การหาปริพันธ์ (Integration)

งานนำเสนอเรื่อง: "การหาปริพันธ์ (Integration)"— ใบสำเนางานนำเสนอ:

1 การหาปริพันธ์ (Integration)
ถ้าฟังก์ชัน F(x) มีอนุพันธ์คือ f(x) หรือก็คือ เราเรียกฟังก์ชัน F(x) ว่าเป็นปฏิยานุพันธ์ (antiderivative)ของ f(x) เช่น x2 เป็นปฏิยานุพันธ์ ของ 2x เช่น sin x เป็นปฏิยานุพันธ์ ของ cos x เช่น (sin x)+10 เป็นปฏิยานุพันธ์ ของ cos x

2 ปฏิยานุพันธ์ ของ f(x) อาจจะมีได้หลายตัวเช่น
x2, x2+1, x2-1, x2+e, x2- , ... เป็นปฏิยานุพันธ์ ของ 2x หมายเหตุ อนุพันธ์ของค่าคงตัวใดๆ มีค่าเท่ากับ 0 เราเรียกเซตของปฏิยานุพันธ์ดังกล่าวว่า ปริพันธ์ไม่จำกัดเขต (indefinite integral) และใช้สัญลักษณ์ว่า เมื่อ c เป็นค่าคงตัวใดๆ

3 อนุพันธ์ ปริพันธ์ เมื่อ c เป็นค่าคงตัวใดๆ

4 อนุพันธ์ ปริพันธ์ เมื่อ c เป็นค่าคงตัวใดๆ

5 อนุพันธ์ ปริพันธ์ เมื่อ c เป็นค่าคงตัวใดๆ

6 อนุพันธ์ ปริพันธ์

7 ปริพันธ์

8 อนุพันธ์ ปริพันธ์ เมื่อ c เป็นค่าคงตัวใดๆ

9 อนุพันธ์ ปริพันธ์ เมื่อ c เป็นค่าคงตัวใดๆ

10 คุณสมบัติความเป็นเชิงเส้นของการหาปริพันธ์ไม่จำกัดเขต
เมื่อ k เป็นค่าคงตัวใดๆ เมื่อ k1, k2 เป็นค่าคงตัวใดๆ

11 ปริพันธ์

12 ปริพันธ์

13 กฎลูกโซ่

14

15 การหาปริพันธ์โดยวิธีแทนที่ Integration by Substitution
การหาปริพันธ์โดยวิธีแทนที่เป็นเสมือนบทกลับของการหาอนุพันธ์โดยใช้กฎลูกโซ่

16 ดังนั้น differential ของ u คือ
พิจารณา ถ้าให้ พบว่า ดังนั้น differential ของ u คือ แสดงว่า แทนค่า u กลับ เมื่อ c เป็นค่าคงตัวใดๆ

17

18

19 อนุพันธ์ของผลคูณ

20 การหาปริพันธ์ทีละส่วน Integration by Parts
การหาปริพันธ์ทีละส่วนเป็นเสมือนบทกลับของการหาอนุพันธ์ของผลคูณ

21

22

23

24

25 การหาปริพันธ์โดยวิธีแยกเศษส่วนย่อย Integration by Partial Fractions
การหาปริพันธ์โดยวิธีแยกเศษส่วนย่อย โดยส่วนใหญ่จะใช้สำหรับการหาปริพันธ์ของฟังก์ชันตรรกยะ

26 ฟังก์ชันตรรกยะ ฟังก์ชันตรรกยะคือฟังก์ชันที่สามารถถูกเขียนได้ในรูป ของเศษส่วนของพหุนาม เช่น เศษคือพหุนาม 1 ส่วนคือพหุนาม x+3 เศษคือพหุนาม x2+2 ส่วนคือพหุนาม x3+3x+1 เศษคือพหุนาม x3+1 ส่วนคือพหุนาม(x+1)3

27 ตัวอย่าง เราพบว่า ดังนั้น

28 การแยกเศษส่วนย่อย ฟังก์ชัน สามารถแยกได้เป็น หมายเหตุ n ต้องน้อยกว่า m

29 ตัวอย่าง

30 การแยกเศษส่วนย่อย ฟังก์ชัน สามารถแยกได้เป็น หมายเหตุ n ต้องน้อยกว่า m

31 ตัวอย่าง

32 การแยกเศษส่วนย่อย ฟังก์ชัน สามารถแยกได้เป็น

33 ตัวอย่าง

34 การแยกเศษส่วนย่อย ฟังก์ชัน (ไม่สามารถแยกตัวประกอบ aix2+bix+ci=0, i=1,…,m ได้) สามารถแยกได้เป็น

35 ตัวอย่าง

36 การแยกเศษส่วนย่อย ฟังก์ชัน (ไม่สามารถแยกตัวประกอบ a2x2+b2x+c2=0 ได้) สามารถแยกได้เป็น

37 ตัวอย่าง

38

39

40

41

42 การหาปริพันธ์โดยวิธีแทนที่ด้วยฟังก์ชันตรีโกณ
Integration by Trigonometric Substitution การหาปริพันธ์โดยวิธีแทนที่ด้วยฟังก์ชันตรีโกณเป็นการขยายแนวคิดจากการหาปริพันธ์โดยวิธีแทนที่

43

44

45

46

47

48

49 การหาปริพันธ์ของฟังก์ชันตรีโกณ

50

51

52

53

54

55 ฟังก์ชันไฮเพอร์โบลิก
Hyperbolic Functions ฟังก์ชันไฮเพอร์โบลิกเป็นฟังก์ชันพีชคณิตของ และ ซึ่งมีลักษณะบางอย่างคล้ายกับฟังก์ชัน ตรีโกณมิติ

56 นิยาม

57 อนุพันธ์

58

59

60

61

62

63

64

65

66

67

68

69

70 ค่าของปริพันธ์ เท่ากับเท่าใด
(1) (2) (3) (4) (5) หมายเหตุ เป็นค่าคงตัวใดๆ

71 ค่าของปริพันธ์ เท่ากับเท่าใด
(1) (2) (3) (4) (5) หมายเหตุ เป็นค่าคงตัวใดๆ

72 สูตรพื้นฐานสำหรับการหาค่าปริพันธ์
Basic Integral Formulae ส่วนที่ยากที่สุดในการหาปริพันธ์คือ “การเลือกใช้วิธี คิดที่เหมาะสมสำหรับการหาปริพันธ์ในแต่ละครั้ง”

73 การหาปริพันธ์โดยวิธีแทนที่
Integration by Substitution การหาปริพันธ์ทีละส่วน Integration by Parts การหาปริพันธ์โดยวิธีแยกเศษส่วนย่อย Integration by Partial Fractions การหาปริพันธ์โดยวิธีแทนที่ด้วยฟังก์ชันตรีโกณ Integration by Trigonometric Substitution

74

75

76

77