170 121 Engineering Mathematics II 5 ธันวาคม 2546 Chapter 12 Multiple Integrals 170 121 Engineering Mathematics II 5 ธันวาคม 2546

Integrals Integration หมายถึงการรวมกัน ซึ่งตรงข้ามกัน differentiation หรือการ แตกส่วนย่อยที่เรียกว่า อนุพันธ์ นั่นเอง ความหมายของการอินทีเกรตในเชิงเรขาคณิต ในกรณีของฟังก์ชันตัวแปรเดียว สูตรการอินทีเกรตทางคณิตศาสตร์คือ f(x) f(x) เราจะเห็นว่ามี dx อยู่ในสูตรซึ่งหมายถึงช่วงน้อยๆ ของ x ส่วน f(x) ก็คือความสูงของกราฟ ดังนั้น f(x)dx ก็คือแท่ง 1 แท่งในรูป ซึ่งเป็นส่วนน้อยๆ ของพื้นที่ใต้กราฟ และการอินทีเกรตของ f(x)dx ก็คือการนำเอาส่วนน้อยๆของพื้นที่ใต้กราฟมารวม กัน เราจะได้พื้นที่ใต้กราฟออกมา หลักการนี้สามารถ ขยายผลไปใช้กับฟังก์ชันหลายตัวแปรได้ x dx

Multiple Integrals Multiple integration เป็นวิธีการอินทีเกรตสำหรับฟังก์ชันหลายตัวแปร ซึ่งเราใช้สัญลักษณ์ดังนี้ วิธีการอินทีเกรตสำหรับฟังก์ชันหลายตัวแปร มีข้อแตกต่างจากการอินทีเกรตตัวแปรเดียวดังนี้ - เนื่องจากเรามีตัวแปรอิสระหลายตัว แต่การอินทีเกรตทำได้ทีละตัวแปร ดังนั้นการอินทีเกรตฟังก์ชันหลายตัวแปร จะเป็นการอินทีเกรตทีละตัวแปร หลายๆครั้งจนครบทุกตัวแปร ซึ่งการปฏิบัติจะยากกว่าการอินทีเกรตฟังก์ชันตัวแปรเดียว ที่มีการอินทีเกรตเพียงครั้งเดียว

Double Integrals over Rectangles Multiple integral แบบที่ง่ายที่สุดคือการอินทีเกรตแบบสองชั้นซึ่งใช้กับฟังก์ชัน สองตัวแปรโดยเฉพาะ เราเรียกว่า Double integral ที่มาของDouble integral เป็นดังนี้ สมมุติว่ามี ที่ประกาศไว้ พื้นที่ย่อยในแต่ละช่องคือ ในช่วง เมื่อแบ่ง R ออกเป็นตารางย่อยๆดังรูป เราสามารถหาผลรวม Rieman sum d c เมื่อให้ จะได้ a b

Geometrical Interpretation of Double Integrals ความหมายทางเรขาคณิตของการอินทีเกรตของฟังก์ชันตัวแปรเดียว ก็คือการหาพื้นที่ ใต้กราฟ 1 มิติ แต่สำหรับ Double integral ให้เราจิตนาการว่า function f(x,y) คือหลังคาโดม แล้ว Double integral จะหมายถึงการหาปริมาตรใต้หลังคาโดมดังรูป (ให้จินตนาการว่าเป็นหลังคาโดม) z ปริมาตรในช่องว่างจากพื้นห้อง ถึงหลังคาโดมคือค่าที่ได้จาก การทำ Double integral ระนาบ XY คือพื้นห้อง x y

Geometrical Interpretation of Double Integrals (cont.) การหาผลรวมใน Slide แผ่นที่ 2 เปรียบได้กับการประมาณปริมาตรใต้หลังคาห้อง โดยใช้ปริมาตรของแท่งปริซึ่มในรูปมารวมกัน แท่งแต่ละแท่งมีปริมาตรเท่ากับ ผลรวมของปริมาตรทุกแท่งจะได้ z เมื่อแบ่งปริมาตรให้ละเอียดขึ้น โดยใช้แท่งปริซึ่มที่มีพื้นที่ฐานเล็กลง แต่มีจำนวนแท่งมากขึ้น ในที่สุดเราจะได้ x y

Properties of Double Integrals 1. 2. 3. 4. 5. If R1 R2 R =

Fubini’s Theorem for Calculating Double Integrals สมมุติว่าเราต้องการคำนวณปริมาตรของแท่งเหลี่ยมดังรูป พื้นผิวด้านบนสุด (หลังคา) คือระนาบ z = 4 - x - y ส่วนฐานของแท่งเป็นพื้นที่ในช่วง เราสามารถใช้สูตร Double intregral ดังนี้ ปริมาตร อินทีเกรตชั้นแรก พิจารณาเฉพาะ โดยมอง x = ค่าคงที่ เราจะได้ พื้นที่หน้าตัด อินทีเกรตชั้นต่อมาได้

Examples: Fubini’s Theorem เราจะได้ ปริมาตร อินทีเกรตขั้นแรก พิจารณาเฉพาะ โดยให้คิดว่า y = ค่าคงที่ จะได้ = พื้นที่หน้าตัด อินทีเกรตชั้นต่อมาได้ ซึ่งจะได้ผลเหมือนเดิม ซึ่งจะได้ทฤษฎีของ Fubini เป็น

หลักในการทำ Double Integrals เนื่องจากฟังก์ชันที่เราจะทำการอินทีเกรตนั้นมีตัวแปรอิสระ 2 ตัวคือ x และ y ดังนั้น เราจะต้องอินทีเกรตเทียบกับตัวแปรทีละตัวดังนี้ 1. คำนวณ เทียบกับตัวแปรตัวแรก (y) โดยคิดว่า x เป็นค่าคงที่ ผลลัพธ์การอินทีเกรต จะได้เป็น function ของ x อย่างเดียว (เนื่องจาก y ถูกแทนค่าด้วย c และ d ไปแล้ว) 2. ทำการอินทีเกรตผลลัพธ์ที่ได้ในข้อ1 เทียบกับตัวแปรที่เหลือ (คือตัวแปร x) ในทางกลับกัน เราสามารถอินทีเกรต f(x,y) เทียบกับ x ก่อน แล้วจึงอินทีเกรต เทียบกับ y ทีหลังก็ได้ ตามทฤษฎีของ Fubini ซึ่งจะได้ผลเหมือนกัน

Double Integrals over Bounded Nonrectangular Regions Integration ได้โดยการแบ่งพื้นที่ออกเป็นสี่เหลี่ยมเล็กๆ แล้วหาผลรวม Rieman เมื่อเราแบ่งให้สี่เหลี่ยมละเอียดขึ้น โดยให้ขนาดเล็กลง และเพิ่มจำนวนขึ้น จะได้ โดย สรุป ขอบเขตการอินทีเกรตจะเป็นรูป ทรงใดก็ได้ ส่วนตัวอนุพันธ์ เราจะใช้ dA ซึ่งหมายถึงว่าเราอินทีเกรต f(x,y) เทียบ กับพื้นที่ฐานในระนาบ XY นั้นเอง

Double Integrals over Bounded Nonrectangular Regions สี่เหลี่ยมผืนผ้า เราอาจจะจินตนาการว่า เรามีหลังคาโดม เป็น f(x,y) และมี พื้นห้องเป็นรูปวงรี ดังรูป การทำ Double integral ก็คือการหาปริมาตรของช่องว่าง ระหว่างหลังคากับพื้นห้องนั่นเอง

Fubini’s Theorem ทฤษฎีของ Fubini สำหรับการทำ Double integral ที่ขอบเขตการอินทีเกรต เป็นรูปทรงใดๆ มีดังนี้ ให้ f(x,y) ต่อเนื่องบน พื้นที่ (region) R 1. ถ้า Region R ประกาศไว้ในช่วง โดย ต่อเนื่องในช่วง [a,b] จะได้ 1. ถ้า Region R ประกาศไว้ในช่วง โดย ต่อเนื่องในช่วง [c,d] จะได้

Double Integral in dy dx Order ในกรณีที่ 1: Region R: ในกรณีนี้ ค่า y จะอยู่ระหว่าง g1(x) และ g2(x) เราจะต้องอินทีเกรตเทียบกับตัวแปร y ก่อน เพื่อจะกำจัด y ออกไป จากนั้นจึงค่อยอินทีเกรต ผลลัพธ์ที่ได้เทียบกับตัวแปร x 1. คำนวณ ได้เป็น 2. แทนค่า (เพื่อกำจัด y) ได้ผลลัพธ์เป็น H(x) ซึ่งเป็นฟังก์ชันของ x ตัวแปรเดียว 3. อินทีเกรตผลในข้อ 2 เทียบกับ x

Example: Double Integral in dy dx Order จงหาปริมาตรของแท่งปริซึ่มที่มีด้านบนเป็นระนาบ z = 3- x - y และพื้นที่ฐานเป็น สามเหลี่ยมดังรูป วิธีทำ 1. หาขอบเขตการอินทีเกรต x y z 1.1 หาขอบเขตของค่า y จากรูป จะเห็นว่าสามเหลี่ยมประกอบ ด้วย ขอบล่างเป็นเส้นตรง y = 0 และขอบบนเป็น y = x ระนาบ z = 3-x-y 1.2 หาขอบเขตของค่า x จากรูป จะเห็นว่าค่า x เริ่มจาก x = 0 จนถึงค่า x = 1 พื้นที่ฐานรูปสามเหลี่ยม จะได้สูตร ปริมาตร ขอบด้านล่าง เส้น y = 0 x y ขอบด้านบน เส้น y = x 1 พื้นที่ฐานสามเหลี่ยม เมื่อมองจากด้านบน

Example: Double Integral in dy dx Order (continued) z ปริมาตร ระนาบ z = 3-x-y 2. อินทีเกรตในชั้นแรก พื้นที่ฐานรูปสามเหลี่ยม 3. อินทีเกรตในชั้นที่สอง x y เส้น y = x 1 เส้น y = 0

Procedure for Finding Limit of Integration in dy dx Order การเริ่มต้นการทำ Multiple integral เริ่มจากการเขียนสูตรการอินทีเกรตซึ่งมีความสำคัญมาก โดยเฉพาะอย่างยิ่งการหาขอบเขตการอินทีเกรต ซึ่งสามารถทำเป็นขั้นตอนได้ดังนี้ ตัวอย่าง กำหนดให้ ขอบเขตการอินทีเกรตเป็น พื้นที่ระหว่างส่วนโค้งของวงกลม x2+y2 = 1 กับเส้นตรง x+y = 1 ดังในรูป 1. เราต้องกำหนด ลำดับการอินทีเกรต ว่าจะทำกับตัวแปรใดก่อน ในข้อนี้เป็นการอินทีเกรตเทียบกับ y ก่อน 2. เมื่อเป็นการอินทีเกรตเทียบกับ y ก่อน ต้องพยายามหาขอบบนและขอบล่างของพื้นที่ ในรูปฟังก์ชันของตัวแปร x (ขอบล่างเป็นสมการ y = g1(x) ส่วนขอบบนเป็น y = g2(x)) ในข้อนี้จะได้ ขอบล่างเป็น ขอบบนเป็น 3. หาขอบเขตของ x ในรูปตัวเลขค่าต่ำสุดและสูงสุดของ x ในข้อนี้จะได้ ค่าต่ำสุด x = 0 ค่าสูงสุด x = 1 ได้สูตรการอินทีเกรต

Double Integral in dx dy Order ในกรณีที่ 2: Region R: ในกรณีนี้ ค่า x จะอยู่ระหว่าง h1(y) และ h2(y) เราจะต้องอินทีเกรตเทียบกับตัวแปร x ก่อน เพื่อจะกำจัด x ออกไป จากนั้นจึงค่อยอินทีเกรต ผลลัพธ์ที่ได้เทียบกับตัวแปร y 1. คำนวณ ได้เป็น 2. แทนค่า (เพื่อกำจัด x) ได้ผลลัพธ์เป็น G(y) ซึ่งเป็นฟังก์ชันของ y ตัวแปรเดียว 3. อินทีเกรตผลในข้อ 2 เทียบกับ y

Example: Double Integral in dx dy Order จงหาปริมาตรของแท่งปริซึ่มที่มีด้านบนเป็นระนาบ z = 3- x - y และพื้นที่ฐานเป็น สามเหลี่ยมดังรูป วิธีทำ 1. หาขอบเขตการอินทีเกรต x y z 1.1 หาขอบเขตของค่า x จากรูป จะเห็นว่าสามเหลี่ยมประกอบ ด้วย ขอบซ้ายเป็นเส้นตรง x = y และขอบขวาเป็น x = 1 1.2 หาขอบเขตของค่า y จากรูป จะเห็นว่าค่า y เริ่มจาก y = 0 จนถึงค่า y = 1 จะได้สูตร ปริมาตร y 1 ขอบด้านขวา เส้น x = 1 ขอบด้านซ้าย เส้น x = y x 1

Example: Double Integral in dx dy Order (continued) z ปริมาตร 2. อินทีเกรตในชั้นแรก 3. อินทีเกรตในชั้นที่สอง y x 1

Procedure for Finding Limit of Integration in dx dy Order ตัวอย่าง ให้ขอบเขตการอินทีเกรตเป็น พื้นที่ระหว่างส่วนโค้ง x2+y2 = 1กับเส้นตรง x+y = 1 1. เมื่อเป็นการอินทีเกรตเทียบกับ x ก่อน ต้องพยายามหาขอบซ้ายและขอบขวาของพื้นที่ ในรูปฟังก์ชันของตัวแปร y (ขอบซ้ายเป็นสมการ x = h1(y) ส่วนขอบขวาเป็น x = h2(y)) ในข้อนี้จะได้ ขอบซ้ายเป็น ขอบขวาเป็น 2. หาขอบเขตของ y ในรูปตัวเลขค่าต่ำสุดและสูงสุดของ y ค่าต่ำสุด y = 0 ค่าสูงสุด y = 1 ได้สูตรการอินทีเกรต

Example: Double Integral y เส้น y = x 1 R จงคำนวณค่า โดย R เป็น Region ดังในรูป วิธีทำ 1. กำหนดลำดับการอินทีเกรต ในข้อนี้ให้ทำกับ y ก่อน 2. หาขอบเขตการอินทีเกรตได้ 3. เขียนสูตร 4. อินทีเกรตชั้นแรก 5. อินทีเกรตชั้นที่สอง

Example: Double Integral (continued) y เส้น y = x 1 R จงคำนวณค่า โดย R เป็น Region ดังในรูป โดยกำหนดให้อินทีเกรตเทียบกับ x ก่อน 1. หาขอบเขตการอินทีเกรตได้ 2. เขียนสูตร 3. อินทีเกรตชั้นแรก ทำได้ยากกว่าตัวอย่างที่แล้วมาก 4. อินทีเกรตชั้นที่สองต่อไป ….. ข้อนี้จะเห็นว่า ลำดับการอินทีเกรตมีผลต่อความยากง่ายของรูปสมการ ซึ่งต้องอาศัยประสบการณ์ ในการเลือกลำดับการอินทีเกรต

Example 2: Double Integral จงคำนวณ โดย R เป็น Region ระหว่างเส้นตรง และ เส้นโค้ง ดังรูป วิธีทำ 1. กำหนดลำดับการอินทีเกรต และหาขอบเขต -0.5 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 เส้นตรง R (0,1) (3,4) ในข้อนี้ถ้า อินทีเกรต y ก่อน เราจะได้ขอบเขตดังนี้ 1.1 ขอบบนได้สมการ 1.2 ขอบล่างได้สมการ หาขอบเขตของ x จากรูปจุดตัดระหว่าง เส้นทั้งสองคือจุด (0,1) และ (3,4) ดังนั้นค่าต่ำสุดของ x คือ 0 และค่าสูงสุดคือ 3 ได้สูตร

Example 2: Double Integral (continued) 2. อินทีเกรตชั้นแรก -0.5 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 เส้นตรง R (0,1) (3,4) 3. อินทีเกรตชั้นที่สอง

Example 3: Double Integral จงคำนวณ โดย R เป็น Region ระหว่างเส้นตรง และ เส้นโค้ง ดังรูป โดยกำหนดให้อินทีเกรตเทียบกับ x ก่อน ในข้อนี้ถ้าอินทีเกรต x ก่อน เราจะต้องแบ่งพื้นที่เป็น 2 ส่วนดังนี้ -0.5 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 (3,4) พื้นที่ R1 ขอบซ้ายได้สมการ ขอบขวาได้สมการ ขอบเขตของ y ได้ R2 พื้นที่ R2 ขอบซ้ายได้สมการ (0,1) R1 ขอบขวาได้สมการ ขอบเขตของ y ได้ เส้นตรง ได้

Example 3: Double Integral (continued) 2. อินทีเกรตชั้นแรก พื้นที่ R1 พื้นที่ R2 3. อินทีเกรตชั้นที่สอง

Areas of Bounded Regions in the Plane ในกรณีที่เราให้ f(x,y) = 1 เมื่อเราทำ Double integrals เราจะได้ผลลัพธ์เป็นพื้นที่ R ออกมา เริ่มจาก เราแบ่ง R ออกเป็นสี่เหลี่ยมเล็ก แล้วหาผลรวม ผลรวม Sn นี้คือการประมาณพื้นที่ของ R เมื่อเราแบ่งให้สี่เหลี่ยมละเอียดขึ้น โดยให้ขนาดเล็กลง และเพิ่มจำนวนขึ้น จะได้ สูตรนี้ใช้หาพื้นที่ของรูปทรงใดๆ

Example 1: Areas of Bounded Regions in the Plane (1,1) y (0,0) จงหาพื้นที่ของ R ในรูป วิธีทำ 1. หาขอบเขตการอินทีเกรต จากรูปจะเห็นว่า ขอบบนคือสมการ ขอบล่างคือสมการ ส่วนค่า x อยู่ระหว่าง ได้ Area

Example 2: Areas of Bounded Regions in the Plane จงคำนวณหาพื้นที่ R ที่อยู่ระหว่างเส้นโค้ง y = x2 และ เส้นตรง y = x+2 วิธีทำ R x y (2,4) (-1,1) 1. หาจุดตัดระหว่างเส้นโค้ง และ เส้นตรง จัดรูปให้สองสมการเท่ากัน ได้ ได้คำตอบ และ ได้จุดตัด (-1,1) และ (2,4) 2. หาขอบเขตการอินทีเกรต จากรูปจะเห็นว่า ขอบบนคือสมการ ขอบล่างคือสมการ ส่วนค่า x อยู่ระหว่าง 3. คำนวณ Area

Example 2: Areas of Bounded Regions in the Plane (cont.) ในกรณีที่เราให้ลำดับการอินทีเกรตเป็น dx dy เราจะต้องทำดังนี้ y เนื่องจากเราไม่สามารถเขียนขอบเขตการอินทีเกรตชุดเดียวครอบ คลุมพื้นที่ได้หมด จึงจำเป็นต้องแบ่งพื้นที่เป็น 2 ช่วง (2,4) ในช่วง R1 ได้พื้นที่ R2 (-1,1) R1 x ในช่วง R2 ได้พื้นที่ ได้พื้นที่รวม

Average Value การหาค่าเฉลี่ยของ f(x,y) ใน Domain R เราสามารถใช้สูตร ตัวอย่าง จงหาค่าเฉลี่ยของ f(x,y) = xcos(xy) ในบริเวณ R: วิธีทำ 1. คำนวณ 2. คำนวณค่าเฉลี่ย =

Moments and Centers of mass การประยุกต์ใช้งานอย่างหนึ่งของ Double integrals คือการหา Moment และจุดศูนย์กลางมวล ของวัตถุแผ่นบางดังสูตรต่อไปนี้ ให้ เป็นความหนาแน่นของวัตถุแผ่นบาง (มีหน่วยเป็น น้ำหนักต่อพื้นที่) เราสามารถคำนวณมวลได้ดังนี้ First order moments เทียบกับแกน x : เทียบกับแกน y : Center of Mass (จุดศูนย์กลางมวล) โดย วัตถุแผ่นบาง

Moments and Centers of mass (continued) Moment of inertia (second order moment) เทียบกับแกน x = เทียบกับแกน y = เทียบกับจุด (0,0) = Moment of inertia about a line L โดย r(x,y) คือระยะทางจากจุด (x,y) ถึงเส้นตรง L Radii of Gyration (รัศมีของไจเรชัน) รัศมีเทียบกับแกน x = รัศมีเทียบกับแกน y = รัศมีเทียบกับจุด (0,0) =

Example: Moments and Centers of mass มีโลหะแผ่นบางเป็นรูปสามเหลี่ยมดังรูป และมีความหนาแน่นที่จุด (x,y) เป็น 6x+6y+6 kg/m2 y = 2x (1,2) x y 1 มวล = First order moment Center of Mass

Example: Moments and Centers of mass (continued) Moment of inertia y = 2x (1,2) x y 1 Radii of Gyration

Centroids of Geometric Figures ดังตัวอย่างต่อไปนี้ ตัวอย่าง จงหาจุด Centroid ของ Region R วึ่งอยู่ระหว่าง เส้นโค้ง y = x2 และเส้นตรง y = x R (1,1) y (0,0) ได้

Polar Coordinate System ที่วัดจากแกน x (โดยกำหนดให้ค่าของมุมเป็นบวก เมื่อมุมนั้นอยู่ในทิศทวนเข็มนาฬิกา) และค่ารัศมี คือค่าระยะทางจากจุด (0,0) ถึงจุดที่เราอยู่ จุด (1,1) ในระบบ Rectangular coordinate system สามารถแปลง เป็นระบบ Polar coordinate system ได้ดังนี้ ตัวอย่าง y (1,1) ได้จุด ในระบบ Polar coordinate x สรุปสูตรการแปลงระหว่าง Rectangular และPolar coordinate

Polar Coordinate System Reflection of a point about the x-axis ใน Rectangular coordinate นั้นจุด (x,y) จะมี จุด (x,-y) เป็นจุด “สะท้อน” โดยเทียบกับแกน x ใน Polar coordinate นั้นจุด (r,q) จะมี จุด (r,-q) เป็นจุด “สะท้อน” โดยเทียบกับแกน x Reflection of a point about the y-axis ใน Rectangular coordinate นั้นจุด (x,y) จะมี จุด (-x,y) เป็นจุด “สะท้อน” โดยเทียบกับแกน y ใน Polar coordinate นั้นจุด (r,q) จะมี จุด (r,p-q) หรือ(-r,-q) เป็นจุด “สะท้อน” โดยเทียบกับแกน y

Polar Coordinate System Reflection of a point about the origin ใน Rectangular coordinate นั้นจุด (x,y) จะมี จุด (-x,-y) เป็นจุด “สะท้อน” โดยเทียบกับจุด Origin ใน Polar coordinate นั้นจุด (r,q) จะมี จุด (-r,q) หรือจุด (r,p+q) เป็นจุด “สะท้อน” โดยเทียบกับจุด Origin เส้นตรงและวงกลมใน Polar coordinate เส้นตรง q = c หมายถึงส่วนของเส้นตรงที่เริ่มจากจุด (0,0) และทำมุมกับแกน x เป็นมุม c เส้นโค้ง r = c หมายถึงวงกลมรัศมีเท่ากับ c และมีจุดศูนย์กลาง ที่ (0,0) Polar coordinate ใช้ได้ดีกับรูปทรงที่เป็นส่วนของวงกลม หรือรูปทรงที่อธิบายโดยฟังก์ชันทาง ตรีโกณมิติในระบบ Rectangular coordinate

Polar Graphs Polar graph มักจะอยู่ในรูป r = function of q ซึ่งเราสามารถวาดรูปกราฟเหล่านี้ ได้โดยอาศัยหลักการดังนี้ 1. กำหนดช่วงของ q 2. คำนวณ r = f(q) แล้วเก็บเป็นตาราง 3. Plot จุด (r,q) โดย ให้มุม = q และระยะทาง จากจุด (0,0) เท่ากับ r กราฟ r = 1 - cos(q)

Advantage of Polar Coordinate System ระบบ Rectangular coordinate (x,y) เหมาะสำหรับการ อธิบายรูปทรงที่เป็นสี่เหลี่ยมผืนผ้า แต่จะไม่เหมาะที่จะอธิบายรูปทรง ที่เป็นส่วนโค้งของวงกลมดังรูป B A C ถ้าเราใช้ Rectangular coordinate เราจะต้องแบ่งพื้นที่ ออกเป็น 3 ส่วนดังนี้ -2 -1 1 2 (0,0) R2 = 2 ส่วน A R1 = 1 ส่วน B ส่วน C ถ้าเราใช้ระบบ Polar coordinate เราสามารถอธิบายรูปทรงนี้ได้ดังนี้ ซึ่งจะง่ายกว่าใช้ระบบ Rectangular coordinate มาก

Double Integrals in Polar Form ของระบบ Rectangular Coordinate นั้น เราทำการแบ่ง R เป็นพื้นที่สี่เหลี่ยมย่อยๆ แล้วจึง หาผลรวม จะได้ การทำ Double integral ในระบบ Polar coordinate ก็เช่นเดียวกัน เราสามารถแบ่ง R ออกเป็นพื้นที่ย่อยๆตามรูปแล้วหาผลรวม ซึ่งเมื่อ Take limit ให้ จะได้

เราจะได้สูตรการอินทีเกรตสำหรับ Double Integrals in Polar Form ข้อแตกต่างระหว่างสูตร Double integral ในระบบ Rectangular coordinate กับของระบบ Polar coordinate คือ DA หรือ dA คำนวณมาจากคนละสมการ ในระบบ Polar coordinate DA คำนวณได้จาก พื้นที่ของ Large sector - พื้นที่ของ small sector เราจะได้สูตรการอินทีเกรตสำหรับ Polar coordinate เราจะได้ ในระบบ Rectangular coordinate เราจะได้

Finding Limits of Integration in Polar Form ในการหาขอบเขตของการอินทีเกรตในระบบ Polar coordinate เรานิยมกำหนดให้ ขอบเขตของ r อยู่ในรูปของ function ของ q และให้ขอบเขตของ q เป็นค่าคงที่ เพื่อความสะดวก 1. เราจะกำหนดขอบเขตของ r เป็น รัศมีวงใน และ รัศมีวงนอก โดย รัศมีวงใน รัศมีวงนอก 2. กำหนดขอบเขตของมุม q มุมเริ่มต้น มุมสิ้นสุด ได้สูตรการอินทีเกรตเป็น

Finding Limits of Integration in Polar Form ขั้นตอนในการหาขอบเขตการอินทีเกรตในระบบ Polar coordinate เป็นดังนี้ 1. หาขอบเขตของ r คือ รัศมีวงนอก และรัศมีวงใน โดยมากโจทย์มักจะกำหนดขอบเขต Region อยู่ในรูปฟังก์ชัน ในระบบ Rectangular coordinate ดังนั้นเราจึงต้องแปลง ให้อยู่ในรูป Polar coordinate ก่อน โดยใช้สูตร รัศมีวงนอก มีสมการ เขียนในรูป Polar form ได้ ได้ หรือ r = 2 เขียนในรูป Polar form ได้ รัศมีวงใน มีสมการ หรือ

Finding Limits of Integration in Polar Form (continued) วิธีการหาว่าขอบใดของ Region คือรัศมีวงใน ขอบใดคือรัศมีวงนอก ให้ดูที่ ระยะทางจากจุด (0,0) ถึงขอบนั้นๆ - ถ้าขอบใดใกล้จุด (0,0) มากที่สุดให้ถือว่าขอบนั้นเป็นขอบใน - ถ้าขอบใดไกลจุด (0,0) มากที่สุดให้ถือว่าขอบนั้นเป็นขอบนอก ขอบนี้อยู่ไกลกว่า ให้ถือว่าเป็นรัศมีวงนอก ขอบนี้อยู่ใกล้กว่า ให้ถือว่าเป็นรัศมีวงใน

Finding Limits of Integration in Polar Form (continued) 2. ขั้นตอนต่อมาคือการหาขอบเขตของ q โดยดูจากมุมที่เล็กที่สุด และมุมที่โตที่สุดที่เส้นตรงในแนวรัศมีสัมผัสกับ Region มุมที่เล็กที่สุดในข้อนี้คือ (1,1) มุมที่โตที่สุดในข้อนี้คือ 3. ขั้นตอนสุดท้ายคือการเขียนสูตรการอินทีเกรต ในข้อนี้เราจะได้ ระวังอย่าลืมใส่ r ตรงนี้ !

Example: Finding Limits of Integration in Polar Form จงเขียนสูตรการอินทีเกรตฟังก์ชัน f(r,q) = rcosq ในรูป Polar form ของ Region ในภาพ 1. หาขอบเขตของ r ในที่นี้ในบริเวณ Region R จะเห็นว่า r1 จะอยู่ใกล้กว่า r2 ดังนั้นจะได้ r1 เป็นรัศมีวงใน r2 เป็นรัศมีวงนอก 2. หาขอบเขตของมุม q โดยดูจากจุดตัดของ สมการทั้งสอง จุดตัดด้านล่างอยู่ที่มุม รัศมีวงนอก จุดตัดด้านบนอยู่ที่มุม 3. ได้สูตร R รัศมีวงใน

Area in Polar Coordinates ในกรณีที่เรากำหนดให้ f(r,q) = 1 เราจะได้สูตรการอินทีเกรตเป็น ซึ่งจะได้พื้นที่ออกมา Area = ตัวอย่าง จงหาพื้นที่ของวงปิด ในข้อนี้เราจะแบ่งพื้นที่ออกเป็น 4 ส่วน แล้วหาพื้นที่เพียงส่วนเดียวแล้วคูณด้วย 4 1. หาขอบเขตของ r ในข้อนี้จะเห็นว่าเราไม่มีรัศมีวงใน ดังนั้นรัศมีวงในคือ 0 ส่วนรัศมีวงนอกคือ 2. หาขอบเขตของ q มุมที่เล็กที่สุดคือมุม q = 0 มุมที่โตที่สุด: เนื่องจากเส้นโค้ง ผ่านจุด (0,0) ที่จุดนี้ได้ r = 0 ได้ เราได้ หรือ หรือ

Area in Polar Coordinates (continued) ดังนั้นได้สูตรหาพื้นที่ในรูปเป็น ทำการอินทีเกรตชั้นแรกได้ ทำการอินทีเกรตชั้นที่สองได้ พื้นที่รวมทั้งหมด =

Changing Cartesian Integrals into Polar Integrals การแปลงจากระบบ Rectangular coordinate เป็น Polar coordinate บางครั้งจะช่วยให้ การอินทีเกรตทำได้ง่ายขึ้นดังตัวอย่างนี้ ตัวอย่าง จงคำนวณค่า R 1 x y ในข้อนี้ ขอบเขตการอินทีเกรตคือพื้นที่ 1/4 ของวงกลมดังรูป ถ้าอินทีเกรตโดยตรงจะเป็นดังนี้ อินทีเกรตชั้นแรก อินทีเกรตชั้นที่สอง ทำต่อไปจะลำบาก

Changing Polar Integrals into Cartesian Integrals ในข้อเดียวกันถ้าเราเปลี่ยนมาใช้ Polar coordinate จะต้องมีขั้นตอนดังนี้ 1. ใน function f(x,y) เราจะต้องแทน x ด้วย rcosq และแทน y ด้วย rsinq จะได้ f(r,q) เป็น R 1 x y 2. หาขอบเขตการอินทีเกรตใหม่ในรูป r และ q ได้ รัศมีวงใน r = 0 รัศมีวงนอก r = 1 มุมต่ำสุด q = 0 มุมสูงสุด q = p/2 3. เขียนสูตรการอินทีเกรต 4. คำนวณ

Example: Changing from rectangular to polar form จงคำนวณค่า (ข้อนี้มีขอบเขตการอินทีเกรตเป็น ระนาบ XY ทั้งหมด) วิธีทำ 1. เปลี่ยนรูปเป็น Polar form ได้ 2. หาขอบเขตการอินทีเกรตในรูป r และ q ได้ รัศมีวงใน r = 0 รัศมีวงนอก r = ¥ มุมต่ำสุด q = 0 มุมสูงสุด q = 2p 3. เขียนสูตรการอินทีเกรต 4. คำนวณ

Triple Integrals in Rectangular Coordinates ในกรณีของการอินทีเกรต function 3 ตัวแปรในระบบ Rectangular coordinate เรามีวิธีคิดดังนี้ D x y z กำหนดให้ขอบเขตการอินทีเกรตเป็น Region D ดังรูป ถ้าเราแบ่ง D ออกเป็นกล่องสี่เหลี่ยมเล็กโดยมี ความกว้างเป็น Dx ความยาวเป็น Dy ความสูงเป็น Dz ปริมาตรของกล่องจะเป็น เราจะได้ผลรวม Rieman sum เป็น Dz Dv Dx Dy เมื่อให้ Dv เข้าใกล้ 0 จะได้

Properties of Triple Integrals 1. 2. 3. 4. 5. If D1 D = D2

Comparison Between Double integrals and Triple integrals dA (โดย A ย่อมาจาก Area) เพราะว่าขอบเขตการอินทีเกรต (R) เป็นพื้นที่ในระนาบ 2 มิติ (ระนาบ XY) z ในกรณีของ Triple integral ตัวอนุพันธ์จะใช้เป็น dV (โดย V ย่อมาจาก Volume) เพราะว่าขอบเขตการอินทีเกรต (D) เป็นปริมาตรใน 3 มิติ D dV y หมายเหตุ ในกรณีนี้เรามีตัวแปรถึง 3 ตัว แต่การอินทีเกรตทำได้ทีละตัวแปร ดังนั้น เราจะต้องทำการอินทีเกรตถึง 3 ครั้ง เราจึงเรียกว่า Triple integral x

Procedure for Finding Limits of Integration in Triple Integrals การกำหนดขอบเขตมีขั้นตอนดังนี้ 1.กำหนดลำดับการอินทีเกรต เช่น ถ้าอินทีเกรต เทียบกับ z, y, และ x ตามลำดับ จะได้ ลำดับการอินทีเกรตเป็น dz dy dx ฝาด้านบน 2. หาขอบเขตของตัวแปรที่จะอินทีเกรตเป็นลำดับแรกสุด (ในกรณีนี้ คือ z) โดยให้อยู่ในรูปฟังก์ชันของตัวแปรที่เหลือ (ในกรณีนี้คือ x และ y) โดยกำหนดให้ พื้นผิวด้านบนคือสมการ z = f2(x,y) พื้นผิวด้านล่างคือสมการ z = f1(x,y) ฝาด้านล่าง ให้เรามองว่ารูปทรงนี้มีฝาครอบด้านบนและด้านล่างโดย ฝาด้านบนคือสมการ z = f2(x,y) และฝาด้านล่างคือ สมการ z = f1(x,y)

Procedure for Finding Limits of Integration in Triple Integrals ที่เหลือ (ในที่นี้คือระนาบ XY) แล้วหาขอบเขตของตัวแปร ที่จะอินทีเกรตเป็นลำดับถัดมา(ในกรณีนี้ คือ y) โดยให้อยู่ใน รูปฟังก์ชันของตัวแปรที่เหลือ (ในกรณีนี้คือ x) โดยกำหนดให้ ขอบด้านล่างของเงาคือสมการ y = g1(x) ขอบด้านบนของเงาคือสมการ y = g2(x) 4. หาขอบเขตของตัวแปรที่จะอินทีเกรตเป็นลำดับ สุดท้าย (ในกรณีนี้ คือ x) โดยกำหนดให้อยู่ในรูป ค่าต่ำสุดและสูงสุด ค่าต่ำสุดของ x คือ a ค่าสูงสุดของ x คือ b เงาของ D ที่ตกบนระนาบ XY (เสมือนเป็นภาพ Top view ของ D) ได้สูตรการอินทีเกรตเป็น

Example1: Finding Limits of Integration in Triple Integrals ตัวอย่าง จงหาขอบเขตการอินทีเกรต โดยกำหนดให้เป็น Region D ที่ประกอบด้วยจุดยอดที่ (0,0,0) (0,1,0) (1,1,0) และ (0,1,1) y x z A(1,1,0) (0,1,0) B(0,1,1) D C(0,0,0) ขอบซ้าย ขอบขวา วิธีทำ 1. เราต้องหาสมการของระนาบพื้นผิวด้านบน ก่อนระนาบนี้ผ่านจุด (0,0,0) (0,1,1) และ (1,1,0) 1.1 หา Normal vector = 1.2 ได้สมการระนาบ 2. กำหนดลำดับการอินทีเกรต ในข้อนี้ เราให้เป็น dy dz dx 3. หาขอบเขตของ y ในรูป function ของ x และ z ได้ ขอบซ้าย เป็นสมการ ได้ ขอบขวา เป็นสมการ

Example1: Finding Limits of Integration in Triple Integrals (cont.) z 4. หาขอบเขตของ z ในรูป function ของ x B(0,1,1) ให้เราดู “เงา” ของสามเหลี่ยม ABC ที่มีจุดยอดที่ (1,1,0),(0,1,1) และ (0,0,0) ที่ตกบนระนาบ XZ D y เงานี้ เป็นรูปสามเหลี่ยมที่ประกอบด้วยด้าน 3 ด้านคือเส้นตรง x + z = 1, z = 0 และ z = 0 C (0,1,0) x A(1,1,0) ดังนั้นจะได้ขอบเขตของ z เป็น ขอบบน ขอบล่าง 5. หาขอบเขตของ x ได้ ค่าต่ำสุดของ x คือ x = 0 และค่าสูงสุดของ x คือ x = 1 เราจะได้สูตรการอินทีเกรตเป็น

“ฝาค้านล่าง”คือสมการ Example2: Volume of a Region in Space ในกรณีที่เราให้ f(x,y,z) = 1 การทำ Triple integral จะได้ปริมาตรของ Region นั้นออกมา ตัวอย่าง จงหาปริมาตรของผิวปิดที่เกิดจากผิว z = x2+3y2 และ z = 8-x2-y2 1. หาขอบเขตของ z ในข้อนี้เรามี Paraboloid 2 สมการดังรูป “ฝาค้านบน”คือสมการ “ฝาค้านล่าง”คือสมการ ฝาด้านบน 2. หาเงาของ Region ที่ตกลงบน ระนาบ XY z ในกรณีนี้เราต้องหารอยตัดของพื้นผิว ทั้งสอง จากการให้สองสมการเท่ากัน (วิธีนี้ใช้เฉพาะในข้อนี้) x y ฝาด้านล่าง ได้สมการ

Example2: Volume of a Region in Space (continued) ขอบบน y 3. เมื่อได้เงาของ Region ที่ตกลงบน ระนาบ XY เป็นสมการ -2 2 x ให้เขียน y ในรูป function ของ x ขอบล่าง ขอบบน ขอบล่าง 4. หาขอบเขตของ x ได้ ได้สูตรการอินทีเกรตเป็น

Example2: Volume of a Region in Space (continued) 5. คำนวณปริมาตร

Example3: Finding Limits of Integration in Triple Integrals จงหาสูตรการอินทีเกรตหาปริมาตรของแท่งปริซึ่มนี้ 1 2 x y z y + z = 1 วิธีทำ ลำดับการอินทีเกรตที่เป็นไปได้มี 6 รูปแบบที่ไม่ซ้ำกันดังนี้ a) b) d) c) f) e)

Example4: Volume of a Region in Space จงหาปริมาตรของ Region ที่อยู่ระหว่าง 2 Cylinder ดังรูป ในข้อนี้เรามีทรงกระบอกในแนวตั้ง (ขนานกับแกน z) ตัดกับทรงกระบอกในแนวนอน (ขนานกับแกน y) วิธีทำ 1. จัดลำดับการอินทีเกรตเป็น dz dy dx 2. หาขอบเขตของ z ได้เป็น 3. หาขอบเขตของ y ได้เป็น 4. หาขอบเขตของ x ได้เป็น ได้ผลลัพธ์ของการอินทีเกรตเป็น

Average Value in Space การหาค่าเฉลี่ยของ f(x,y,z) ใน Domain D เราสามารถใช้สูตร 2 x y z ตัวอย่าง จงหาค่าเฉลี่ยของ F(x,y,) = xyz ในกล่องลูกบาศก์ดังรูป วิธีทำ 1. หาขอบเขตการอินทีเกรต ได้ D 2. ทำการอินทีเกรต 3. หาปริมาตรของกล่อง Volume = กว้างxยาวxสูง = 23=8 ได้ค่าเฉลี่ย = 8/8 = 1

Moments and Mass in 3 Dimensions การประยุกต์ใช้งานอย่างหนึ่งของ Triple integrals คือการหา Moment และจุดศูนย์กลางมวล ของวัตถุ 3 มิติดังสูตรต่อไปนี้ ให้ เป็นความหนาแน่นของวัตถุ 3 มิติ (มีหน่วยเป็น น้ำหนักต่อปริมาตร) เราสามารถคำนวณมวลได้ดังนี้ Center of Mass (จุดศูนย์กลางมวล) First order moments เทียบกับระนาบ yz : เทียบกับระนาบ xz : เทียบกับระนาบ xy : วัตถุ 3 มิติ

Moments and Mass in 3 Dimensions (continued) Moment of inertia (second order moment) เทียบกับแกน x : เทียบกับแกน y : เทียบกับแกน z : Moment of inertia about a line L โดย r คือระยะทางจากจุด (x,y,z) ถึงเส้นตรง L Radii of Gyration (รัศมีของไจเรชัน) เทียบกับเส้นตรง L: รัศมีเทียบกับแกน x: รัศมีเทียบกับแกน y: รัศมีเทียบกับแกน z:

Example: Moments and Mass in 3 Dimensions y z b c a จงคำนวณหา Ix Iy และ Iz ของวัตถุดังรูปที่มีความหนาแน่นคงที่ = d วิธีทำ เนื่องจาก (y2+z2) เป็นฟังก์ชันสมมาตรเราจึงสามารถปรับอินทีเกรตเป็น ในทำนองเดียวกัน เราได้ โดย M = มวลของวัตถุ

Example: Moments and Mass in 3 Dimensions วิธีทำ 1. จากรูป เนื่องจากวัตถุนี้สมมาตรตามแนวแกน z เราสามารถสรุปได้ว่า 2. คำนวณ เพื่อความสะดวก เราเปลี่ยนจาก Rectangular เป็น Polar form จะได้ ในทำนองเดียวกัน เราได้ จะได้

Coordinate Systems ในระบบ Cartesian (Rectangular) Coordinate นั้นเราใช้ (x,y,z) ในการบอกตำแหน่งของจุดใน Space 3 มิติ ระบบนี้เหมาะสมจะใช้ในการ อินทีเกรตในกรณีที่ขอบเขตของการอินทีเกรตประกอบด้วยเส้นตรง ระนาบหรือ เป็นกล่อง แต่ถ้าขอบเขตการอินทีเกรตเป็นรูปทรงอื่นๆ เช่นทรงกระบอก ทรงกลมแล้ว การใช้ Rectangular Coordinate ในการอินทีเกรตจะยากมาก เราสามารถใช้ระบบการบอกตำแหน่งแบบอื่นๆมาช่วยในการอินทีเกรตได้เช่นการใช้ Polar coordinate ที่ผ่านมา ในกรณีของ Space 2 มิติ หรือ Cylindrical Coordinate และ Spherical Coordinate ในกรณีของ Space 3 มิติ เป็นต้น ระบบเหล่านี้อาจไม่เป็นที่คุ้นเคยนัก แต่จะสามารถช่วยให้การคำนวณง่ายขึ้น มากถ้าเลือกระบบ Coordinate ที่เหมาะสม

Cylindrical Coordinate ระบบพิกัดทรงกระบอกเป็นระบบผสมระหว่าง Polar coordinate กับ Rectangular Coordinate โดย (x,y) ในระบบ rectangular จะถูกแทนด้วย (r,q) ในระบบ Polar ส่วนค่า z ทั้ง 2 ระบบเป็นตัวเดียวกัน ดังนั้น ระบบ Cylindrical coordinate จะประกอบ ด้วยค่า 3 ค่าคือ r,q, และ z ดังรูป ระบบพิกัดทรงกระบอกนี้ เหมาะสำหรับ อธิบายวัตถุ 3 มิติที่มีรูปทรงเป็นทรงกระบอก ในแนวตั้ง (แกนของทรงกระบอกขนานแกน z) โดยหน้าตัดของรูปทรงนี้ในแนวระนาบ xy เราจะอธิบายโดยใช้ Polar form (r,q) ส่วน ความสูงเราจะใช้ z อธิบาย

Relation Between (r,q, z ) and (x,y,z) สูตรการแปลงระหว่าง Cylindrical และ Rectangular coordinate เป็นดังนี้ From Cylindrical To Cartesian From Cartesian To Cylindrical หมายเหตุ z ใน Cylindrical และ Cartesian เป็นตัวเดียวกัน

Objects of Constant r,q, z in Cylindrical Coordinate ในการวิเคราะห์รูปร่างวัตถุโดยใช้ระบบพิกัดทรงกระบอก เราต้องทราบว่า ถ้าเราให้ตัวแปรใดตัวแปรหนึ่ง คงที่ แล้วเราจะได้วัตถุใดออกมา ดังเช่นกรณีต่อไปนี้ 1. ถ้าให้ r = r0 เราจะได้ผิวทรงกระบอก หน้าตัดวงกลม มีแกน z เป็นแกนกลางและมีรัศมี เท่ากับ r0 2. ถ้าให้ z = z0 เราจะได้ระนาบที่ขนาน กับระนาบ xy และมีความสูงจากระนาบ xy เท่ากับค่า z0 3. ถ้าให้ q = q0 เราจะได้ระนาบที่ ตั้งฉากกับระนาบ xy และทำมุมกับ ระนาบ xz เท่ากับ q0

dV in Cylindrical Coordinate ในสูตร Triple integrals อนุพันธ์ที่ใช้คือ dV นั้นมีความหมายเป็น “ส่วนย่อยๆ” ของปริมาตร ดังนั้นเมื่อเราทำการอินทีเกรตในระบบพิกัดทรงกระบอกเราจะต้องทราบว่า dV มีสูตรอย่างไร สำหรับระบบพิกัดทรงกระบอก เราจะมี dV เป็นชิ้นส่วนดังรูป ซึ่งสามารถคำนวณปริมาตรได้จาก ดังนั้นสูตรการอินทีเกรตในระบบพิกัดทรงกระบอกจะเป็น

Triple Integral in Cylindrical Coordinate ในการอินทีเกรตในระบบพิกัดทรงกระบอก เพื่อความสะดวก เรานิยมให้ z เป็น function ของ (r,q) และให้ r เป็น function ของ q ซึ่งจะได้สูตรการอินทีเกรตเป็น ดังนั้นลำดับการอินทีเกรตจะเป็น dz dr dq เราจะได้ขั้นตอนการหาขอบเขตการอินทีเกรตดังนี้ 1. Finding Limit of z in Cylindrical Coordinate ขอบเขต z จะอยู่ในรูปแบบ พื้นผิวด้านบนคือสมการ z = g2(r,q) พื้นผิวด้านล่างคือสมการ z = g1(r,q)

Finding Limit of Integration in Cylindrical Coordinate 2. Finding Limit of r in Cylindrical Coordinate หลังจากที่เราได้ขอบเขตของ z แล้ว จะเหลือตัวแปร 2 ตัวคือ (r,q) ให้เราหาขอบเขตของ (r,q) โดยวิธีการเดียวกับการหา ขอบเขตของ (r,q) ใน Polar coordinate กล่าวคือ 2.1 หาเงาของ Region ที่ตกลงบนระนาบ XY 3. Finding Limit of q 2.2 หาขอบเขตของ r ในรูป function ของ q มุมเริ่มต้น รัศมีวงใน รัศมีวงนอก มุมสิ้นสุด ได้สูตร

Example 1: Finding Limit of Integration in Cylindrical Coordinate จากรูป จงหาขอบเขตของการอินทีเกรตในรูปพิกัดเชิงขั้ว 2 y = x 1 z = 2 - y x y z วิธีทำ 1. หาขอบเขตของ z ในรูปผิวด้านบนและผิวด้านล่าง ผิวด้านบนคือสมการ z = 2 - y ผิวด้านล่างคือสมการ z = 0 เนื่องจากระบบ Cylindrical coordinate มีตัวแปรเป็น (r,q,z) เราจึงต้องแปลง z ให้อยู่ในรูปฟังก์ชันของ (r,q) จะได้ ผิวด้านบนคือสมการ ผิวด้านล่างคือสมการ 2.หาขอบเขตการอินทีเกรตของ r ในขั้นตอนนี้เราต้องมองภาพ Top view ของรูปทรงนี้ ภาพ Top view ในที่นี้ รัศมีวงในคือ r = 0 เพราะว่ารูปสามเหลี่ยมนี้รวมจุด (0,0) ไว้ 1 y = x x y ส่วนรัศมีวงนอกคือเส้นตรง x = 1 แต่เนื่องจากว่าในที่นี้เราต้องการ สมการในรูปของ r และ q รัศมีวงนอก สมการ x = 1 จะได้ หรือรัศมีวงนอกจะได้

4. จะได้สูตรการอินทีเกรตเป็น Example 1: Finding Limit of Integration in Cylindrical Coordinate (cont.) 3. หาขอบเขตของ q 2 y = x 1 z = 2 - y x y z มุมเริ่มต้น มุมสิ้นสุด 4. จะได้สูตรการอินทีเกรตเป็น 1 y = x x y

Example2: Triple Integral in Cylindrical Coordinate จงหาขอบเขตการอินทีเกรตในระบบพิกัดทรงกระบอกของวัตถุในรูปโดยกำหนดให้ ผิวด้านบนคือสมการ ผิวด้านล่างคือสมการ z = 0 ส่วนผิวด้านข้างเป็นทรง กระบอกในแนวตั้งที่แกนกลางผ่านจุด (0,1,0) วิธีทำ 1. หาขอบเขตของ z ในข้อนี้เราได้ พื้นผิวด้านบนคือสมการ พื้นผิวด้านล่างคือสมการ 2. หาเงาของรูปทรงนี้ในระนาบ XY เนื่องจากผิวด้านข้างของรูปทรงนี้คือทรงกระบอกที่มี หน้าตัดวงกลมดังในรูป ดังนั้นเงาของรูปทรงนี้จะเป็น วงกลมรัศมี 1 หน่วยและมีจุดศูนย์กลางที่ (0,1,0) ซึ่งมีสมการเป็น สมการของวงกลมนี้ใน Polar form จะเป็น หรือ

Example2: Triple Integral in Cylindrical Coordinate (cont.) 3. หาขอบเขตของ r ในรูป function ของ q ในข้อนี้ เนื่องจาก วงกลม ผ่านจุด (0,0) ดังนั้น รัศมีวงในจะเป็น r = 0 ส่วนรัศมีวงนอกจะเป็น 4. หาขอบเขตของ q เนื่องจากวงกลมสัมผัสแกน x พอดี จะได้มุมเริ่มต้น = 0 และมุมสิ้นสุด = p (0,1) x y เงาของรูปทรงนี้ ในระนาบ xy เราจะได้สูตรการอินทีเกรตเป็น

Example3: Triple Integral in Cylindrical Coordinate จงหาจุดศูนย์กลางมวลของรูปทรงตันในภาพที่ถูกปิดด้วยทรงกระบอก และมีขอบเขตบน เป็น และขอบเขตล่างเป็นระนาบ xy โดยมีความหนาแน่น = 1 วิธีทำ 1. เนื่องจากรูปทรงนี้สมมาตรกับแกน z ดังนั้นได้ เหลือค่าที่ต้องคำนวณคือ 2. หาขอบเขตของ z ในรูป function ของ r และ q ได้พื้นผิวด้านบนเป็น ได้พื้นผิวด้านล่างเป็น 3. หาขอบเขตของ r ได้รัศมีวงใน r = 0 ได้รัศมีวงนอก r = 2 4. หาขอบเขตของ q ได้ ได้สูตรการอินทีเกรตเป็น

Example3: Triple Integral in Cylindrical Coordinate (cont.) 5. หามวลของรูปทรงตัน 6. คำนวณ Mxy ได้ ได้จุด

Spherical Coordinate ระบบพิกัดทรงกลมเป็นระบบบอกตำแหน่งที่ออกแบบมาใช้อธิบายตำแหน่งของวัตถุบนผิวทรงกลม โดยประกอบด้วยค่า 3 ค่าคือ r, q และ f ตามความหมายดังนี้ r คือระยะทาง (รัศมี) ที่วัดจากจุด (0,0,0) ถึงจุด (x,y,z) q คือมุมในระนาบ xy ของที่เวคเตอร์ ทำมุมกับแกน x โดย f คือมุมที่เวคเตอร์ ทำมุมกับแกน z โดย ระบบนี้คล้ายกับระบบที่เราใช้ในการบอกตำ แหน่งพิกัดบนโลกด้วยด้วยค่า Latitude และ Longitude และ Altitude ในที่นี้ Latitude เทียบได้กับ q Longitude เทียบได้กับ f ส่วน Altitude เป็นการวัดระดับความสูง จากระดับน้ำทะเล (ผิดกับค่า r ที่เป็นระยะทางวัด จากจุดศูนย์กลาง)

Relation between r, q, f and other coordinates สูตรการแปลงระหว่าง Spherical และ Rectangular coordinate เป็นดังนี้ From Cartesian to Spherical From Spherical to Cartesian ระบบพิกัดนี้เหมาะสำหรับอธิบายรูปทรงที่ ประกอบด้วยส่วนของทรงกลม หรือกรวย หมายเหตุ q ในระบบพิกัดทรงกระบอก กับในระบบพิกัดทรงกลมเป็นตัวเดียวกัน

Objects of Constant r, q, f in Spherical Coordinate ในการวิเคราะห์รูปร่างวัตถุโดยใช้ระบบพิกัดทรงกลมนี้ เราต้องทราบว่า ถ้าเราให้ตัวแปรใดตัวแปรหนึ่ง คงที่ แล้วเราจะได้วัตถุใดออกมา ดังเช่นกรณีต่อไปนี้ 1. ถ้าให้ f = f0 เราจะได้ผิวทรงกรวย มีแกน z เป็นแกนกลางและกรวยกางเป็นมุมเท่ากับ f0 เมื่อวัดจากแกน z ดังรูป 2. ถ้าให้ q = q0 เราจะได้ครึ่งหนึ่งของระนาบ ที่ตั้งฉากกับระนาบ xy และผ่านแกน z และ ทำมุมกับระนาบ xz เท่ากับ q0 ดังรูป 3. ถ้าให้ r = r0 เราจะได้ผิวทรงกลมที่มี จุดศูนย์กลางที่ (0,0,0) และมีรัศมีเท่ากับ r0

Example 1: Objects in Spherical Coordinate จงหาสมการของทรงกลม ในระบบพิกัดทรงกลม วิธีทำ ทรงกลมในข้อนี้มีจุดศูนย์กลางที่ (0,0,1) ถ้าต้องการแปลงเป็นสมการใน Spherical Coordinate เราจะต้องแทนค่า x,y,z โดยใช้สูตรนี้ ได้ z (0,0,1) ได้ หรือ y x

Example 2: Objects in Spherical Coordinate จงหาสมการในระบบพิกัดทรงกลมของกรวยกลม วิธีทำ เราจะต้องแทนค่า x,y,z โดยใช้สูตรนี้ ได้ z ได้ หรือ ค่า f ที่ทำให้ cos f และ sin f มีค่าเท่ากันคือ y x เพราะฉะนั้น เราจะได้สมการเป็น

dV in Spherical Coordinate ในสูตร Triple integrals อนุพันธ์ที่ใช้คือ dV นั้นมีความหมายเป็น “ส่วนย่อยๆ” ของปริมาตร ดังนั้นเมื่อเราทำการอินทีเกรตในระบบพิกัดทรงกลมเราจะต้องทราบว่า dV มีสูตรอย่างไร สำหรับระบบพิกัดทรงกลม เราจะมี dV เป็นชิ้นส่วนดังรูป ซึ่งสามารถคำนวณปริมาตรได้จาก ดังนั้นสูตรการอินทีเกรตในระบบพิกัดทรงกลมจะเป็น

Triple Integral in Spherical Coordinate ในการอินทีเกรตในระบบพิกัดทรงกลม เพื่อความสะดวก เรานิยมให้ r เป็น function ของ (q,f) และให้ขอบเขตของ f และ q เป็นค่าคงที่ ซึ่งจะได้สูตรการอินทีเกรตเป็น ดังนั้นลำดับการอินทีเกรตจะเป็น dr df dq เราจะได้ขั้นตอนการหาขอบเขตการอินทีเกรตดังนี้ 1. Finding Limit of r in Spherical Coordinate ขอบเขต r จะอยู่ในรูปแบบ รัศมีด้านนอกคือสมการ r = g2(q,f) รัศมีด้านในคือสมการ r = g1(q,f)

Finding Limit of Integration in Spherical Coordinate 2. Finding Limit of f in Spherical Coordinate ขอบเขตของ f จะอยู่ในรูป ค่าต่ำสุดและค่าสูงสุดของมุม f ในรูป 3. Finding Limit of q in Spherical Coordinate ขอบเขตของ q จะอยู่ในรูป ค่าต่ำสุด และค่าสูงสุดของมุม q ในรูป และจะได้สูตร ( อย่าลืมใส่ พจน์ ทุกครั้งในสูตร การอินทีเกรตในระบบพิกัดทรงกลม !)

Example 3: Triple Integral in Spherical Coordinate จงหาปริมาตรของรูปทรงตันที่ถูกปิดล้อมด้วยพื้นผิวทรงกลม r = 1 และกรวยกลม f = p/3 ดังในรูป วิธีทำ ในการหาปริมาตรของรูปทรงตัน เราจะให้ถือว่า ซึ่งจะได้สูตรการอินทีเกรตเป็น ในที่นี้เรามี รัศมีด้านนอกเป็น r = 1 รัศมีด้านในเป็น r = 0 และมีขอบเขตของ f เป็น และมีขอบเขตของ q เป็น เราได้

Example 3: Triple Integral in Spherical Coordinate (cont.) จาก อินทีเกรตเทียบกับ r ได้ อินทีเกรตเทียบกับ f ได้ อินทีเกรตเทียบกับ q ได้

Example 4: Triple Integral in Spherical Coordinate จงหา Moment of inertia ของวัตถุในตัวอย่างที่แล้วเทียบกับแกน z เมื่อกำหนดให้ความหนาแน่น มีค่าคงที่เท่ากับ 1 วิธีทำ สูตร Moment of inertia about z-axis คือ แปลงเป็นระบบพิกัดทรงกลม แทนค่าลงในสูตรได้ เมื่อใส่ขอบเขตการอินทีเกรตจะได้

Example 4: Triple Integral in Spherical Coordinate (cont.) อินทีเกรตเทียบกับ f ได้ อินทีเกรตเทียบกับ q ได้

Formula for 3-D Coordinate Systems From Cylindrical To Cartesian From Spherical to Cartesian dV From Spherical to Cylindrical

Substitutions in Multiple Integrals ที่ผ่านมาจะเห็นว่าเมื่อเรามีการเปลี่ยนระบบพิกัด (Coordinate system) เช่น จาก (x,y,z) ใน Rectangular coordinateไปเป็น (r,q,z) ใน Cylindircal coordinate ทำให้การอินทีเกรตสำหรับบางปัญหาทำได้ง่ายขึ้น การแปลงเหล่านี้เป็นกรณีเฉพาะของระบบ Rectangular, Cylindrical และ Spherical Coordinate systems แต่โดยทั่วไปการแปลงไปมาระหว่างระบบ พิกัดแบบต่างๆ ไม่ได้จำกัดแค่นี้ ในหัวข้อนี้ จะได้กล่าวถึงสูตรในการเปลี่ยนแปลงระบบ ตัวแปรในการอินทีเกรตโดยทั่วไป คำว่า Substitution แปลว่า การแทนที่ ซึ่งในที่นี้หมายถึงการแทนชุดตัวแปรระบบ หนึ่งด้วย ชุดตัวแปรอีกระบบหนึ่ง วัตถุประสงค์สำคัญในการทำเช่นนี้เพื่อในการอินทีเกรต อยู่ในรูปที่ง่ายขึ้น

Substitutions in Double Integrals หลักการอินทีเกรตโดยวิธีการแทนค่า สมมุติว่าในระบบตัวแปร (x,y) และระบบตัวแปร (u,v) มีความสัมพันธ์กันในรูป โดยเป็นความสัมพันธ์แบบฟังก์ชัน 1 ต่อ 1 กล่าวคือ 1 จุดใน uv-plane แปลงไปเป็น 1 จุดใน xy-plane (โดย f และ g อาจเป็น 0 ได้เพียงบางจุด) สำหรับฟังก์ชันของ x และ y ใดๆ f(x,y) เราสามารถแปลงไปเป็นฟังก์ชันของ u และ vได้จากการแทนค่า f(g(u,v),h(u,v))

Example 1: Substitutions in Double Integrals จากความสัมพันธ์ จะได้ว่า Region G ใน uv-plane สามารถแปลงไปเป็น Region R ใน xy-plan ตัวอย่าง

Example 1: Substitutions in Double Integrals สูตรในการแปลง จาก (u,v) เป็น (x,y) ในตัวอย่างหน้าที่แล้วเราจะได้ สูตรในการแปลง จาก (x,y) เป็น (u,v)

Substitutions in Double Integrals เราสามารถคำนวณการอินทีเกรตของ f(x,y) ใน Region R ใน xy-plan ในรุปการอินทีเกรตของ f(g(u,v),h(u,v) ใน Region G ใน uv-plane ได้ดังนี้ โดย คือ Jacobian determinant หรือเรียกย่อว่า Jacobian มีนิยามว่า เขียนย่อๆว่า

Double Integral in Polar Form จาก จะได้สูตรการอินทีเกรตใน rq-plane เป็น

Example 2: Double Integral in Polar Form ตัวอย่าง สมมุติว่าเรามีขอบเขตการอินทีเกรตใน xy-plane เป็นพื้นที่ดังรูป เมื่อเราใช้สูตรในการแปลงเป็น Polar coordinate y 2 1 เราจะได้ขอบเขตการอินทีเกรตในรูปใหม่ใน rq-plane เป็น x r q 1 2 จะเห็นว่าการอินทีเกรตใน rq-plane ทำได้ง่ายกว่า ใน xy-plane มาก เพราะขอบเขตการอินทีเกรตใน rq-plane เป็นรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้า

Example 3: Substitutions in Double Integrals ตัวอย่าง จงคำนวณค่าของ วิธีทำ โจทย์ข้อนี้ ขอบเขตการอินทีเกรตในระนาบ xy เป็นดังรูป ให้เราพยายามเปลี่ยนให้อยู่ในรูปที่ง่ายขึ้น โดยใช้สมการ 1. เลือกสูตรการแปลง ในที่นี้เราเลือก 2. หาขอบเขตการอินทีเกรตในระนาบ uv โดยการแทนค่า ขอบเขตเดิมของ x เป็น ขอบซ้าย เมื่อแทนค่า x = u+v และ y = 2v เราได้ หรือ

Example 3: Substitutions in Double Integrals (cont.) 2. หาขอบเขตการอินทีเกรตในระนาบ uv โดยการแทนค่า (ต่อ) ขอบเขตเดิมของ x เป็น ขอบขวา เมื่อแทนค่า x = u+v และ y = 2v เราได้ หรือ ขอบเขตเดิมของ y เป็น ขอบล่าง เราได้ ขอบบน ดังนั้นพื้นที่การอินทีเกรตในระนาบ uv จะเป็น 3. หาค่า Jacobian determinant

Example 3: Substitutions in Double Integrals (cont.) 4. แปลงสมการ การอินทีเกรต f(x,y) ไปเป็น f(g(u,v),h(u,v)) โดยการแทนค่า จะได้ 5. สร้างสูตร ได้ 6. คำนวณ ตอบ

Example 4: Substitutions in Double Integrals จงคำนวณค่าของ วิธีทำ 1. วาดรูปขอบเขตการอินทีเกรต ในระนาบ xy ได้รูปดังนี้ 2. เลือกสูตรการแปลง ในที่นี้เราเลือก 3. หาขอบเขตการอินทีเกรตในระนาบ uv โดยการแทนค่า 3.1 ขอบด้านล่างมีสมการเป็น เมื่อแทนค่า เราจะได้ หรือ 3.2 ขอบด้านซ้ายมีสมการเป็น เมื่อแทนค่า เราจะได้ หรือ

Example 4: Substitutions in Double Integrals (cont.) 3. หาขอบเขตการอินทีเกรตในระนาบ uv โดยการแทนค่า (ต่อ) 3.3 ขอบด้านบนมีสมการเป็น เมื่อแทนค่า เราจะได้ หรือ เราจะได้ขอบเขตการอินทีเกรตในระนาบ uv เป็นดังรูป 4. หาค่า Jacobian determinant

Example 4: Substitutions in Double Integrals (cont.) 5. แปลงสมการ การอินทีเกรต f(x,y) ไปเป็น f(g(u,v),h(u,v)) โดยการแทนค่า จะได้ 6. สร้างสูตร ได้ 7. คำนวณ ตอบ

Substitutions in Triple Integrals ใน section ก่อนในเรื่องการอินทีเกรตในระบบพิกัดทรงกระบอกและระบบพิกัดทรงกลม เป็นเรื่อง ของการอินทีเกรตแบบแทนค่าแบบหนึ่งใน 3 มิติ ซึ่งสูตรโดยทั่วไปของการอินทีเกรตใน 3 มิติจะอยู่ ในรูปนี้ เราใช้การแทนค่าโดยใช้สมการ จะได้ จะได้สูตรการอินทีเกรตเป็น โดย D คือขอบเขตการอินทีเกรตในระบบ xyz และ G คือขอบเขตการอินทีเกรตในระบบ uvw

Jacobian Determinant in 3D ตัวอย่าง ความสัมพันธ์ระหว่างระบบพิกัดฉาก xyz กับระบบพัดทรงกระบอก rqz เป็นดังนี้ จะได้

Example 5: Substitutions in Triple Integrals เราจะได้ความสัมพันธ์ระหว่างารอินทีเกรตในระบบพิกัดฉากกับระบบพิกัดทรงระบอกเป็น

Example 6: Substitutions in Triple Integrals สำหรับการแปลงระหว่างระบบพิกัดฉากกับระบบพิกัดทรงกลม เรามีสูตร จะได้

Example 6: Substitutions in Triple Integrals (cont.) เราจะได้ความสัมพันธ์ระหว่างารอินทีเกรตในระบบพิกัดฉากกับระบบพิกัดทรงกลมเป็น

Example 7: Substitutions in Triple Integrals จงคำนวนค่า วิธีทำ 1.วาดรูปขอบเขตการอินทีเกรตในระบบ xyz จะได้รูปดังนี้ 2. เลือกสูตรที่ใช้ในการแทนค่า ในที่นี้เลือก

Example 7: Substitutions in Triple Integrals (cont.) 3. หาขอบเขตการอินทีเกรตในระบบ uvw โดยใช้สูตรการแปลง 3.1 ระนาบ เราได้ หรือ 3.2 ระนาบ เราได้ หรือ 3.3 ระนาบ y = 0 เราได้ v = 0 3.4 ระนาบ y = 4 เราได้ v = 2 3.5 ระนาบ z = 0 เราได้ w = 0 3.6 ระนาบ z = 3 เราได้ w = 1

Example 7: Substitutions in Triple Integrals (cont.) เราจะได้ขอบเขตการอินทีเกรตในระบบ uvw เป็นดังรูป 4. หาค่า Jacobian determinant 5. แปลงสมการ การอินทีเกรต F(x,y,z) ไปเป็น F(g(u,v,w),h(u,v,w),k(u,v,w)) 6. สร้างสูตร

Example 7: Substitutions in Triple Integrals (cont.) 7. คำนวณ ตอบ

Exercise 1. จากความสัมพันธ์ u = x + 2y และ v = x – y จงหาค่าอินทีกรัลของ 2. ให้ R เป็นพื้นที่ใน Quadrant ที่ 1 ในระนาบ xy ที่ถูกล้อมรอบด้วยเส้นโค้ง xy = 1 และ xy = 9 และเส้นตรง y = x และ y = 4x จงใช้ความสัมพันธ์ x = u/v และ y = uv เมื่อ u > 0 และ v > 0 ในการค่าอินทีกรัลของ 3. จงหาค่าอินทีกรัลของ เหนือพื้นที่ทรงรี เมื่อให้ x = au, y = bv, และ z = cw