการไฮเพอร์โบลา Y F(0,c) P(x,y) V(0,a) c a B’(-b,0) B(b,0) C(0,0) X b จำว่า c2 = a2 + b2 เสมอ V’(0,-a) F’(0,-c)

3. สมการไฮเพอร์โบลา c Y P(x,y) B(h,k+b) b F’(h-c,k) V’(h-a,k) V(h+a,k) 3. สมการไฮเพอร์โบลา Y P(x,y) B(h,k+b) b F’(h-c,k) V’(h-a,k) V(h+a,k) F(h+c,k) a C(h,k) c B’(h,k-b) X O จำว่า c2 = a2 + b2 เสมอ

4. สมการไฮเพอร์โบลา c x O Y F(h,k+c) P(x,y) V(h,k+a) a B’(h-b,k) 4. สมการไฮเพอร์โบลา Y F(h,k+c) P(x,y) V(h,k+a) c a B’(h-b,k) B(h+b,k) C(h,k) b จำว่า c2 = a2 + b2 เสมอ V’(h,k-a) x O F’(h,k-c)

ตัวอย่าง วิธีทำ ( 2x2 - 20x ) - ( 3y2 + 24y ) = 16 จงวิเคราะห์กราฟที่มีสมการ 2x2 - 3y2 -20x - 24y - 16 = 0 วิธีทำ โดยวิธีการทำเป็นกำลังสองสมบูรณ์ของ x และ จะได้ ระวังการเข้าวงเล็บนะจ๊ะ ( 2x2 - 20x ) - ( 3y2 + 24y ) = 16 ระวังการเข้าวงเล็บนะจ๊ะ ระวังการเข้าวงเล็บนะจ๊ะ ระวังการเข้าวงเล็บนะจ๊ะ 2 (x2 - 10 ) - 3 (y2 + 8 ) = 16 2 (x2 - 10x + 25 ) - 3 ( y2 + 8y + 16 ) = 16 + 50 - 48 2 ( x - 5 )2 - 3 (y + 4 )2 = 18

; ; ; h = 5 , k = - 4 , a = 3 , b = 6 , c = 15 C ( h , k) C (5, -4) เทียบ h = 5 , k = - 4 , a = 3 , b = 6 , c = 15 จะได้ C ( h , k) C (5, -4) V ( h+a , k ) V ( 8 ,-4 ) ; V’ ( h-a , k ) V’ ( 2 ,-4 ) F ( h+c , k ) F ( 5+ 15 , - 4 ) ; F’( h-c , k ) F’ ( 5- 15 , -4 ) B ( h , k+b ) B ( 5 , - 4 + 6 ) ; B’( h , k-b ) B’ ( 5 , -4- 6 )

(h , k) จงหาสมการไฮเพอร์โบลาที่มีจุดศูนย์กลางที่ (4 , -5) โฟกัสจุดหนึ่งอยู่ที่ (4 , -2) แกนตามขวางยาว 4 หน่วย = 2a a = 2 วิธีทำ ได้ไฮเพอร์โบลาตั้ง สมการมาตรฐานคือ b2 = c2 - a2 = 9 - 4 = 5 แทนค่า h , k , a , b ในสมการจะได้ F (4,-2) c = -2-(-5) = 3 C (4,-5) หรือ 5y2 - 4y2 + 32x + 50y + 41 = 0 F’ (4, -8)

จงหาสมการพาราโบลา ซึ่งมีจุดยอดจุดหนึ่งอยู่ที่ (3 , 3) โฟกัสจุดหนึ่งอยู่ที่ (-4 ,3) และจุดศูนย์กลางอยู่บนแกน Y จะได้ ไฮเพอร์โบลานอน สมการมาตรฐานคือ c C(0,3) a F’(-4,3) V(3,3) จะได้ h = 0 , k = 3 , a = 3 , c = 4 b2 = c2 - a2 = 16 - 9 = 7 O แทนค่าในสมการจะได้ หรือ 7x2 - 9y2 + 54y - 144 = 0