ฟังก์ชัน(Function)

บทนำ ในแคลคูลัส เราคุ้นเคยกันดีกับฟังก์ชัน f ที่มีค่าเป็นจำนวนจริง ซึ่งกำหนดด้วยตัวแปรอิสระ xℝ และมีตัวแปรตาม y=f(x), โดยที่ yℝ. ฟังก์ชันในรูปแบบทั่วไป เป็นการกำหนดสมาชิกของเซตใดๆ ซึ่งเป็นที่รู้กันว่าเป็นการส่งค่าหรือทอดค่า (Mapping) จากเซตหนึ่งไปสู่อีกเซตหนึ่ง

นิยามแบบทั่วไปของฟังก์ชัน นิยาม สำหรับเซต A, B ใดๆ, สามารถกล่าวได้ว่าฟังก์ชัน f จาก (หรือ “mapping”) A ไป B (f:AB) เป็นการกำหนดค่าแบบเจาะจงเมื่อ f(x)B โดยที่ xA Some further generalizations of this idea: A partial (non-total) function f assigns zero or one elements of B to each element xA. Functions of n arguments; relations.

ภาพประกอบการแทนฟังก์ชัน ฟังก์ชันสามารถที่จะแทนด้วยรูปภาพในแบบต่างๆ ได้หลายลักษณะดังนี้ • Bipartite Graph A B x y Plot f f • • a b A B Like Venn diagrams

ฟังก์ชันกับตรรก หมายเหตุ ประพจน์ใดๆ สามารถพิจารณาเป็นฟังก์ชันจาก “สถานการณ์” ที่ทอดค่าไปยังค่าความจริง {T,F} ตรรกใดๆ จะถูกเรียกว่า “situation theory” Ex. p=“ฝนกำลังจะตก”; s=สภาพแวดล้อมในขณะนั้น, ดังนั้น p(s){T,F}. หมายเหตุ ตัวดำเนินการใดๆ ของประพจน์สามารถพิจารณาเป็นฟังก์ชันที่ทอดค่าจากคู่อันดับของค่าความจริงไปสู่ค่าความจริง ((F,T)) = T. →((T,F)) = F.

ฟังก์ชันกับตรรก......(ต่อ) หมายเหตุ พรีดิเคตใดๆ เป็นฟังก์ชันของวัตถุต่างๆ ที่ทอดค่าไปยังประพจน์ที่มีค่าความจริง Ex. P :≡ “is 7 feet tall”; P(Mike) = “Mike is 7 feet tall.” = False. หมายเหตุ สายของบิต B ที่มีความยาว n บิต สามารถพิจารณาเป็นฟังก์ชันชนิดหนึ่ง ที่ทอดค่าจากตำแหน่งของบิต {1,…,n} ไปสู่ค่าของบิตในตำแหน่งนั้นๆ {0,1}. B=101  B(3)=1.

ฟังก์ชันกับเซต หมายเหตุ เซต S ใดๆ ที่อยู่ในเซตเอกภพสัมพัทธ์ U สามารถพิจารณาเป็นฟังก์ชันที่ทอดค่าสมาชิกต่างๆใน U ไปสู่ค่า {T, F}, หรือกล่าวอีกอย่างหนึ่งก็คือสมาชิกแต่ละตัวใน U อยู่ในเซต S หรือไม่ ตัวอย่าง: S={3} fS(0)=F, fS(3)=T. หมายเหตุ ตัวดำเนินการของเซตใดๆ เช่น ,, เป็นฟังก์ชันที่ทอดค่าจากคู่ต่างๆ ของเซตที่ถูกดำเนินการไปสู่เซตใหม่ที่เป็นผลของจากการดำเนินการ ตัวอย่าง: (({1,3},{3,4})) = {3}

ศัพท์เฉพาะที่ใช้ในฟังก์ชัน นิยาม Let f:AB, and f(a)=b (where aA & bB). Then A is the domain of f. B is the codomain of f. b is the image of a under f. a is a pre-image of b under f. In general, b may have more than 1 pre-image. The range RB of f is R={b | a f(a)=b }. We also say the signature of f is A→B.

เรนจ์เปรียบเทียบกับโคโดเมน หมายเหตุ เรนจ์หรือพิสัยของฟังก์ชันไม่จำเป็นต้องเท่ากับสมาชิกในโคโดเมนทุกตัว โคโดเมนคือเซตของฟังก์ชันที่ถูกทอดค่าจากสมาชิกแต่ละตัวในโดเมน เรนจ์เป็นเซตเฉพาะและเป็นเซตย่อยในโคโดเมนที่ถูกทอดค่าจากเซตโดเมน นั่นคือ R={b | a f(a)=b }

ตัวอย่างของเรนจ์เมื่อเทียบกับโคโดเมน ตัวอย่าง สมมุติในการกำหนดเกรดให้นักศึกษา: “f เป็นฟังก์ชันที่มีการทอดค่าชื่อของนักศึกษาที่เรียนวิชานี้ โดยเกรดที่จะให้กับนักศึกษาคือ {A,B,C,D,F}” จากตัวอย่างนี้, เซตของโคโดเมนคือ: __________, และเซตของเรนจ์คือ ________. ถ้านักศึกษาทุกคนที่เรียนวิชานี้ได้เกรด A หรือไม่ก็ได้เกรด B ดังนั้นเรนจ์ของฟังก์ชัน f คือ _________, ส่วนเซตของโคโดเมนคือ . {A,B,C,D,F} unknown! {A,B} still {A,B,C,D,F}!

นิยามโดยทั่วไปของตัวดำเนินการในแง่ของฟังก์ชัน นิยาม ตัวดำเนินการ n-ary ใดๆ ที่กระทำบนเซต S เป็นฟังก์ชันจากเซตอันดับ n-tuples ที่เป็นสมาชิกของ S ไปยังตัวมันเอง Ex. ถ้า S={T,F},  can be seen as a unary operator, and , are binary operators on S. Ex.  and  are binary operators on the set of all sets.

การสร้างตัวดำเนินการของฟังก์ชัน ถ้า  (“dot”) เป็นตัวดำเนินการใดๆ บนเซต B ดังนั้นเราสามารถขยาย  เพื่อใช้แทนตัวดำเนินการของฟังก์ชัน f:AB. Ex. ตัวดำเนินการไบนารีใดๆ :BBB, และฟังก์ชัน f,g:AB, ที่กำหนดอยู่ในรูป (f  g):AB เพื่อกำหนดเป็นฟังก์ชันที่นิยามโดย aA, (f  g)(a) = f(a)g(a)

ตัวอย่างของตัวดำเนินการฟังก์ชัน ,× (“plus”,“times”) เป็นตัวดำเนินการไบนารี่บนเซตจำนวนจริง ℝ. (Normal addition & multiplication.) ทั้งสองตัวดำเนินทำให้เราสามารถนำฟังก์ชันมารวมและคูณเข้าด้วยกันได้ดังนี้ Def. Let f, g: ℝ  ℝ. (f  g): ℝ  ℝ, where (f  g)(x) = f(x)  g(x) (f × g): ℝ  ℝ, where (f × g)(x) = f(x) × g(x)

ตัวดำเนินการฟังก์ชันเชิงประกอบ นิยาม กำหนดให้ g:AB และ f:BC. ฟังก์ชันเชิงประกอบของ (composition function) f และ g, เขียนแทนด้วย f○g, ซึ่งกำหนดได้โดย (f○g)=f(g(a)) ข้อสังเกต ○ (like Cartesian , but unlike +,,) is non-commuting. (Generally, f○g  g○f.) A g B f C . a . g(a) . f(g(a))

อิมเมจของเซตที่อยู่ภายใต้ฟังก์ชัน Def. Let f:AB, and SA. The image of S under f is simply the set of all images (under f) of the elements of S. f(S) : {f(s) | sS} : {b |  sS: f(s)=b}. Note the range of f can be defined as simply the image (under f) of f’s domain!

ฟังก์ชันแบบ one-to-one Def. A function is one-to-one (1-1), or injective, or an injection, iff every element of its range has only 1 pre-image. Formally: given f:AB, “f is injective” : xy{f(x) = f(y)  x = y}. Only one element of the domain is mapped to any given one element of the range. Domain & range have same cardinality. What about codomain? Memory jogger: Each element of the domain is injected into a different element of the range. Compare “each dose of vaccine is injected into a different patient.”

การทดค่าแบบ one-to-one Bipartite (2-part) graph representations of functions that are (or not) one-to-one: a• •1 • • • • b• •2 • • • c• • • •3 • • d • • • • • •4 • • •5 • Not one-to-one Not even a function! One-to-one

Sufficient Conditions for 1-1ness For functions f over numbers, we say: f is strictly (or monotonically) increasing iff x>y  f(x)>f(y) for all x,y in domain; f is strictly (or monotonically) decreasing iff x>y  f(x)<f(y) for all x,y in domain; If f is either strictly increasing or strictly decreasing, then f is one-to-one. Ex. f(x) = x3 f(x) = 1/x (Converse is not necessarily true)

ฟังก์ชันออนทู (Onto or Surjective) Def. A function f:AB is onto or surjective or a surjection iff its range is equal to its codomain (bB, aA: f(a)=b). Remark. An onto function maps the set A onto (over, covering) the entirety of the set B, not just over a piece of it. Ex. Let f:ℝ  ℝ. f(x) = x3 is onto, f(x) =x2 is not onto. (Why?)

การทอดค่าบนฟังก์ชันออนทู Some functions that are, or are not, onto their codomains: • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • Onto (but not 1-1) Not Onto (or 1-1) Both 1-1 and onto 1-1 but not onto

Bijections Def. A function f is said to be a bijection, (or a one-to-one correspondence, or reversible, or invertible,) iff it is both one-to-one and onto. Def. For bijections f:AB, there exists an inverse of f, written f 1:BA, which is the unique function such that (where IA is the identity function on A)

Inverse functions

The Identity Function Def. For any domain A, the identity function I:AA (variously written, IA, 1, 1A) is the unique function such that aA, I(a)=a. Some identity functions you’ve seen: ing 0, ·ing by 1, ing with T, ing with F, ing with , ing with U. Remark. The identity function is always both one-to-one and onto (bijective).

Identity Function Illustrations The identity function: • • • y y = I(x) = x • • • • • • x Domain and range

กราฟของฟังก์ชัน We can represent a function f:AB as a set of ordered pairs {(a,f(a)) | aA}. Note that a, there is only 1 pair (a,b). Later topic: relations loosen this restriction. For functions over numbers, we can represent an ordered pair (x,y) as a point on a plane. A function is then drawn as a curve (set of points), with only one y for each x.

A Couple of Key Functions In discrete math, we will frequently use the following two functions over real numbers: Def. The floor function ·:ℝ→ℤ, where x (“floor of x”) means the largest (most positive) integer  x. Formally, x :≡ max({iZ|i≤x}). Def. The ceiling function ·:ℝ→ℤ, where x (“ceiling of x”) means the smallest (most negative) integer  x. Formally, x :≡ min({iZ|i≥x})

Visualizing Floor & Ceiling Real numbers “fall to their floor” or “rise to their ceiling.” Note that if xZ, x   x & x   x Note that if xZ, x = x = x. 3 . 1.6=2 2 . 1.6 . 1 1.6=1 1.4= 1 . 1 . 1.4 . 2 1.4= 2 . . . 3 3 3=3= 3

Plots with floor/ceiling Note that for f(x)=x, the graph of f includes the point (a, 0) for all values of a such that a0 and a<1, but not for the value a=1. We say that the set of points (a,0) that is in f does not include its limit or boundary point (a,1). Sets that do not include all of their limit points are generally called open sets. In a plot, we draw a limit point of a curve using an open dot (circle) if the limit point is not on the curve, and with a closed (solid) dot if it is on the curve.

Plots with floor/ceiling: Example Plot of graph of function f(x) = x/3: f(x) Set of points (x, f(x)) +2 3 x +3 2

ทบทวนเรื่องฟังก์ชัน Function variables f, g, h, … Notations: f:AB, f(a), f(A). Terms: image, preimage, domain, codomain, range, one-to-one, onto, strictly (in/de)creasing, bijective, inverse, composition. Function unary operator f 1, binary operators , , etc., and ○. The RZ functions x and x.

   จงเขียนหรือยกตัวอย่างฟังก์ชันต่อไปนี้ 1  ฟังก์ชันแบบหนึ่งต่อหนึ่ง (One-to-one) แต่ไม่เป็นฟังก์ชันแบบทั่วถึง (Onto) 2  ฟังก์ชันแบบทั่วถึงแต่ไม่เป็นฟังก์ชันแบบหนึ่งต่อหนึ่ง 3  ฟังก์ชันที่เป็นทั้งแบบทั่วถึงและแบบหนึ่งต่อหนึ่ง 4  ฟังก์ชันเชิงประกอบ (Composite function) เมื่อ g = {(1, b), (2, c), (3, a)} โดยที่ g เป็นฟังก์ชันจากเซต X = {1, 2, 3} ไปยังเซต A = {a, b, c, d} ส่วนฟังก์ชัน f = {(a, x), (b, x), (c, z), (d, w)} โดยที่ f เป็นฟังก์ชันจาก A ไปยัง B = {w, x, y, z}ให้หา gf