อินทิกรัลตามเส้น เป็นการหาปริพันธ์ของฟังก์ชันบน [a,b] จะศึกษาเรื่อง เป็นการหาปริพันธ์ของฟังก์ชันไปตามเส้นโค้ง C อินทิกรัลตามเส้นโค้ง
การหาค่าอินทิกรัลตามเส้น (4,0) (0,4) จงหาค่าอินทิกรัลตามเส้นของ ไปตามเส้นโค้ง C ดังรูป วิธีทำ ให้เปลี่ยนค่าอินทิกรัลตามเส้นให้อยู่ในรูปการหาปริพันธ์แบบจำกัดเขต
การหาค่าอินทิกรัลตามเส้น 1) หาสมการพาราเมทริกซ์ของเส้นโค้ง C : 2) กำหนดให้ 3) แทนค่า x และ y ด้วย f(t) และ g(t)
หลักการในการหาค่าอินทิกรัลตามเส้น 1. แบ่ง [a,b] ออกเป็นหลายๆช่วง 2. พิจารณา [ti-1,ti] 3. กำหนดให้ xi=x(ti) , yi=y(ti) 4. จะได้ว่า Pi(xi, yi) แบ่งเส้นโค้ง C ออกเป็น n ส่วนโค้งที่แต่ละอันมีความกว้าง ∆s1, ∆s2, …, ∆sn.
หลักการในการหาค่าอินทิกรัลตามเส้น 5. เลือกจุด Pi*(xi*, yi*) ในส่วน โค้งที่ i ซึ่งสอดคล้องกับจุด ti* ใน [ti-1, ti]
หลักการในการหาค่าอินทิกรัลตามเส้น 6. คำนวณค่าฟังก์ชัน f ที่จุด (xi*, yi*) 7. จากนั้นคูณด้วยความยาวส่วนโค้ง ∆si 8. นำผลรวม ของทุกชิ้น มารวมกัน(คล้ายกับผลรวมรีมันน์) 9. เทคลิมิตของผลรวม จะได้ผลลัพธ์เป็นการหา ค่าอินทิกรัลตามปกติ
หลักการในการหาค่าอินทิกรัลตามเส้น เนื่องจากความยาวของเส้นโค้ง C หาได้จาก ดังนั้นจะได้ว่า
ตัวอย่าง จงหาค่าของ เมื่อ C คือครึ่งบนของวงกลม x2 + y2 = 1
วิธีทำ เนื่องจากเส้นโค้ง C เป็นสมการวงกลมรัศมี 1 หน่วย กำหนดให้ x = cost และ y = sint จะได้ว่า และ
วิธีทำ (ต่อ) นั่นคือ
วิธีทำ (ต่อ)
ตัวอย่าง จงหาค่าของ เมื่อ C คือส่วนโค้งที่ประกอบด้วย C1 : y = x2 จากจุด (0,0) ไปยัง (1,1) และ C2 : เส้นตรงจากจุด (1,1) ไปยัง (1,2) ดังรูป
วิธีทำ เนื่องจากเส้นโค้ง C1 เป็นสมการพาราโบลา กำหนดให้ x = t และ y = t2 จะได้ว่า และ
วิธีทำ นั่นคือ
วิธีทำ เนื่องจากเส้นโค้ง C2 เป็นสมการเส้นตรง กำหนดให้ x = 1 และ y = t จะได้ว่า และ
วิธีทำ นั่นคือ
การกำหนดสัญลักษณ์ หรือ
ตัวอย่าง จงหาค่าของ ไปตามเส้นโค้ง C ระหว่างจุด (-1,2) และ (2,5) 2) 1) (2,2) (2,5) (-1,2) (2,0) (2,5) (-1,0)
ตัวอย่าง (2,8) (-1,-1) จงหาค่าของ เมื่อกำหนดเส้นโค้ง C คือ
ตัวอย่าง จงหาค่าของ (4,0) (0,4) ไปตามเส้นโค้ง C ดังรูป
พิจารณาเส้นโค้ง C คือเส้นโค้งที่กำหนดโดย C is smooth C is piecewise smooth
พิจารณาเส้นโค้ง C คือเส้นโค้งที่กำหนดโดย C เป็นเส้นโค้งปิด ไม่มีเส้นตัดกันภายใน
ตัวอย่าง จงหาค่าของ เมื่อ C คือเส้นโค้งที่กำหนดดังรูป
ซึ่งการหาค่าอินทิกรัลตามเส้น หาก C เป็นเส้นโค้งปิดอย่างง่ายสามารถใช้ทฤษฎีบทที่สำคัญในการหาค่าอินทิกรัลได้เรียกว่า ทฤษฏีบทของกรีน (Green Theorem) จะเรียนในคาบต่อไป