ดาวน์โหลดงานนำเสนอ
งานนำเสนอกำลังจะดาวน์โหลด โปรดรอ
1
Mathematics for computing I
Lecture 5: Sets Basic definitions Set operations Venn diagrams Set identities 2006 Mathematics for computing I
2
Mathematics for computing I
5.1. Sets เป็นการรวมกลุ่มของสมาชิก (elements or members)ที่มีคุณสมบัติร่วมกัน เช่น เซตของโต๊ะในห้องเรียน universal set U คือ เซตที่รวมสมาชิกทั้งหมดที่พิจารณา ประกอบด้วยเซตต่างๆที่มีคุณสมบัติร่วมกัน สัญลักษณ์ : การเขียนเซ็ตแบบแจกแจงสมาชิก: S = a, b, c, d = b, c, a, d, d Note: 1. ถ้าสมาชิกซ้ำกัน ถือเป็นสมาชิกเพียงตัวเดียว 2. ลำดับของสมาชิกไม่สำคัญ A = {2,4,6} , B = {6,4,2} จะได้ว่า A = B 2006 Mathematics for computing I
3
Mathematics for computing I
5.1. Sets สัญลักษณ์ (continued): การเขียนเซ็ตโดยใช้ predicates ( a set builder notation ) กำหนดดังนี้ S = x P(x) } S contains all the elements from U which make the predicate P true. e.g. S = { x x is a president of the U.S. } read as “S is the set of all x such that x is a president of the United States.” Brace notation with ellipsis: S = , -3, -2, -1 negative integers. 2006 Mathematics for computing I
4
Mathematics for computing I
5.1. Sets Common Universal Sets R = เซ็ตของจำวนจริง(real numbers) N = เซ็ตของจำนวนธรรมชาติ = 0,1, 2, 3, , the counting numbers Z = เซ็ตของจำนวนเต็ม = , -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, Z+ เซ็ตของจำนวนเต็มบวก 2006 Mathematics for computing I
5
Mathematics for computing I
5.1. Sets การเป็นสมาชิกของเซ็ต สัญลักษณ์: x is a member of S หรือ x is an element of S: x S x is not an element of S: x S ตัวอย่าง: ให้ S เซ็ตของจำนวนเต็มจาก 1 ถึง 12. แล้ว 5 S แต่ 15 S 2006 Mathematics for computing I
6
Mathematics for computing I
5.2. Subsets เซ็ต A เป็นสับเซ็ต( subset) ของเซ็ต B ถ้า ทุกสมาชิกของเซต A เป็นสมาชิกของเซต B หรือ x [xA xB] สัญลักษณ์ : A B or B A ตัวอย่าง: กำหนด U = 1, 2, 3, , 11, 12 และ T = 1, 2, 3, 6 ดังนั้น T U. 2006 Mathematics for computing I
7
Mathematics for computing I
5.2. Subsets Some definitions: เซ็ตใดๆจะเป็นสับเซ็ตของตัวเองเสมอ ให้ A และ B เป็นเซตใด ๆ เรากล่าวว่า เซต A เท่ากับเซต B เขียนแทนด้วย A = B ก็ต่อเมื่อ สมาชิกของเซต A และ B เหมือนกันทุกตัว นั่นคือ A = B iff A B and B A ถ้า A B, แต่ A B เรากล่าวว่า A เป็น proper subset ของ B. สัญลักษณ์ : A B. ตัวอย่าง: ถ้า A = { 1, 2, 3 }, B = { 2, 3, 1 }, C = { 3 } ดังนั้น B = A, C A, C B. 2006 Mathematics for computing I
8
Mathematics for computing I
5.2. Subsets Some definitions: เซ็ตว่าง ( void set, the null set, or the empty set) คือ เซ็ตที่ไม่มีสมาชิก สัญลักษณ์ : . เป็นสับเซ็ตของเซ็ตใดๆ (Why? Hint: think about its def) เซตกำลัง( power set ) ของ A คือเซตที่มีสมาชิกทั้งหมดเป็นสับเซตของเซต A. สัญลักษณ์ : P(A). P({1})={,{1}} เซ็ตที่มีสมาชิก n สมาชิกจะมีสับเซ็ตทั้งหมด 2n สับเซ็ต 2006 Mathematics for computing I
9
Mathematics for computing I
5.2. Subsets Some definitions (continued): The cardinality of A is the number of (distinct) elements in A. สัญลักษณ์ : |A|. If the cardinality is a natural number (in N), then the set is called finite, else infinite. e.g. N (set of natural number) is infinite since |N| is not a natural number. จะได้ว่าถ้า |A| = n แล้ว |P(A)| = 2n. 2006 Mathematics for computing I
10
Mathematics for computing I
5.2. Subsets Some definitions (continued): ตัวอย่าง: ถ้า A = a, b จะได้ว่า The power set of A: P(A) = , a, b, a,b The cardinality of A: |A| = |a, b| = 2 |P(A)| = |P(a, b)| = 4 A , P(A) เป็นเซ็ตจำกัด 2006 Mathematics for computing I
11
Mathematics for computing I
5.3. Set Operations The intersection of A and B: คือเซ็ตที่ประกอบด้วยสมาชิกทั้งหมดที่อยู่ในเซ็ต A และ B สัญลักษณ์ : A B A B = x xA xB ถ้า A B = ø เรากล่าวว่า A และ B เป็น disjoint set. 2006 Mathematics for computing I
12
Mathematics for computing I
5.3. Set Operations The union of A and B: คือเซ็ตที่ประกอบด้วยสมาชิกทั้งหมดที่อยู่ในเซ็ต A หรือ B สัญลักษณ์ : A B A B = x xA xB The cardinality of the union of A and B: จงหาความสัมพันธ์ต่อไปนี้ |AB| ? |A| ? |B| ? |AB| |A| and |B| counts the elements that is in A and B. This includes elements in both A and B. This means the latter will be counted twice. So, if we subtract from |A| + |B| elements in both A and B will only be counted once. 2006 Mathematics for computing I
13
Mathematics for computing I
5.3. Set Operations The complement of A: คือเซ็ต U – A สำหรับ universal set U สัญลักษณ์ : x (xA) สัญลักษณ์ แบบอื่นๆ: Ac or x xA . 2006 Mathematics for computing I
14
Mathematics for computing I
5.3. Set Operations The difference of A and B: คือเซ็ตที่ประกอบด้วยสมาชิกที่อยู่ในเซ็ต A แต่ไม่อยู่ในเซ็ต B. สัญลักษณ์ : A – B A – B = x xA xB หรืออาจเรียกอีกอย่างหนึ่งว่า complement of B relative to A, หรือเขียนแทนด้วย The symmetric difference of A and B: คิอเซ็ต (A – B) (B – A) สัญลักษณ์ : A B 2006 Mathematics for computing I
15
Mathematics for computing I
5.3. Set Operations ตัวอย่าง: U = 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10 A= 1, 2, 3, 4, 5 , B = 4, 5, 6, 7, 8 . ดังนั้น 2006 Mathematics for computing I
16
Mathematics for computing I
5.3. Set Operations The Cartesian product of A with B: คือเซ็ตที่มีสมาชิกทั้งหมดเป็นคู่อันดับ (a, b), เมื่อ a เป็นสมาชิกของ A และ b เป็นสมาชิกของ B สัญลักษณ์ : A B A B = (a, b)aA bB ตัวอย่าง: Let A = 1, 2, 3 and B = 3, 4 . Then A B = (1,3), (1,4), (2,3), (2,4), (3,3), (3,4) B A = (3,1), (3,2), (3,3), (4,1), (4,2), (4,3) A B B A จงหา |A B|? 2006 Mathematics for computing I
17
Mathematics for computing I
5.4. Venn Diagrams Venn diagrams: เป็นแผนภาพที่ใช้อธิบายในเรื่อง operation ของ sets โดยจะใช้ ภาพวงกลม แทน เซต และใช้รูปสี่เหลี่ยมผืนผ้าแทน Universal set U Appropriate region is shaded to represent the given set operation. For 2 sets For 3 sets 2006 Mathematics for computing I
18
Mathematics for computing I
5.4. Venn Diagrams 2006 Mathematics for computing I
19
Mathematics for computing I
5.4. Venn Diagrams 2006 Mathematics for computing I
20
Mathematics for computing I
5.4. Venn Diagrams Question: What’s the Venn Diagram of A B? Why is also used in logic as Exclusive OR? 2006 Mathematics for computing I
21
Mathematics for computing I
5.5. Set Identities Set identities correspond to the logical equivalences. Most important set identities: Identity Name A = A A U = A Identity laws A U = U A = Domination laws A A = A A A = A Idempotent laws Complementation laws 2006 Mathematics for computing I
22
Mathematics for computing I
5.5. Set Identities Most important set identities: Identity Name A B = B A A B = B A Commutative laws A (B C) = (A B) C A (B C) = (A B) C Associative laws A (B C) = (A B) (A C) A (B C) = (A B) (A C) Distributive laws De Morgan’s laws 2006 Mathematics for computing I
23
Mathematics for computing I
5.5. Set Identities ตัวอย่าง 1: Use set builder notation and logical equivalence to show that Proof: Q.E.D. 2006 Mathematics for computing I
24
Mathematics for computing I
5.5. Set Identities ตัวอย่าง2 จงพิสูจน์ว่า เมื่อ A, Bเป็นเซตใด ๆ พิสูจน์ ให้ ว่า x A B จะได้ว่า x A B ดังนั้น x A หรือ x B x A หรือ x B ดังนั้น x A B 2006 Mathematics for computing I
25
Mathematics for computing I
5.5. Set Identities แสดงว่า A B A B สมมติว่า x A B ดังนั้น x A หรือ x B จะได้ว่า x A หรือ x B ดังนั้น x A B x A B ดังนั้น A B A B 2006 Mathematics for computing I
26
Mathematics for computing I
5.5. Set Identities Membership Tables เหมือนการสร้างตารางเช่นเดียวกับตรรกศาสตร์ คอลัมน์แทนนิพจน์ของเซ็ต Rows for all combinations of memberships in constituent sets. Use “1” to indicate membership in the derived set, “0” for non-membership. Prove equivalence with identical columns. 2006 Mathematics for computing I
27
Mathematics for computing I
5.5. Set Identities ตัวอย่าง 3 พิสูจน์ว่า (A∪B)−B = A−B. 2006 Mathematics for computing I
28
Mathematics for computing I
5.5. Set Identities ตัวอย่าง 4: Use a membership table to show that A (B C) = (A B) (A C) A B C BC A(BC) AB AC (AB)(AC) 1 2006 Mathematics for computing I
29
Mathematics for computing I
5.5. Set Identities ตัวอย่าง 5: กำหนดให้ A, B, และ C เป็นเซตใดๆ จงพิสูจน์ว่า Proof: 2006 Mathematics for computing I
30
Mathematics for computing I
5.6. Further Readings Basic definitions : Section 1.5. Set operations : Section 1.5. Venn diagrams : Section 1.5. Set identities : Section 1.5. 2006 Mathematics for computing I
งานนำเสนอที่คล้ายกัน
© 2024 SlidePlayer.in.th Inc.
All rights reserved.