หน่วยที่ 15

การกระจายอนุกรมฟูเรียร์ ฟังก์ชันคู่ ฟังก์ชันคี่ และ การขยายความเป็นคาบ

การกระจายอนุกรมฟูเรียร์ n=1 1 2 a +  a cos(nωt) +  b sin(nωt) n เมื่อ = ω p

ฟังก์ชันเป็นคาบ f(t) 1 t -1 -3 - 3

ฟังก์ชันเป็นคาบ f(t) 1 t -3 -1 0 1 3 5 7

ค่าของ f(t) ไม่ซ้ำกันจึงไม่เป็นฟังก์ชันเป็นคาบ 1 t -4 -3 -2 - 2 3 4

บทนิยาม กำหนดให้ฟังก์ชัน f(t) จะกล่าวว่า ฟังก์ชัน f(t) เป็นฟังก์ชันเป็นคาบ ที่คาบเท่ากับ p(p>0) ก็ต่อเมื่อ สำหรับแต่ละ t ที่อยู่ในโดเมน จะได้ว่า f(t) = f(t + mp) เมื่อ m เป็นจำนวนเต็มใดๆ

f(t) 1 t -1 -3 - 3 f(t) = sin(t) = sin(t + 2 ) = f (t+2 ) t A ... f(t) = sin(t) เป็นฟังก์ชันเป็นคาบที่คาบเท่ากับ 2 ...

เป็นฟังก์ชันเป็นคาบ ที่คาบเท่ากับ 2 f(t) 1 t -3 -1 0 1 3 5 7 f(t) = 1- t (-1 t  1); f (t + 2) = f(t) เป็นฟังก์ชันเป็นคาบ ที่คาบเท่ากับ 2 f ( ) = f (- + 2) = f (- ) = 1- - = 3 2 1 f ( ) = f ( + 2) = f ( ) = 1- = 5 2 1 f (- ) = f (- + 2) = f (- ) = 3 2 1 f (-2) = f (-2 + 2) = f (0) = 1- 0 = 1

ดังนั้น cos( t ) เป็นฟังก์ชันเป็นคาบที่คาบ เท่ากับ 4 เนื่องจาก cos( (t + 4)) = cos ( t + 2 ) = cos ( t) 2 ดังนั้น cos( t ) เป็นฟังก์ชันเป็นคาบที่คาบ เท่ากับ 4 2

ถ้าฟังก์ชันเป็นคาบ f (t) ที่คาบเท่ากับ p = มีการกระจายอนุกรมฟูเรียร์ 2 ω ถ้าฟังก์ชันเป็นคาบ f (t) ที่คาบเท่ากับ p = มีการกระจายอนุกรมฟูเรียร์ n=1 1 2 f(t) = a +  a cos(nωt) +  b sin(nωt) n

∫ ∫ แล้วสัมประสิทธิ์ฟูเรียร์คำนวณได้จาก a = f(t)cos( nωt )dt ; n = 0, 1, 2,... 2 p n ∫ d+p d b = f(t)sin( nωt )dt ; n = 1, 2, 3,... 2 p n ∫ d+p d

สูตรออยเลอร์ (Euler’s formulae) สูตรสำหรับคำนวณสัมประสิทธิ์ฟูเรียร์เรียกว่า สูตรออยเลอร์ (Euler’s formulae) p 2 โดยทั่วไปจะเลือก d = 0 หรือ d = - ถ้าเลือก d = 0 เป็นลิมิตล่างของอินทิกรัล แล้วลิมิตบนของอินทิกรัลเท่ากับ p ถ้าเลือก d = - เป็นลิมิตล่างของอินทิกรัล แล้วลิมิตบนของอินทิกรัลเท่ากับ

กรณีฟังก์ชันมีความต่อเนื่องเป็นช่วงบนแต่ละคาบ ดูตัวอย่างในภาพ f(t) - 3 - 3 - +d 1 2 t ดูตัวอย่างในภาพ f (t) ( - < t < - + d ) 1 f (t ) = f (t) ( - + d < t < - +d ) ; f (t+2 )=f (t) 2 1 f (t) ( - + d < t < ) 3 2

∫ ∫ ∫ ∫ ให้คำนวณ a = [ f (t)cos(nt)dt + f (t)cos(nt)dt 1 n ∫ - +d - 2 + f (t)cos(nt)dt ] ; n = 0,1,2,.... 3 ∫ - +d 2 b = [ f (t)sin(nt)dt + f (t)sin(nt)dt 1 n ∫ - +d - 2 + f (t)sin(nt)dt ] ; n = 1,2,3,.... 3 ∫ - +d 2

จงหาการกระจายอนุกรมฟูเรียร์ของฟังก์ชัน ตัวอย่าง จงหาการกระจายอนุกรมฟูเรียร์ของฟังก์ชัน 0 ( -2 < t < -1 ) f(t) = k ( -1 < t < 1 ) ; f ( t + 4 ) = f(t) 0 ( 1 < t < 2 )

วิธีทำ f(t) -6 -4 -2 0 2 4 6 8 10 t k

∫ ในที่นี้ p = 4 ให้ d = -2 แล้วได้ว่า α = [ 0 dt + k dt + 0 dt ] k ∫ 2 1 4 -1 -2 = [t ] = [ 1- (-1) ] = k k 2 1 -1

∫ ∫ และสำหรับ n = 1, 2, 3, ... ได้ว่า เมื่อ n เป็นเลขคี่ α = [ 0 cos( ) + k cos ( )dt n 2 4 ∫ 1 -1 -2 n t ∫ 2 1 + 0 cos ( )dt ] n t = [sin ( ) ] 1 -1 2 n t k n (n - 1) ( -1) 2k 2 เมื่อ n เป็นเลขคี่ = n เมื่อ n เป็นเลขคู่

∫ ∫ b = [ 0 sin( )dt + k sin( )dt + 0 sin( )dt ] k = ( -1 ) cos( ) n 2 4 ∫ 1 -1 -2 n t ∫ 2 1 n t + 0 sin( )dt ] = ( -1 ) cos( ) 1 -1 k n 2 n t = 0

 จึงได้การกระจายอนุกรมฟูเรียร์ว่า f (t) = + cos( t ) n = 1 2k 2 k  ∞ n - 1 (-1) 2n - 1 (2n - 1) ซึ่งแจกแจงการกระจายอนุกรมฟูเรียร์จะได้ พจน์ต้นๆ ว่า f (t) = + [cos ( t ) - cos( t ) 2k k 2 3 1 + cos ( t ) - cos( t ) + .... ] 5 2 7 1

ฟังก์ชันคู่และฟังก์ชันคี่ ฟังก์ชันคู่มีกราฟที่สมมาตรกับแกน y ( =f(t) ) f(t) = cos( t ) f(t) t -3 1 -1 - 3

f(t) = ; f (t+4) = f(t) k (-1 < t < 1) 0 (-2 < t < -1) -6 -4 -2 0 2 4 6 8 10 t k

ฟังก์ชันคี่มีกราฟที่สมมาตรกับจุดกำเนิด f(t) = sin( t ) f(t) 1 t -3 - 3 -1

f(t) = ; f (t+2) = f(t) 1 (0 < t < 1) -1 (1 < t < 2) f(t) -3 -1 0 1 3 5 -1

บทนิยาม กำหนดให้ฟังก์ชัน f(t) จะกล่าวว่า ฟังก์ชัน f(t) เป็นฟังก์ชันคู่ ก็ต่อเมื่อ f(t) = f(-t) สำหรับทุกค่า t และจะกล่าวว่า f(t) เป็นฟังก์ชันคี่ ก็ต่อเมื่อ f(t) = -f(-t) สำหรับทุกค่า t

 ∫ การกระจายอนุกรมฟูเรียร์ของฟังก์ชันเป็นคาบ ที่คาบเท่ากับ p และเป็นฟังก์ชันคู่ จะได้ การกระจายอนุกรมฟูเรียร์โคซายน์ f (t) = α + α cos( nωt ) ; ω = n = 1 p 1 2  ∞ n โดยที่ α = f (t) cos( nωt )dt ; n = 0, 1, 2 n 4 p ∫ P 2

f(t) = ; f (t+4) = f(t) k (-1 < t < 1) 0 (-2 < t < -1)

∫ ∫ โดยสูตร จะได้ 4 α = f (t) dt = 0 dt + k dt 4 ∫ α = f (t) dt -2 = 0 dt + k dt ∫ -1 -2 = k [t] = k [ 0 - (-1) ] = k -1

∫ ∫ ∫ เมื่อ n เป็นเลขคี่ เมื่อ n เป็นเลขคู่ 4 ∫ α = f (t) dt n = 1, 2, 3, ... n -2 -1 ∫ ∫ = 0 cos( )dt + k cos( )dtt 2 n t 2 n t -2 -1 = (-1) 2k n 2 n -1 เมื่อ n เป็นเลขคี่ เมื่อ n เป็นเลขคู่ ได้ผลลัพธ์เหมือนตัวอย่าง Frame 19

 ∫ การกระจายอนุกรมฟูเรียร์ของฟังก์ชันเป็นคาบ ที่คาบเท่ากับ p และเป็นฟังก์ชันคี่ จะได้ การกระจายอนุกรมฟูเรียร์โคซายน์ ∞ f (t) = b sin( nωt ) เมื่อ ω = n = 1  p 2 n โดยที่ b = f (t) sin( nωt )dt เมื่อ n = 1, 2, 3,.. n 4 p ∫ P 2

มีคาบ p = 2 f(t) = ; f (t+2) = f(t) 1 (0 < t < 1)

∫ ∫ สำหรับ n = 1, 2, 3,... จะได้ เมื่อ n เป็นจำนวนคี่ ∫ 1 4 2 2 b = f (t) sin( nt )dt = 2 sin(n t)dt n n 4 เมื่อ n เป็นจำนวนคี่ = 0 เมื่อ n เป็นจำนวนคู่

และ การกระจายอนุกรมฟูเรียร์ซายน์ ว่า f(t) = sin((2n - 1) t ) 4 2n - 1 1 n = 1  ∞ = [ sin( t ) + sin(3 t ) + sin(5 t ) 4 1 5 3 + sin(7 t ) + ........] 1 7

การขยายความเป็นคาบ ฟังก์ชัน f (t) ที่นิยมบนช่วงจำกัด เช่น f(t) = t ( 0 < t < ) เช่น 2 f(t) 2 t -2 - 2 เมื่อจะหาการกระจายอนุกรมฟูเรียร์ฟังก์ชัน จะต้องขยายให้เป็นฟังก์ชันเป็นคาบ

กำหนดให้ 1 g(t) = t ( 0 < t < ) ; g ( t + ) = g(t) g(t) t -2 - 2 -2 - 2

ในที่นี้ p = ให้ d = 0 แล้ว α = g (t) dt 2 ∫ = t dt = 3

∫ และสำหรับ n = 1, 2, 3, ... α = g(t) cos(n ( t )dt , n = 1, 2, 3, ... α = g(t) cos(n ( t )dt , n = 1, 2, 3, ... n = [ 0 + - 0 } = 1

= t sin( 2nt )dt 2 ∫ b = g(t) sin(n ( t )dt , n = 1, 2, 3, ... n = -

จึงได้การกระจายอนุกรมฟูเรียร์ว่า g(t) = + cos( 2nt ) - sin( 2nt ) 3 n 1 n = 1  ∞ 2 f(t) = + cos( 2nt ) - sin( 2nt ); ( 0 < t < )

เมื่อแจกแจงการกระจายอนุกรมฟูเรียร์ จะได้พจน์ต้นๆ ว่า f(t) = +cos(2t)+ cos(4t)+ cos(6t)+.... 3 4 1 9 2 จะได้พจน์ต้นๆ ว่า - { sin(2t)+ sin(4t)+ sin(6t)+....}

กำหนดให้ นั่นคือ g(t) = ; g(t+2 ) = g(t) g(t) = ; g(t+2 ) = g(t) f (t) (0 < t < ) f (-t) (- < t < 0) นั่นคือ g(t) = ; g(t+2 ) = g(t) t ( - < t < 0 ) t ( 0 < t < ) 2 กำหนดให้ g(t) 2 t -5 -3 - 3 5

ในที่นี้ p = 2 จะได้ α = g (t)dt = t dt 4 2 ∫ = 3

∫ และสำหรับ n = 1, 2, 3,... จะได้ α = g (t) cos ( nt ) dt 4 2 ∫ = ( - 1) = t cos ( nt ) dt

 จึงได้ และ ∞ (-1) g(t) = + 4 cos( nt ) n 3 2 f(t) = + 4 cos( nt ) (0< t < )

กำหนดให้ เนื่องจาก ดังนั้น 3 g(t) = ; g(t+2 ) = g(t) f (t) ( 0 < t < ) -f (-t) ( - < t < 0 ) 2 -f (-t) = - ( - t ) = -t เนื่องจาก ดังนั้น g(t) = ; g(t+2 ) = g(t) t ( 0 < t < ) -t ( - < t < 0 )

g(t) t - 2 -5 -3 - 3 5

∫ ในที่นี้ p = 2 สำหรับ n = 1, 2, 3,... จะได้ 4 b = g(t) sin( nt )dt 2 2 4 = t sin( nt )dt = [ (-1) { - } - ] n + 1

จึงได้  และ ∞ g(t) = [ (-1) ( - ) - ]sin( nt ) n 2 n 1 n = 1  ∞ n + 1 f(t) = [ (-1) ( - ) - ]sin( nt ) และ ( 0 < t < )

∫ เมื่อ c เป็นค่าคงตัว -1 t sin(nt)dt = t d cos(nt) n = [ t cos(nt) - cos(nt) dt ] = [ t cos(nt) - sin(nt) ] + c 1 เมื่อ c เป็นค่าคงตัว

∫ เมื่อ k,c เป็นค่าคงตัว 1 t cos(nkt)dt = t d sin(nkt) nk 2 = [t sin(nkt) - sin(nkt)dt ] = [t sin(nkt) -2 tsin(nkt)dt ] = [t sin(nkt)+ {tcos(knt) – cos(nkt)}] = [t sin(nkt)+ {tcos(knt)– sin(nkt)}]+c

cos(3 ) = -1, cos(4 ) = 1, ..., cos(n ) = (-1) sin( ) = sin(2 ) = sin(3 ) = sin(4 ) = ... = sin(n ) = 0