บทที่ 4 การอินทิเกรต (Integration)

งานนำเสนอเรื่อง: "บทที่ 4 การอินทิเกรต (Integration)"— ใบสำเนางานนำเสนอ:

1 บทที่ 4 การอินทิเกรต (Integration)
Antiderivative (Indefinite Integral) Differential Equation And Modeling

2 Antiderivative (Indefinite Integral)
นิยาม ฟังก์ชัน F(x) เป็น antiderivative ของ f(x) ถ้าหาก F’(x) = f(x) สำหรับทุก x ในโดเมนของ f เซ็ตของทุกๆ antiderivative ของ f เรียกว่า indefinite integral ของ f เทียบกับ x แสดงด้วย Integral sign integrand Variable of integration

3 The arbitrary constant
ตัวอย่างที่ 1 จงหาค่า antiderivative The arbitrary constant วิธีทำ

4 ตารางแสดงค่า antiderivative

5 ตัวอย่างที่ 2 (เลือกค่า antiderivative จากตาราง)

6 ตัวอย่างที่ 3 (ตรวจสอบผลการอินทิเกรตโดยการหาอนุพันธ์)
?

7 ปัญหาค่าเริ่มต้น (Initial Value Problems)
ปัญหาที่กำหนดอนุพันธ์ y’(x) และกำหนดค่าเริ่มต้น yo เมื่อ x=xo มาให้

8 ตัวอย่างที่ 4 จงหาเส้นโค้งที่มีความชันของเส้นสัมผัสที่จัด (x,y) ใดๆ เป็น 3x2 และผ่านจุด (1,-1) วิธีทำ The differential equation: The initial condition: General solution Initial condition Particular solution

9 การสร้างแบบจำลองทางคณิตศาสตร์ (Mathematical Modeling)
กำหนดตัวแปร หาสมการอนุพันธ์ กำหนดค่าเงื่อนไขเริ่มต้น

10 ตัวอย่างที่ 5 บอลลูนกำลังลอยขึ้นด้วยอัตรา12 ฟุต/วินาที ที่ความสูง 80 ฟุต เหนือพื้น ก่อนที่จะโยนของลงมา ของจะตกถึงพื้นเมื่อเวลาใด? กำหนดให้ v(t) = ความเร็ว t = เวลา s(t)= ระยะความสูงจากพื้น สมการอนุพันธ์ ความเร่งเนื่อง จากแรงดึงดูดของโลก

11 ตัวอย่างที่ 5 (ต่อ) เงื่อนไขเริ่มต้น: v(0) = 12 แก้สมการ
หาค่า C จากเงื่อนไขเริ่มต้น

12 ตัวอย่างที่ 5 (ต่อ) กำหนดสมการอนุพันธ์ กำหนดเงื่อนไขเริ่มต้น แก้สมการ
แทนค่าเงื่อนไขเริ่มต้น

13 ตัวอย่างที่ 5 (ต่อ) หาเวลาที่ระยะทาง = 0

14 4.2 Integrating Rules, Integration by substitution

15 ตัวอย่างที่ 1

16 ตัวอย่างที่ 2 อินทีเกรตทีละเทอม

17 ตัวอย่างที่ 3 อินทีเกรต sin2x และ cos2x

18 ตัวอย่างที่ 4 ใช้ power rule

19 ตัวอย่างที่ 5 ปรับเปลี่ยนค่าคงที่

20 ตัวอย่างที่ 6 เปลี่ยนตัวแปร

21 ตัวอย่างที่ 7

22 ตัวอย่างที่ 8 เอกลักษณ์ตรีโกณฯ

23 4.3 การประมาณพื้นที่ใต้กราฟโดย finite Sums
การหาอัตราการสูบฉีดเลือดของหัวใจทำได้โดยการฉีดสีย้อม (กำมันตรังสีที่ไม่ เป็นอันตราย) เข้าไปห้องขวาของหัวใจ เลือดจะไหลผ่านปอด แล้วกลับมาที่ หัวใจห้องซ้ายก่อนจะไหลออกเส้นเลือดใหญ่ ซึ่งจะเป็นจุดที่วัดความเข้มข้นของ สีย้อม

24 พื้นที่ใต้กราฟมีความหมายอะไร?

25 การประมาณปริมาตรของทรงกลม

26 การประมาณค่าเฉลี่ยของฟังก์ชันโดยพื้นที่ใต้การฟ

27 4.4 Riemann Sums and Definite Integral
สัญลักษณ์ sigma

28 Riemann Sums

29 นิยามของ definite Integral ด้วยลิมิตของ Riemann Sums
ให้ f เป็นฟัก์ชันที่นิยามในช่วง [a,b] ถ้าหากแบ่งออกเป็นช่วงย่อยๆด้วยตัว แบ่ง P และ ck อยู่ระหว่างแต่ละช่วงย่อย [xk-1,xk] ถ้าหากมีจำนวนจริง I ที่ทำให้ ไม่ว่าจะเลือกแบ่ง P และเลือก ck อย่างไรก็ได้ ดังนั้น f สามารถอินทิเกรตได้ในช่วง [a,b] และ I เป็นค่า Definite Integral ของ f

30 ทฤษฎีบทที่ 1 ทุกฟังก์ชันที่ต่อเนื่อง สามารถอินทิเกรตได้

31 การแสดงสัญลักษณ์ของ Definite Integration
Differentiation Integration Upper limit lower limit

32 ตัวอย่างที่ 2 จงแสดง limit ในรูปของ Integration ในช่วงของ x = [-1,3] และ mk เป็นกึ่งกลาง ของช่วงที่ k

33 นิยาม พื้นที่ใต้กราฟ ถ้า y=f(x) ไม่มีค่าเป็นลบ และอินทีเกรตได้ในช่วง [a,b] จะได้ว่าพื้นที่ใต้ กราฟเป็น

34 ตัวอย่าง พิจารณาพื้นที่ใต้กราฟ y=x ในช่วง [a,b]

35 นิยาม ค่าเฉลี่ยของฟังก์ชัน
ค่าเฉลี่ยของฟังก์ชัน f ในช่วง [a,b] คือ

36 ตัวอย่าง หาค่าเฉลี่ยฟังก์ชัน ในช่วง [-2,2]

37 กฎที่ใช้กับ definite integration

38 ตัวอย่าง

39 4.5 ทฤษฎีค่าเฉลี่ยและทฤษฎีพื้นฐาน
ทฤษฎีค่าเฉลี่ยสำหรับการอินทีเกรตแบบมีขอบเขต (Mean Value Theorem for Definite Integrals) ถ้าหาก f ต่อเนื่องในช่วง [a,b] ดังนั้นจะต้องมีจุด c อย่างน้อย หนึ่งจุดที่

40 ตัวอย่าง หาค่าเฉลี่ยของฟังก์ชัน f(x)= 4 – x ในช่วง [0,3] และหาว่าจุดไหนของฟังก์ชันที่มีค่าเท่ากับ ค่าเฉลี่ย วิธีทำ

41 ทฤษฎีพื้นฐาน (fundamental theorem) ตอนที่ 1
ถ้า f ต่อเนื่องในช่วง [a,b] แล้ว ฟังก์ชัน จะหาอนุพันธ์ได้ตลอดช่วง [a.b] และ

42 ตัวอย่างที่ 3 จงหาค่า และ วิธีทำ

43 ตัวอย่างที่ 4 (chain rule)
จงหา dy/dx เมื่อ วิธีทำ ให้ และจาก

44 ตัวอย่างที่ 5 จงหา (a) (b)

45 การอินทีเกรตเชิงเลขคณิตโดยวิธี trapezoidal
ประมาณค่าอินทีเกรต ด้วย เมื่อ yi เป็นค่าของฟังก์ชันที่จุดแบ่ง โดยที่

46 ตัวอย่าง