290214 Data Structures and Algorithms การเรียกซ้ำ (Recursion) อ.ธารารัตน์ พวงสุวรรณ คณะวิทยาศาสตร์และศิลปศาสตร์ มหาวิทยาลัยบูรพา วิทยาเขตสารสนเทศจันทบุรี thararat@buu.ac.th

เนื้อหา ความแตกต่าง ของ Iterative Solution และ Recursive Solution การนิยามแบบ Recursion Recursive Example Greatest Common Divisor (GCD) Fibonacci Numbers Towers of Hanoi

Approach to writing Repetition Algorithms Use Iteration Use Recursion Recursion is a repetitive process in which an algorithm calls itself Some older languages do not support recursion

A Classic Recursive Case Factorial เป็น case study Factorial(n) = 1 if n=0 n x (n-1) x (n-2) x ... x 3 x 2 x 1 if n >0

การหาค่าแฟกทอเรียล n! = 1 * 2 * 3 * 4 * ...* n เช่น 4! = 4 * 3 * 2 * 1 3! = 3 * 2 * 1 2! = 2 * 1 1! = 1

Iterative Factorial Algorithm Algorithm iterativeFactorial (n) Calculates the factorial of a number using a loop Pre n is the number to be raised factoriallly Post n! is returned Return factN เป็นค่า n! 1 set i to 1 2 set factN to 1 3 loop(i <= n) 1 set factN to factN * i 2 increment i 4 end loop 5 return factN end iterativeFactorial

Recursive Factorial Algorithm Algorithm recursiveFactorial (n) Calculates factorial of a number using recursion Pre n is the number to be raised factoriallly Post n! is returned Return ค่า n! 1 if (n equal 0) 1 return 1 2 else 1 return (n * recursiveFactorial (n-1)) 3 end if end recursiveFactorial

Recursive Programming คือ การเขียนโปรแกรมที่ฟังก์ชันในโปรแกรมนั้นมีการเรียกใช้งาน ตัวมันเอง (Call itself) เรียกฟังก์ชันที่มีการเรียกใช้งานตัวมันเองว่า “Recursive Function” บางปัญหาสามารถที่จะเขียนในรูปแบบของ recursion จะง่ายกว่า หลักการแก้ปัญหาในรูปแบบ recursion 1. นิยามปัญหาในรูปการเรียกตัวเอง 2. มีเงื่อนไขสำหรับจบการทำงาน “One important requirement for a recursive algorithm to be correct is that it not generate an infinite sequence of call on itself”

ลักษณะของ recursive function call itself directly call itself indirectly หรือเรียกว่า Recursive chains ตัวอย่างของ Recursive chains a(formal parameters) b(formal parameters) { { . . b(arguments); a(arguments); } /* end a */ } /* end b */ “Both a and b are recursive”

ตัวอย่าง int main(void) { printf(“The universe is never ending\n”); return 0; } //an infinite sequence of call on itself

การคำนวณหาค่าแฟกทอเรียลของจำนวนเต็มบวก การนิยามแบบ iterative n! = n * (n-1) * (n-2) * ... 1 อาจเขียนคำจำกัดความของฟังก์ชัน ได้ว่า n! = 1 if n ==0 n! = n * (n-1) * (n-2) * ... * 1 if n > 0

Iterative programming //Function for calculating factorial of integer long int fact(int n) { int x; prod = 1; for(x = n; x > 0; x--) prod = prod * x; return(prod); }

การนิยามแบบ Recursion เขียนปัญหาในรูปการเรียกตัวเอง n! = n * (n-1)! อาจเขียนคำจำกัดความของฟังก์ชัน ได้ว่า n! = 1 if n ==0 n! = n * (n-1)! if n > 0 2. หาเงื่อนไขสำหรับจบการทำงาน คือ เมื่อเรียกตัวเองจนถึง 0! = 1

Recursive programming //Function for calculating factorial of integer long int fact(int n) { if(n == 0) //condition for end calling itself return(1) else return(n * fact(n-1)); } Recursion

Recursive programming “Recursive function จะทำงานในลำดับที่กลับกันกับเวลาเรียกใช้” จากโปรแกรมหาค่าแฟกทอเรียลแบบ recursion การเรียกใช้จะเป็นลำดับดังนี้ n! = n * (n-1)! (n-1)! = (n-1) * (n-2)! (n-2)! = (n-2) * (n-3)! ......... 2! = 2 * 1! 1! = 1 * 0! 0! = 1

Recursive programming ค่าที่ส่งกลับมาจะเป็นลำดับที่กลับกัน ดังนี้ 0! = 1 1! = 1 * 0! = 1 2! = 2 * 1! = 2 * 1 = 2 3! = 3 * 2! = 3 * 2 = 6 4! = 4 * 3! = 4 * 6 = 24 ........ n! = n * (n-1)! = ......

Recursive programming ดังนั้น ส่ง 4 เข้าไปให้ฟังก์ชัน พอเรียกฟังก์ชัน จะได้ return(4 * return(3 * return(2 * return(1 * return(1); จะเห็นว่า ค่าส่งกลับจะเป็น return(4*3*2*1*1)

Recursive Example เป็นตัวอย่างของการแก้ปัญหาแบบ Recursion Greatest Common Divisor (GCD) Fibonacci Numbers Towers of Hanoi

Greatest Common Division(GCD) เป็นฟังก์ชันทางคณิตศาสตร์ ที่รู้จักกันว่า การหาตัวหารร่วมมาก (ห.ร.ม.) gcd ของจำนวนเต็มซึ่งไม่เป็น 0 พร้อมกัน คือจำนวนเต็มที่มากที่สุดที่หารทั้งสองจำนวนลงตัว เช่น gcd ของ 10 กับ 25 คือ 5 มีประโยชน์ในการทำเศษส่วนให้เป็นเศษส่วนอย่างต่ำ ใช้ Euclidean Algorithm ในการหา gcd ของจำนวนเต็มที่ไม่เป็นค่าลบ

Greatest Common Division(GCD) gcd (a,b) = a if b = 0 b if a = 0 gcd (b, a mod b) otherwise

Greatest Common Division(GCD) Algorithm gcd (a, b) Calculates greatest common division using the Euclidean algorithm Pre a and b are positive integers greater than 0 Post greatest common divisor returned Return greatest common divisor returned ............................................... ................................................. .................................................. end gcd

การหา Fibonacci numbers การหาชุดของ Fabonacci series จะต้องทราบตัวเลข 2 ตัวแรก นิยาม Fib(n) = n if n = 0 or n = 1 Fib(n) = Fib(n-1) + Fib(n-2) if n > 1

Fibonacci numbers เขียนเป็น recursive function ได้ว่า int fib(int n) { int x,y; if(n<= 1) return(n); x = fib(n-1); y = fib(n-2); return(x+y); }

ต้องการเคลื่อนย้าย disk ทั้งหมดไปไว้อีก peg หนึ่ง Tower of Hanoi Problem B C A เป้าหมาย ต้องการเคลื่อนย้าย disk ทั้งหมดไปไว้อีก peg หนึ่ง ข้อกำหนด เคลื่อนย้ายครั้งละ 1 disk เท่านั้นโดยเคลื่อนย้ายจาก disk บนสุดก่อน - ไม่อนุญาตให้ disk ที่ใหญ่กว่าซ้อนบน disk ที่เล็กกว่า

จากรูปดังกล่าว หากเราต้องการเคลื่อนย้าย disk ทั้งหมดจาก A ไป C Recursive solution for Towers of Hanoi Problem if n==1, move the single disk from A to C and stop 2. Move the top n-1 disks from A to B, using C as auxiliary 3. Move the remaining disk from A to C 4. Move the n-1 disks from B to C, using A as auxiliary

A B C A B C

A B C A B C

โดยทั่วไป โปรแกรมที่มีลักษณะ nonrecursive การประมวลผลจะมี Efficiency of recursion โดยทั่วไป โปรแกรมที่มีลักษณะ nonrecursive การประมวลผลจะมี มีประสิทธิภาพดีกว่าโปรแกรมที่มีลักษณะ recursive ในด้านของเวลาและพื้นที่ หน่วยความจำ (space) แต่ลักษณะบางโปรแกรมก็เหมาะที่จะเขียนแบบ recursive เพราะจะทำให้ง่ายกว่าและเกิดข้อผิดพลาดได้น้อยกว่าแบบ nonrecursive ข้อดีของ recursive programming - เขียนได้สั้น ง่าย - มองเห็นแนวทางการแก้ปัญหาได้ชัดเจน - ใช้เวลาไม่มากในการเขียนโปรแกรม

ข้อเสียของ recursive programming จากทำให้มีการทำงานที่ซ้ำซ้อน เช่น การหา Fibonacci number Fib(n) = n if n = 0 or n = 1 Fib(n) = Fib(n-1) + Fib(n-2) if n > 1 ตัวอย่าง Fib(5) = Fib(4) + Fib(3) Fib(4) = Fib(3) + Fib(2) Fib(3) = Fib(2) + Fib(1) Fib(2) = Fib(1) + Fib(0)