สัญญาณและระบบ (SIGNALS AND SYSTEMS) บทที่ 12 สัญญาณและระบบไม่ต่อเนื่องในแกนเวลา 01040311 สัญญาณและระบบ

การนำเสนอสัญญาณและระบบไม่ต่อเนื่องในแกนเวลา นำเสนอด้วยลำดับ(sequence)ของตัวเลข กรณีสัญญาณอนาลอก xa ถูกสุ่มสม่ำเสมอด้วยคาบเวลา Ts nth sample เรียก Ts คาบเวลาของการสุ่ม (sampling period) 01040311 สัญญาณและระบบ

การนำเสนอสัญญาณและระบบไม่ต่อเนื่องในแกนเวลา X[0] X[1] X[2] X[3] X[4] X[5] X[-1] X[-2] X[-3] X[-4] 1 2 3 4 5 -1 -2 -3 -4 X[n] n 5 6 4 1 x[n]={2, 3, 1, 0, 6, 5, 9, 3} ลูกศรแสดงค่าของลำดับที่ n = 0 01040311 สัญญาณและระบบ

การดำเนินการกับลำดับ x[n] และ y[n] เป็นลำดับของตัวเลขสองลำดับ ผลคูณและบวก ของสองลำดับได้จากการคูณและบวกตัวเลขของสองลำดับแซมเปิลต่อแซมเปิล ผลคูณลำดับด้วยเลข  ใด ๆ ได้จากการคูณทุกแซมเปิลของลำดับ 01040311 สัญญาณและระบบ

การดำเนินการกับลำดับ y[n] เป็นลำดับที่เกิดจากการเลื่อนของ x[n] y[n] = x[n-n0] หรือ y[n] = x[n+n0] 01040311 สัญญาณและระบบ

ลำดับพื้นฐาน • ลำดับสุ่มหนึ่งหน่วย(Unit sample sequence) 1 • อิมพัลส์หนึ่งหน่วย(Unit impulse) 01040311 สัญญาณและระบบ

ลำดับสุ่มหนึ่งหน่วย(Unit sample sequence) จากนิยามและลักษณะสามารถเขียนลำดับใด ๆ ในเทอมของผลบวกของขนาดถ่วงน้ำหนักและเลื่อนในแกนเวลาของอิมพัลส์หนึ่งหน่วย n 01040311 สัญญาณและระบบ

ลำดับสุ่มหนึ่งหน่วย(Unit sample sequence) ทฤษฏี sifting n 1 k…. -1 x[n] x[k] 01040311 สัญญาณและระบบ

ลำดับขั้นบันไดหนึ่งหน่วย (Unit Step Sequence) 1 n หรือ First backward difference 01040311 สัญญาณและระบบ

ลำดับขั้นบันไดหนึ่งหน่วย (Unit Step Sequence) ลำดับขั้นบันไดหนึ่งหน่วย ใช้ในระบุการเริ่มต้นของสัญญาณ เช่น เช่นเขียนได้เป็น 01040311 สัญญาณและระบบ

ลำดับแรมป์หนึ่งหน่วย (Unit Ramp Sequence) ถ้าลำดับแรมป์หนึ่งหน่วยเกิดจากการสุ่มสัญญาณแรมป์หนึ่งหน่วย r(n) r(n) 4 4T 3 3T 2 2T 1 T -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 n -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 n 01040311 สัญญาณและระบบ

ลำดับเอ็กโปเนนเชียล ซายน์ และ โคซานย์ A และ  เป็นจำนวนเชิงซ้อน เป็นพื้นฐานของลำดับพื้นฐานอื่นขึ้นอยู่กับลักษณะของ A และ  01040311 สัญญาณและระบบ

ลำดับเอ็กโปเนนเชียลจำนวนจริง ถ้า A และ  เป็นจำนวนจริง x[n] เป็นลำดับลำดับเอ็กโปเนนเชียล จำนวนจริง n 01040311 สัญญาณและระบบ

ลำดับเอ็กโปเนนเชียลจำนวนจริง -1<  < 0 และ A เป็นจำนวนจริงบวกลำดับ x[n] เป็นบวกและลดขนาดเมื่อ n เพิ่ม n n І  І > 1 ลำดับ x[n] เพิ่มขนาดเมื่อ n เพิ่ม 01040311 สัญญาณและระบบ

 = 0 และ A เป็นจำนวนจริงบวกลำดับ x[n] เป็น Aทุกค่า n ลำดับจำนวนจริงคงที่  = 0 และ A เป็นจำนวนจริงบวกลำดับ x[n] เป็น Aทุกค่า n n A 01040311 สัญญาณและระบบ

ลำดับเอ็กโปเนนเชียลเชิงซ้อน 3 กรณี  เป็นส่วนจินตภาพของจำนวนเชิงซ้อน -j0แ ละ A เป็นจำนวนจริงบวกลำดับ  เป็นส่วนจินตภาพของจำนวนเชิงซ้อน j0แ ละ A เป็นจำนวนจริงบวกลำดับ ถ้า A และ  เป็นจำนวนเชิงซ้อน ส่วนจริงและจินตภาพของ x[n] เป็นลำดับรูปซายน์ที่ถ่วงน้ำหนักด้วยค่าเอ็กโปเนนเชียล 01040311 สัญญาณและระบบ

ลำดับเอ็กโปเนนเชียลเชิงซ้อน  เป็นส่วนจินตภาพของจำนวนเชิงซ้อน -j0แ ละ A เป็นจำนวนจริงบวกลำดับ  เป็นส่วนจินตภาพของจำนวนเชิงซ้อน j0แ ละ A เป็นจำนวนจริงบวกลำดับ 01040311 สัญญาณและระบบ

ลำดับลำดับโคซายน์และซายน์ ลำดับลำดับโคซายน์และซายน์จำนวนจริงสร้างได้จากลำดับเอ็กโปเนนเชียลเชิงซ้อน 01040311 สัญญาณและระบบ

ลำดับเอ็กโปเนนเชียลเชิงซ้อนกรณีเป็นคาบ ถ้า x[n] เป็นคาบซ้ำทุกค่าของ N นั่นคือ ซึ่งเป็นจริงได้ถ้า เป็นจำนวนเท่าของ 2 ถ้า m เป็นเลขจำนวนเต็มใด ๆ หรือ x[n] เป็นคาบถ้า 0/2 เป็นจำนวนตรรกยะ 01040311 สัญญาณและระบบ

ลำดับเอ็กโปเนนเชียลเชิงซ้อน ตัวอย่างลำดับเอ็กโปเนนเชียลเชิงซ้อน 01040311 สัญญาณและระบบ

ลำดับเอ็กโปเนนเชียลเชิงซ้อน ถ้า A และ  เป็นจำนวนเชิงซ้อนส่วนจริงและจินตภาพของ x[n] เป็นลำดับรูปซายน์ที่ถ่วงน้ำหนักด้วยค่าเอ็กโปเนนเชียล 01040311 สัญญาณและระบบ

ลำดับเอ็กโปเนนเชียลเชิงซ้อน ถ้า І  І > 1 ส่วนจริงและจินตภาพของ x[n] เป็นลำดับรูปซายน์เพิ่มขนาดอย่างเอ็กโปเนนเชียล ถ้า І  І < 1 ส่วนจริงและจินตภาพของ x[n] เป็นลำดับรูปซายน์ลดขนาดอย่างเอ็กโปเนนเชียล 01040311 สัญญาณและระบบ

ลำดับเอ็กโปเนนเชียลเชิงซ้อน ถ้า І  І = 1 x[n] เป็นลำดับเอ็กโปเนนเชียลเชิงซ้อน 01040311 สัญญาณและระบบ

ซายน์และโคซายน์ฟังก์ชัน 01040311 สัญญาณและระบบ

ลำดับซายน์และโคซายน์กรณีถูกสุ่ม ถ้า t = nTs เป็นเวลาที่แซมเปิลใด ๆ เมื่อสัญญาณถูกสุ่มด้วยคาบ Ts ความถี่ในการสุ่ม fs = 1/Ts สัญญาณหลังการสุ่ม กรณีโคซายน์ 01040311 สัญญาณและระบบ

ลำดับซายน์และโคซายน์กรณีถูกสุ่ม จากEuler’s Identity สเปคตรัมสัญญาณหลังการสุ่ม base band -s -s/2 s/2 s -(s+ 0) -(s- 0) 0 s- 0 s+ 0 -0 01040311 สัญญาณและระบบ

ลำดับซายน์และโคซายน์กรณีถูกสุ่ม ข้อแตกต่างจากกรณีของเวลาต่อเนื่อง ถ้าสัญญาณมีคาบ r ค่าของลำดับแตกต่างกันเฉพาะในช่วง - < 0 <  (ซองของสัญญาณถูกสุ่มมีคาบ r) q เป็นเลขจำนวนเต็ม ค่าของลำดับจะซ้ำทุกค่าเมื่อ 0 = 2q/r 01040311 สัญญาณและระบบ

ลำดับซายน์และโคซายน์กรณีถูกสุ่ม (ตัวอย่าง) 0.5 1.0 -0.5 -1 x[n] n -5 0.5 1.0 -0.5 -1 x[n] n -5 01040311 สัญญาณและระบบ

ลำดับซายน์และโคซายน์กรณีถูกสุ่ม ลำดับอาจจะเป็นคาบหรือไม่เป็นคาบ(แต่ซองยังคงเป็นคาบ) x[n] n x[n] n 01040311 สัญญาณและระบบ

ลำดับซายน์และโคซายน์กรณีถูกสุ่ม ข้อแตกต่างจากกรณีของเวลาต่อเนื่อง หน่วยของ 0 เป็น เรเดียน/ช่วงการสุ่ม แต่เนื่องจากช่วงการสุ่มไม่มีหน่วยจึงอนุโลมหน่วยเป็นเรเดียน ลำดับอาจจะเป็นคาบหรือไม่เป็นคาบ(แต่ซองยังคงเป็นคาบ) 01040311 สัญญาณและระบบ

ลำดับซายน์และโคซายน์กรณีถูกสุ่ม ข้อแตกต่างจากกรณีของเวลาต่อเนื่องด้านความเป็นคาบ N เป็นคาบเวลาเลขจำนวนเต็ม นั่นคือ 0 N= 2m m เป็นเลขจำนวนเต็ม เช่นเดียวกับ 01040311 สัญญาณและระบบ

ลำดับซายน์และโคซายน์กรณีถูกสุ่ม ทำนองเดียวกับเอ็กโปเนนเชียลเชิงซ้อนลำดับซายน์ไม่จำต้องเป็นคาบที่ 2/ 0แต่ขึ้นอยู่กับ 0 ซึ่งเป็นอัตราส่วนของ 2 นั่นคือ 0= 2m/ N= m 01040311 สัญญาณและระบบ

ลำดับโคซายน์ที่ค่า 0 ค่าต่าง ๆ 0 = 0 0 = 2 n 0 = /8 0 = 15/8 01040311 สัญญาณและระบบ

ลำดับโคซายน์ที่ค่า 0 ค่าต่าง ๆ 0 = /4 0 = 7/4 0 =  01040311 สัญญาณและระบบ

ลำดับซายน์และโคซายน์กรณีถูกสุ่ม สัญญาณซายน์และโคซายน์ความถี่ต่างกันอาจให้ค่าลำดับหมือนกัน 01040311 สัญญาณและระบบ

การดำเนินการกับลำดับ การบวก/ลบ ระหว่างลำดับ การเลื่อน การคูณ (มอดูเลชัน) correlation/convolution 01040311 สัญญาณและระบบ

สเปคตรัมของลำดับ ลำดับ x[nTs] อาจจะเป็นคาบหรือไม่ก็ได้ กรณีลำดับเกิดจากการสุ่ม ลำดับ x[nTs] อาจจะเป็นคาบหรือไม่ก็ได้ กรณีลำดับเกิดจากการสุ่มสามารถแสดงสเปคตรัมได้สองวิธี ใช้สเปคตรัมของสัญญาณก่อนการสุ่มและทฤฏีการสุ่ม ใช้วิธีฟูเรียร์กับลำดับโดยตรง Discrete Time Fourier Series Discrete Time Fourier Transform Discrete Fourier Transform 01040311 สัญญาณและระบบ

สเปคตรัมจากทฤฏีการสุ่ม x(t) X()  t  x(nTs) X(ejTs)   n 01040311 สัญญาณและระบบ

วิธีฟูเรียร์กับลำดับ Discrete Time Fourier Series (DTFS) Discrete Time Fourier Transform (DTFT) Discrete Fourier Transform (DFT) 01040311 สัญญาณและระบบ

Discrete Time Fourier Series ใช้กับสัญญาณเต็มหน่วยซึ่งเป็นคาบ xN[n] xN[n] 1.0 1.0 0.5 5 10 5 n -5 n -0.5 -1 -1 01040311 สัญญาณและระบบ

Discrete Time Fourier Series ใช้กับสัญญาณเต็มหน่วยยาว 0 ถึง N-1หน่วย 01040311 สัญญาณและระบบ

ตัวอย่าง จงหาสัมประสิทธิ์ฟูรียร์ของสัญญาณในรูป ซึ่ง N = 6 N = 6 x[n] 1.0 -5 5 n N = 6 k = 0 ถึง 5 01040311 สัญญาณและระบบ

การแปลงฟูเรียร์ของลำดับที่เกิดจากการสุ่ม ที่มาคล้ายการแปลงฟูเรียร์ในโดเมนต่อเนื่องในแกนเวลาเมื่อ N  ให้ Ck เป็นฟังก์ชันของ k โดย  = 2/N และ / N , หรือ 01040311 สัญญาณและระบบ

การแปลงฟูเรียร์ของลำดับที่เกิดจากการสุ่ม เมื่อ N  , k , xN[n]  x[n] (aperiodic sequence) จากฟังก์ชัน Ck การแปลงกลับ N ,=k หรือ 01040311 สัญญาณและระบบ

การแปลงฟูเรียร์ของลำดับที่เกิดจากการสุ่ม นิยาม: การแปลงฟูเรียร์ X(ejTs) ของลำดับ x[nTs] Absolute Summability เงื่อนไขพอเพียง หรือ Square Summability 01040311 สัญญาณและระบบ

ลักษณะสมบัติของการแปลงฟูเรียร์ของลำดับ Linearlity Time shift Frequency shift Convolution Modulation Periodic signal x[n]มีคาบN 01040311 สัญญาณและระบบ

ลักษณะสมบัติของการแปลงฟูเรียร์ของลำดับ Periodicity =1 01040311 สัญญาณและระบบ

การแปลงฟูเรียร์ของลำดับ ตัวอย่าง: จงหาการแปลงฟูเรียร์ของลำดับ h[n] ต่อไปนี้ จาก 01040311 สัญญาณและระบบ

ตัวอย่างการแปลงฟูเรียร์ของลำดับ จาก 01040311 สัญญาณและระบบ

ตัวอย่างการแปลงฟูเรียร์ของลำดับ ตัวอย่าง: จงหาการแปลงฟูเรียร์ของลำดับ f[nTs] ต่อไปนี้ n 1 f(nTs) Ts จาก อนุกรมเรขาคณิต 01040311 สัญญาณและระบบ

ประยุกต์การแปลงฟูเรียร์ของลำดับ พลังงานของลำดับ Energy spectrum density x() 01040311 สัญญาณและระบบ

ประยุกต์การแปลงฟูเรียร์ของลำดับ Convolution sum ของลำดับ 01040311 สัญญาณและระบบ

Discrete Fourier Transform (DFT) ปัญหาการใช้ Discrete Time Fourier Transform (DTFT) การแปลงต้องบวกจนถึงอนันต์ ผลการแปลงเป็นฟังชันต่อเนื่อง ทำให้การแปลงกลับเป็นเชิงเลขยุ่งยาก DTFT 01040311 สัญญาณและระบบ

Discrete Fourier Transform (DFT) ใช้ Discrete Time Fourier Transform (DTFT) สุ่ม X(ej) ด้วยช่วง 2/ แปลงกลับฟังชันซึ่งถูกสุ่มช่วง 0 ถึง 2, N-1 ค่า ทำให้ได้ x[n] ซ้ำเป็นคาบคืนมา DFT k = harmonic index IDFT 01040311 สัญญาณและระบบ

Discrete Fourier Transform (DFT) X () x[n] DTFT  n 2 x (k) sampling 2/N k = harmonic index xN[n] N-1 k IDTFT 01040311 สัญญาณและระบบ n

Discrete Fourier Transform (DFT) x[n] n 2 1     01040311 สัญญาณและระบบ

ลักษณะสมบัติของ DFT Linearlity Data shift Modulation Circular Convolution Paseval 01040311 สัญญาณและระบบ

Parameters ของ DFT Parameters Notation Sample size N samples Ts second Sample period Record length T=NTs second No. of Harmonics N harmonics N/2 harmonics No. of Positive (Neg.) Harmonics Frequency space between Harmonics f=1/T=1/NTs= fo/N Hz. 01040311 สัญญาณและระบบ

Parameters ของ DFT Parameters Notation DFT Fre. One sided Baseband Range f[0, fs/2]Hz DFT Fre. Two sided Baseband Range f[-fs/2, fs/2]Hz Frequency of the kth Harmonics kfs/N Hz. 01040311 สัญญาณและระบบ

ระบบไม่ต่อเนื่องในแกนเวลา (ระบบเต็มหน่วย) แทนด้วยตัวดำเนินการหรือการแปลงในการส่ง(mappimg) ลำดับอินพุท x[n] ไปเป็นลำดับเอาท์พุท y[n] x[n] y[n] ตัวอย่าง ระบบหน่วงเวลาในอุดมคติ T{.} 01040311 สัญญาณและระบบ

ระบบไม่ต่อเนื่องในแกนเวลา ตัวอย่าง Moving average ตัวอย่าง 3 samples average 01040311 สัญญาณและระบบ

ชนิดของระบบไม่ต่อเนื่องในแกนเวลา ระบบไม่มีหน่วยความจำ ระบบที่เอาท์พุท y[n] ทุกค่าของ ขึ้นอยู่กับเฉพาะ ค่าของอินพุท x[n] ที่ค่า n เดียวกัน ตัวอย่าง 01040311 สัญญาณและระบบ

ชนิดของระบบไม่ต่อเนื่องในแกนเวลา ระบบเชิงเส้น ระบบที่เป็นไปตามหลัก superposition ถ้า y1[n] เป็นผลตอบสนอง x1[n] และ y2[n] เป็นผลตอบสนอง x2[n] ระบบเป็นเชิงเส้น ถ้า.. additivity Scaling 01040311 สัญญาณและระบบ

ชนิดของระบบไม่ต่อเนื่องในแกนเวลา ระบบเชิงเส้น ระบบที่เป็นไปตามผลรวมหลักทั้งสองเรียกว่าเป็นไปตามหลัก superposition กรณีทั่วไป 01040311 สัญญาณและระบบ

ชนิดของระบบไม่ต่อเนื่องในแกนเวลา ตัวอย่าง Accumulator 01040311 สัญญาณและระบบ

ชนิดของระบบไม่ต่อเนื่องในแกนเวลา ระบบไม่แปรตามเวลา ระบบที่เมื่ออินพุทเลื่อนในแกนเวลาแล้วเอาท์พุทเลื่อนไปในปริมาณเท่ากัน x[n] y[n] T{.} Shift invarient /Time invarient 01040311 สัญญาณและระบบ

ระบบแปรตามเวลา ตัวอย่าง Compressor ถ้า 01040311 สัญญาณและระบบ

ชนิดของระบบไม่ต่อเนื่องในแกนเวลา ระบบ causal ระบบซึ่งเมื่ออินพุทที่เวลาใดเอาท์พุทตัวที่ n = n0 จะขึ้นอยู่กับเฉพาะอินพุทตัวที่ n  n0 นั่นคือ ถ้า แล้ว นั่นคือ ระบบมีเอาท์พุตได้ก็ต่อเมื่อมีอินพุทเท่านั้น ระบบ Anti causal ระบบที่เมื่ออินพุทที่เวลา เอาท์พุทตัวที่ n = n0 จะขึ้นอยู่กับเฉพาะอินพุทตัวที่ n  n0 นั่นคือ 01040311 สัญญาณและระบบ

ระบบ non causal ระบบ causal & ระบบ Anti causal f ( t ) 1 ) = u 2 - 01040311 สัญญาณและระบบ

ชนิดของระบบไม่ต่อเนื่องในแกนเวลา ตัวอย่าง forward difference Non causal ตัวอย่าง backward difference causal 01040311 สัญญาณและระบบ

Stability criterion ของ DLTI Bounded sequence Bounded input Bounded output (BIBO) Principle *ดูหัวข้อการแปลงซี 01040311 สัญญาณและระบบ

Stability ของ DLTI ตัวอย่าง ระบบสองระบบ Unit sample response n x[n] y1[n-1] y1[n] y2[n-1] y2[n] 1 0.0000 1.0000 1 2 1 1.0000 0.5000 1 2 0.5000 0.2500 2 4 3 0.2500 0.1250 4 8 0.0625 0.1250 16 4 8 01040311 สัญญาณและระบบ

การนำเสนอระบบ DLTI Operational System Functions State variables 3 แบบ สมการผลต่าง (difference equation) และแผนภูมิ หรือ Signal flow graph Operational System Functions โดเมนเวลา โดเมนความถี่ State variables 01040311 สัญญาณและระบบ

การนำเสนอระบบ DLTI สมการผลต่าง (difference equation) ของ DLTI มีรูปแบบทั่วไป หรือ 01040311 สัญญาณและระบบ

สมการผลต่างของ DLTI เอาท์พุทในเวลาปัจจุบันเท่ากับผลบวกถ่วงน้ำหนักของอินพุทที่เวลาปัจจุบันและ ณ.เวลาขณะใดที่ผ่านมาและเอาท์พุท ณ. เวลาขณะใดที่ผ่านมา สมการที่มี ส.ป.ส bnเป็น 0 ยกเว้น b0 เรียกสมการ non recursive มิฉนั้นเรียกสมการ recursive 01040311 สัญญาณและระบบ

ตัวอย่างสมการผลต่างของ DLTI Recursive DLTI 01040311 สัญญาณและระบบ

Stability ของ DLTI ตัวอย่าง ระบบสองระบบ Unit sample response n x[n] y1[n-1] y1[n] y2[n-1] y2[n] 1 0.0000 1.0000 1 2 1 1.0000 0.5000 1 2 0.5000 0.2500 2 4 3 0.2500 0.1250 4 8 0.0625 0.1250 16 4 8 01040311 สัญญาณและระบบ

สมการผลต่างของ DLTIจากสมการเชิงอนุพันธ์ ตัวอย่าง: วงจร RC ผ่านความถี่ต่ำ อินพุทเป็นสัญญาณขั้นบันใด E หน่วย สมการเชิงอนุพันธ์ มีคำตอบเป็น สมมุติให้สุ่มสัญญาณด้วยคาบ Tแทนอนุพันธ์ด้วย backward difference และให้ RC =  01040311 สัญญาณและระบบ

การประมาณสโลปของสัญญาณ vo(t) vo(t) T (n-1)T (n)T t 01040311 สัญญาณและระบบ

สมการผลต่างของ DLTIจากสมการเชิงอนุพันธ์ จัดเทอมใหม่ ให้ Recursive term 01040311 สัญญาณและระบบ

ประมาณผลเฉลย ด้วย วิธี recursive หรือ Iterative Ts=0.1 n vi[n] vo[n-1] vo[n] 0 10.0 0.0000 0.9091 1 10.0 0.9091 1.7355 2 10.0 1.7355 2.4869 3 10.0 2.4869 3.7355 4 10.0 3.7355 3.7908 5 10.0 3.7908 4.3552 =1.0 01040311 สัญญาณและระบบ

เปรียบเทียบผลตามขนาดช่วงการสุ่ม t vo(t) T=0.1 T=0.25 T=0.01 0 0.0000 0.9091 2.0000 0.0990 0.5 3.9347 4.3553 4.8800 3.9798 1.0 6.3212 6.4951 6.7232 6.3395 1.5 7.7687 7.8237 7.9028 7.7743 2.0 8.6465 8.6487 8.6578 8.6467 3.0 9.5021 9.4790 9.4502 9.4997 4.0 9.8168 9.7991 9.7748 9.8150 5.0 9.9326 9.9226 9.9048 9.9316 01040311 สัญญาณและระบบ

การนำเสนอระบบ DLTI ด้วยแผนภูมิ x[n] y[n] + x[n]+ y[n] - + x[n] - y[n] x[n] y[n] ตัวดำเนินการบวก ลบ a หน่วงเวลา k แซมเปิล ตัวคูณทางขนาด a 01040311 สัญญาณและระบบ

Delay Theorem m x[n] mx[n-k] 01040311 สัญญาณและระบบ

สมการผลต่างของ DLTI เอาท์พุทในเวลาปัจจุบันเท่ากับผลบวกถ่วงน้ำหนักของอินพุทที่เวลาปัจจุบันและ ณ. เวลาขณะใดที่ผ่านมาและเอาท์พุท ณ. เวลาขณะใดที่ผ่านมา สมการที่มี ส.ป.ส bnเป็น 0 ยกเว้น b0 เรียกสมการ non recursive มิฉนั้นเรียกสมการ recursive 01040311 สัญญาณและระบบ

บล็อกไดอะแกรมของ Non-recursive terms x[n-1] x[n-2] x[n-m+1] x[n-m] x[n] a1 a2 am-1 am u[n] a0 + + + + โดย 01040311 สัญญาณและระบบ

บล็อกไดอะแกรมของ Recursive term y[n] u[n] + + + + - - - - bk-1 b2 bk b1 y[n-k] y[n-k+1] y[n-2] y[n-1] 01040311 สัญญาณและระบบ

บล็อกไดอะแกรมของของสมการผลต่างทั่วไป + u[n] y[n-1] y[n-2] y[n] y[n-k] bk b2 bk-1 - x[n] b1 am-1 am a0 a1 a2 x[n-1] x[n-2] x[n-m+1] x[n-m] y[n-k+1] Direct form I 01040311 สัญญาณและระบบ

บล็อกไดอะแกรมของของสมการผลต่างทั่วไป Monolithic form y[n] x[n] W[n] - + a0 + W[n-1] a1 + b1 + b2 + a2 W[n-2] + + bk-1 W[n-k+1] am-1 + am bk W[n-k] Direct form II 01040311 สัญญาณและระบบ

บล็อกไดอะแกรมของของสมการผลต่างทั่วไป y[n] x[n] W[n] - + a0 + Monolithic form a1 + b1 + หรือ b2 + a2 Direct form II + + bk-1 am-1 + bk am 01040311 สัญญาณและระบบ

ตัวอย่างระบบ DLTI 1/2 1/4 y[n] = x[n]+1/2 x[n-1]+1/4x[n-2] y[n] x[n] + 01040311 สัญญาณและระบบ

Signal Flow Graph ใช้นำเสนอระบบ LTI ประกอบด้วย nodes และ branches Node value 01040311 สัญญาณและระบบ

Signal Flow Graph เขียนความสัมพันธ์ในรูปสมการเชิงเส้นได้ d 01040311 สัญญาณและระบบ

ตัวอย่าง ดิจิตอลฟิลเตอร์อันดับหนึ่ง (direct form II) 01040311 สัญญาณและระบบ

Signal Flow Graph ตัวอย่าง ดิจิตอลฟิลเตอร์อันดับหนึ่ง 01040311 สัญญาณและระบบ

Signal Flow Graph ตัวอย่าง ดิจิตอลฟิลเตอร์อันดับหนึ่ง ลดรูปสมการได้ W4[n] ลดรูปสมการได้ 01040311 สัญญาณและระบบ

Operational System Functions ของ DLTI ผลตอบสนองอิมพัลส์ ผลตอบสนองขั้นบันไดหนึ่งหน่วย ผลตอบสนองความถี่ของระบบ 01040311 สัญญาณและระบบ

ผลตอบสนองอิมพัลส์ h[n] h[n] y[n] x[n] T{.} y[n] x[n] [n] T{.} 01040311 สัญญาณและระบบ

ผลตอบสนองอิมพัลส์ ระบบที่มีสมบัติทั้งทางเชิงเส้นและไม่แปรตามเวลา ใช้ผลการตอบสนองอิมพัลส์ hk[n] กำหนดลักษณะ จากหลัก superposition Convolution sum 01040311 สัญญาณและระบบ

Stability criterion ของ DLTI Bounded sequence Bounded input Bounded output (BIBO) Principle *ดูหัวข้อการแปลงซี 01040311 สัญญาณและระบบ

Stability criterion ของ DLTI 01040311 สัญญาณและระบบ

Stability criterion ของ DLTI ตัวอย่าง : first order recursive filter อนุกรมเรขาคณิต 01040311 สัญญาณและระบบ

การหาผลตอบสนองอิมพัลส์ ตัวอย่าง ระบบDLTI ระบบมีอินพุทเป็นอิมพัลส์หนึ่งหน่วยแล้ว y[n]=h[n] หรือ โดยเมื่อเริ่มต้น h[-1] = h[-2] = h[-n] = 0 01040311 สัญญาณและระบบ

การหาผลตอบสนองอิมพัลส์ ใช้ วิธี recusive จากค่าเริ่มต้น h[0] เมื่อ n = 0 แล้ว เมื่อ n = 1 ซึ่งสามารถหาค่า h[2], h[3]….h[n] 01040311 สัญญาณและระบบ

การหาผลตอบสนองอิมพัลส์ หา closed-form ของ h[n] ระบบมี zero input response หรือ โดยเมื่อเริ่มต้น h[0] = 5, h[1] = 3 01040311 สัญญาณและระบบ

การหาผลตอบสนองอิมพัลส์ หา c1 และ c2 c1 = 1, c2 = 4 ดังนั้น 01040311 สัญญาณและระบบ

ผลตอบสนองขั้นบันไดหนึ่งหน่วย u[n] s[n] h[n] ระบบ causal 01040311 สัญญาณและระบบ

ผลตอบสนองขั้นบันไดหนึ่งหน่วย ตัวอย่าง:จงหาผลตอบสนองขั้นบันไดหนึ่งหน่วยของระบบ จาก ถ้า A=1 01040311 สัญญาณและระบบ

ผลตอบสนองขั้นบันไดหนึ่งหน่วย จาก ดังนั้น ถ้า Bn = h[n] 01040311 สัญญาณและระบบ

ผลตอบสนองขั้นบันไดหนึ่งหน่วย หรือ 01040311 สัญญาณและระบบ

ระบบซึ่งมีระบบย่อยแบบCascade y1[n] x[n] y[n] 01040311 สัญญาณและระบบ

ระบบซึ่งมีระบบย่อยแบบ Parallel + x[n] y[n] 01040311 สัญญาณและระบบ

System Functions ของ DLTI ในโดเมนความถี่ ejn ? T{.} ejn = complex exponential 01040311 สัญญาณและระบบ

ผลตอบสนองความถี่ของระบบ ejn H(ej) ejn T{.} Eigenvalue Eigenfunction H(ej) = ผลตอบสนองความถี่ของระบบ 01040311 สัญญาณและระบบ

ผลตอบสนองความถี่ของระบบ H(ej) เป็นฟังก์ชันเชิงซ้อน 01040311 สัญญาณและระบบ

ผลตอบสนองความถี่ของระบบ H(ej) มีค่าตามทุกค่าของ  ที่ต่อเนื่อง H(ej) เป็นคาบบนแกน  มีคาบเป็น 2 ІH(ej)І เป็นฟังก์ชันคู่ของ  มีและสมมาตรรอบ  Arg H(ej) เป็นฟังก์ชันคี่ของ  01040311 สัญญาณและระบบ

ผลตอบสนองความถี่ของระบบ ตัวอย่าง Ideal delay 01040311 สัญญาณและระบบ

ความสัมพันธ์ย้อนกลับผลตอบสนองความถี่ของระบบ 01040311 สัญญาณและระบบ

ผลตอบสนองความถี่ของระบบ ตัวอย่าง h[n] = anu[n], a < 1 อนุกรมเรขาคณิต 01040311 สัญญาณและระบบ

ความสัมพันธ์ย้อนกลับผลตอบสนองความถี่ของระบบ ตัวอย่าง Ideal Low Pass Filter +c -c  1 01040311 สัญญาณและระบบ

การแบ่งระบบ DLTI ตามลักษณะการตอบสนอง ถ้าผลการตอบสนองของ unit impulse มีช่วงเวลาจำกัดเรียกระบบนี้ว่า ระบบ Finite Impulse Response (FIR) structure ถ้าผลการตอบสนองของ unit impulse มีช่วงเวลาไม่จำกัดเรียกระบบนี้ว่า ระบบ Infinite Impulse Response (IIR) structure 01040311 สัญญาณและระบบ

ระบบ Finite Impulse Response (FIR) รูปแบบทั่วไปของสมการผลต่างของระบบ CausalDLTI ระบบเป็น Finite Impulse Response (FIR) system ถ้า ไม่แล้วระบบเป็น Infinite Impulse Response (IIR)หรือ Infinite Impulse Response (IIR) system 01040311 สัญญาณและระบบ

System ? u[n] y[n-1] y[n-2] y[n] y[n-k] bk b2 bk-1 x[n] b1 x[n-1] + u[n] y[n-1] y[n-2] y[n] y[n-k] bk b2 bk-1 - x[n] b1 am-1 am a0 a1 a2 x[n-1] x[n-2] x[n-m+1] x[n-m] 01040311 สัญญาณและระบบ

System Solution (Response) แก้สมการผลต่างด้วย วิธี recursive หรือ Iterative แก้สมการผลต่าง ลักษณะเดียวกับสมการเชิงอนุพันธ์ การประสาน ใช้ การแปลง-ซี ใช้ Signal flow graph 01040311 สัญญาณและระบบ

บล็อกไดอะแกรมของของสมการผลต่างทั่วไป ตัวอย่าง: วงจร RC ผ่านความถี่ต่ำ สมการเชิงอนุพันธ์ มีผลตอบสนองอิมพัลส์เป็น vi(t) vo(t) h(t) 01040311 สัญญาณและระบบ

วงจร RC ผ่านความถี่ต่ำ สมการเชิงอนุพันธ์ Vi(t) Vo(t) Vi(t) + 1 + 1 Vo(t) + + -RC -RC 01040311 สัญญาณและระบบ

วงจร RC ผ่านความถี่ต่ำ สมการ Vi(s) Vi(t) + 1/RC + 1/RC + + -1 -1 Vo(s) Vo(t) 01040311 สัญญาณและระบบ

วงจร RC ผ่านความถี่ต่ำ ในรูปแบบสมการผลต่าง k2 + Vo[n] k1 Vi[n] 01040311 สัญญาณและระบบ

วงจร RC ผ่านความถี่ต่ำ ถ้า จัดเทอมใหม่ 01040311 สัญญาณและระบบ

วงจร RC ผ่านความถี่ต่ำ Vo[n] + + Vi[n] + + 01040311 สัญญาณและระบบ

สมการผลต่างของ DLTIจากสมการเชิงอนุพันธ์ ประมาณค่าอนุพันธ์อันดับ 2 ด้วยผลต่าง(difference) 01040311 สัญญาณและระบบ

แก้สมการผลต่างตามวิธีสมการเชิงอนุพันธ์ ตัวอย่าง จงหาผลตอบสนองรวมของระบบต่อไปนี้ มีเงื่อนไขเริ่มต้นต่อไปนี้ มีอินพุทเป็น 01040311 สัญญาณและระบบ

แก้สมการผลต่างตามวิธีสมการเชิงอนุพันธ์ วิธีทำ ผลตอบสนองรวม = ผลที่ไม่มีอินพุท+ผลเมื่อสถานะเป็นศูนย์ (Total response = zero input component+ zero state component) หรือ h[n]*x[n] Homogeneous solution เทียบ ส.ป.ส เขียนสมการในรูปโอเปอเรเตอร์ มีสมการช่วย( characteristic eq.) เป็น 01040311 สัญญาณและระบบ

แก้สมการผลต่างตามวิธีสมการเชิงอนุพันธ์ มีสมการช่วยมีรากเป็น 1= -0.2 และ 2= 0.8 zero input response = 01040311 สัญญาณและระบบ

แก้สมการผลต่างตามวิธีสมการเชิงอนุพันธ์ ผลตอบสนองรวมของระบบ มีเงื่อนไขเริ่มต้นต่อไปนี้ มีอินพุทเป็น และ zero state component) zero input component) 01040311 สัญญาณและระบบ

ผลรวมการประสานของระบบเชิงเส้นไม่แปรตามเวลา(DLTI) วิธีกราฟ h[n-k] hk[n]= h[n-k] hk[n]=h[n-k]= h[-(k-n)] x[n] Convolution sum y[n] 01040311 สัญญาณและระบบ

Convolution sum ตัวอย่าง Convolution sum และ 01040311 สัญญาณและระบบ

ตัวอย่าง Convolution sum h[n] x[n] n 1 n 1 2 y[n] x[n-k] n k n-3 n+1 1 2 n n-1 n-2 01040311 สัญญาณและระบบ

Convolution sum ตัวอย่าง จงหา Convolution sum อินพุท 01040311 สัญญาณและระบบ

Convolution sum ตัวอย่าง จงหา Convolution sum ของ กับอินพุท y[n] = h[n]*x[n] 01040311 สัญญาณและระบบ

Convolution sum จากสมบัติเชิงเส้น เนื่องจาก ดังนั้น 01040311 สัญญาณและระบบ

Convolution sum จาก ดังนั้น 01040311 สัญญาณและระบบ

Convolution sum จาก ดังนั้น 01040311 สัญญาณและระบบ

Convolution sum พิสูจน์ เนื่องจาก u(k) = 0 เมื่อ k< 0 และ u(n-k) = 0 เมื่อ k > n 01040311 สัญญาณและระบบ

Convolution sum จาก 01040311 สัญญาณและระบบ

สรุป สัญญาณและระบบในโดเมนเวลาไม่ต่อเนื่องแทนด้วยลำดับ ลำดับสัญญาณและระบบอาจจะได้จากการสุ่มจากฟังก์ชันของสัญญาณและระบบในโดเมนเวลาต่อเนื่อง ลำดับสัญญาณพื้นฐานอาจจะได้จากฟังก์ชันของสัญญาณในโดเมนเวลาไม่ต่อเนื่องโดยตรง 01040311 สัญญาณและระบบ

สรุป ลำดับสัญญาณพื้นฐานที่สำคัญได้แก่ลำดับลำดับเอ็กโปเนนเชียลเชิงซ้อน ลำดับซายน์และโคซายน์(ภายใต้ซองที่เป็นคาบ)จะเป็นคาบถ้า0/2 เป็นจำนวนตรรกยะ 01040311 สัญญาณและระบบ

สรุป การประมาณค่าสเปคตรัมของลำดับทำได้สองวิธี คือ ถ้าเป็นลำดับจากการถูกสุ่มสามารถประมาณได้จากสเปคตรัมของสัญญาณเดิมก่อนถูกสุ่ม ใช้วิธีฟูเรียร์สำหรับสัญญาณไม่ต่อเนื่องบนแกนเวลาDTFT DTFS DTFT DFT 01040311 สัญญาณและระบบ

สรุป ระบบในโดเมนเวลาไม่ต่อเนื่องเป็นการส่ง(mapping) ระบบ DLTI บรรยายลักษณะได้ด้วย สมการผลต่าง ฟังก์ชันดำเนินการ และบล็อกไดอะแกรมหรือ signal flow graph สมการผลต่าง สร้างได้จากสมการเชิงอนุพันธ์โดยการประมาณอนุพันธ์ด้วยผลต่างจำกัด ระบบในโดเมนเวลาไม่ต่อเนื่องมีทั้งแบบ recursive และ non recursive 01040311 สัญญาณและระบบ

สรุป ฟังก์ชันดำเนินการของ DLTI ได้แก่ผลตอบสนองอิมพัลส์หนึ่งหน่วย ผลตอบสนองความถี่ และผลตอบสนองขั้นบันไดหนึ่งหน่วย ผลตอบสนองความถี่สมารถหาได้จากการแปลงฟูเรียร์ของผลตอบสนองอิมพัลส์ เอาท์พุทของ Causal system ขึ้นอยู่กับค่าในปัจจุบันและ/หรือค่าในอดีตหรือ 01040311 สัญญาณและระบบ

สรุป ระบบDLTIมีทั้งแบบ FIR (recursive) และ IIR (non recursive) Stability criterion Bouded input Bounded output 01040311 สัญญาณและระบบ

แบบฝึกหัด 2. จงใช้ DTFT ประมาณสเปคตรัมของสัญญาณพร้อมกับวาดรูปในช่วง 1.จงเขียนฟังก์ชัน รูปคลื่น และ ประมาณสเปคตรัมของสัญญาณรูปซายน์ขนาด 1 หน่วย ความถี่1 เรเดียน/วินาทีมุมเฟสเลื่อน110 องศา ถูกสุ่มแบบสม่ำเสมอทุก ๆ 3 วินาที 2. จงใช้ DTFT ประมาณสเปคตรัมของสัญญาณพร้อมกับวาดรูปในช่วง กำหนดให้ Ts = 1 ก. ข. 01040311 สัญญาณและระบบ