บทที่ 7 การหาปริพันธ์ (Integration)

งานนำเสนอเรื่อง: "บทที่ 7 การหาปริพันธ์ (Integration)"— ใบสำเนางานนำเสนอ:

1 บทที่ 7 การหาปริพันธ์ (Integration)
Antiderivative (Indefinite Integral) Differential Equation And Modeling

2 ฟังก์ชันอนุพันธ์กลับ(Antiderivative)
นิยาม ฟังก์ชัน F(x) เป็น ฟังก์ชันอนุพันธ์กลับ ของ f(x) ถ้าหาก F’(x) = f(x) สำหรับทุก x ในโดเมนของ f เซ็ตของทุกๆ ฟังก์ชันอนุพันธ์กลับของ f เรียกว่า ปริพันธ์แบบไม่จำกัด(indefinite integral) ของ f เทียบกับ x แสดงด้วย Integral sign integrand Variable of integration

3 ตารางฟังก์ชันอนุพันธ์กลับ
ตัวอย่างที่ 1 constant จงหาค่า วิธีทำ antiderivative ตารางฟังก์ชันอนุพันธ์กลับ

4 ตัวอย่างที่ 2 เลือกฟังก์ชันอนุพันธ์กลับ จากตาราง

5 ตัวอย่างที่ 3 ตรวจสอบผลปริพันธ์
? ปัญหาค่าเริ่มต้น (Initial Value Problems) คือปัญหาที่กำหนดอนุพันธ์ y’(x) และกำหนดค่าเริ่มต้น yo เมื่อ x = xo มาให้

6 ตัวอย่างที่ 4 จงหาเส้นโค้งที่มีความชันของเส้นสัมผัสที่จุด (x,y) เป็น 3x2 และผ่านจุด (1,-1) สมการอนุพันธ์ ค่าเริ่มต้น General solution Particular solution

7 แบบจำลองทางคณิตศาสตร์ (Mathematical Modeling)
กำหนดตัวแปร หาสมการอนุพันธ์ กำหนดค่าเงื่อนไขเริ่มต้น หาผลเฉลย ตรวจสอบผลเฉลย

8 ชิ้นหนึ่งถูกโยนของลงมา อยากทราบว่าวัตถุจะตกถึงพื้นในเวลาใด
ตัวอย่างที่ 5 บอลลูนกำลังลอยขึ้นด้วยอัตรา12 ฟุต/วินาที ที่ความสูง 80 ฟุตเหนือพื้นวัตถุ ชิ้นหนึ่งถูกโยนของลงมา อยากทราบว่าวัตถุจะตกถึงพื้นในเวลาใด วิธีทำ กำหนดให้ v(t) = ความเร็ว t = เวลา s(t)= ระยะความสูงจากพื้น 12 ฟุต/วินาที ความเร่งเนื่อง จากแรงดึงดูดของโลก g สมการอนุพันธ์

9 เงื่อนไขเริ่มต้น: v(0) = 12
แก้สมการ หาค่า C จากเงื่อนไขเริ่มต้น

10 แก้สมการ แทนค่าเงื่อนไขเริ่มต้น หาเวลาที่ระยะทาง = 0

11 กฎการหาปริพันธ์

12 ตัวอย่างที่ 1 วิธีทำ ตัวอย่างที่ 2 ปริพันธ์แยกเทอม

13 ตัวอย่างที่ 3 ปริพันธ์อง sin2x และ cos2x

14 ตัวอย่างที่ 4 ใช้ กฎยกกำลัง

15 ตัวอย่างที่ 5

16 ตัวอย่างที่ 6 เปลี่ยนตัวแปร

17 ตัวอย่างที่ 7

18 ตัวอย่างที่ 8 ใช้เอกลักษณ์ตรีโกณฯ

19 การประมาณพื้นที่ใต้กราฟโดยผลรวมจำกัด
อัตราการสูบฉีดเลือดของหัวใจหาได้โดยการฉีดสีย้อม (กำมันตรังสีที่ไม่เป็น อันตราย) เข้าไปห้องขวาของหัวใจ เลือดจะไหลผ่านปอด แล้วกลับมาที่หัวใจห้อง ซ้ายก่อนจะไหลออกเส้นเลือดใหญ่ ซึ่งจะเป็นจุดที่วัดความเข้มข้นของสีย้อม

20 การประมาณปริมาตรของทรงกลม

21 การประมาณค่าเฉลี่ยของฟังก์ชันโดยพื้นที่ใต้กราฟ

22 ผลรวมรีมาน ตัวอย่างที่ 1 สัญลักษณ ์

23 นิยามของ ปริพันธ์แบบจำกัด ด้วยลิมิตของ Riemann Sums
ให้ f เป็นฟังก์ชันที่นิยามในช่วง [a,b] ถ้าหากแบ่งออกเป็นช่วงย่อยๆด้วยตัว แบ่ง P และ ck อยู่ระหว่างแต่ละช่วงย่อย [xk-1,xk] ถ้าหากมีจำนวนจริง I ที่ทำ ให้ ไม่ว่าจะเลือกแบ่ง P และเลือก ck อย่างไรก็ได้ ดังนั้น f สามารถอินทิเกรตได้ในช่วง [a,b] และ I เป็นค่า ปริพันธ์แบบจำกัด ของ f

24 ทฤษฎีบทที่ 1 ฟังก์ชันที่ต่อเนื่อง สามารถหาปริพันธ์ได้
Differentiation Integration Upper limit lower limit

25 ตัวอย่างที่ 2 การใช้เครื่องหมาย
จงแสดง ลิมิตในรูปของ ปริพันธ์ ในช่วงของ x = [-1,3] และ mk เป็นกึ่งกลาง ของช่วงที่ k นิยาม พื้นที่ใต้กราฟ ถ้า y=f(x) ไม่มีค่าเป็นลบ และหาปริพันธ์ได้ในช่วง [a,b] จะได้ว่าพื้นที่ใต้ กราฟเป็น

26 ตัวอย่างที่ 3 พื้นที่ใต้กราฟ f (x)= x
จงหา วิธีทำ พื้นที่ใต้กราฟของฟังก์ชัน y = x คือพื้นที่สี่เหลี่ยมคางหมูในรูป พื้นที่ ดังนั้น

27 นิยาม ค่าเฉลี่ยของฟังก์ชัน
ค่าเฉลี่ยของฟังก์ชัน f ในช่วง [a,b] คือ

28 ตัวอย่างที่ 4 หาค่าเฉลี่ย
หาค่าเฉลี่ยฟังก์ชัน ในช่วง [-2,2] สมการคือครึ่งวงกลมมีพื้นที่ ดังนั้น หาค่าเฉลี่ยฟังก์ชัน

29 กฎการหาปริพันธ์แบบจำกัด

30 ตัวอย่างที่ 5

31 ทฤษฎีค่าเฉลี่ยและทฤษฎีพื้นฐาน
ทฤษฎีค่าเฉลี่ยสำหรับการอินทีเกรตแบบมีขอบเขต (Mean Value Theorem for Definite Integrals) ถ้าหาก f ต่อเนื่องในช่วง [a,b] ดังนั้นจะต้องมีจุด c อย่างน้อย หนึ่งจุดที่

32 ตัวอย่างที่ 1 จงหาค่าเฉลี่ยของฟังก์ชัน f(x)= 4 – x ในช่วง [0,3] และหาว่าจุดไหนของฟังก์ชัน ที่มีค่าเท่ากับค่าเฉลี่ย วิธีทำ

33 ทฤษฎีพื้นฐาน (fundamental theorem) ตอนที่ 1
ถ้า f ต่อเนื่องในช่วง [a,b] แล้ว ฟังก์ชัน จะหาอนุพันธ์ได้ตลอดช่วง [a.b] และ

34 ตัวอย่างที่ 2 จงหาค่า และ วิธีทำ

35 ตัวอย่างที่ 3 จงหา dy/dx เมื่อ วิธีทำ ให้ และจาก

36 ตัวอย่างที่ 4 จงหา ก) ข) ก) ข)

37 การหาปริพันธ์เชิงตัวเลขโดยวิธี trapezoidal
ประมาณค่าอินทีเกรต ด้วย เมื่อ yi เป็นค่าของฟังก์ชันที่จุดแบ่ง โดยที่

38 ตัวอย่างที่ 5 ค่าที่ถูกต้องคือ