ลิมิตที่อนันต์และ ลิมิตค่าอนันต์

งานนำเสนอเรื่อง: "ลิมิตที่อนันต์และ ลิมิตค่าอนันต์"— ใบสำเนางานนำเสนอ:

1 ลิมิตที่อนันต์และ ลิมิตค่าอนันต์
Limit at infinity and infinite limit

2 ลิมิตค่าอนันต์ ตัวอย่างที่ 1 จากกราฟของฟังก์ชัน จงหาค่าของ .

3 ลิมิตค่าอนันต์ ตัวอย่างที่ 2 จากกราฟของฟังก์ชัน จงหาค่าของ .

4 ลิมิตค่าอนันต์ ตัวอย่างที่ 2 จากกราฟของฟังก์ชัน จงหาค่าของ .

5 ลิมิตค่าอนันต์ เราจะเห็นว่า เราไม่สามารถหาค่าลิมิตเมื่อ x มีค่าเข้าใกล้ 0 ของฟังก์ชันข้างต้นได้ แต่เราสามารถอธิบายลักษณะของ f(x) เมื่อ x เข้าใกล้ 0 ได้ดังนี้

6 ลิมิตค่าอนันต์ ไม่มีค่า
ตัวอย่างที่ 1 จากกราฟของฟังก์ชัน จะเห็นว่า เมื่อ x เข้าใกล้ 0 ทางด้านซ้าย f(x) มีค่าลดลงอย่างไม่มีขอบเขต หรืออาจกล่าวได้ว่า x เข้าใกล้ 0 ทางด้านขวา f(x) มีค่าเพิ่มขึ้นอย่างไม่มีขอบเขต แต่เราไม่สามารถพูดถึงลักษณะของฟังก์ชันเมื่อ x เข้าใกล้ 0 ได้ว่า เป็นอย่างไร จึงกล่าวได้แต่เพียงว่า ไม่มีค่า

7 ลิมิตค่าอนันต์ สำหรับตัวอย่างที่ 2 และ 3 ให้นักเรียนลองสรุปเองดู

8 ลิมิตค่าอนันต์ ใช่แล้วครับ จากทั้งสองตัวอย่างเราสามารถสรุป ได้ว่า .
และ

9 ลิมิตค่าอนันต์ บทนิยาม

10 ลิมิตค่าอนันต์ ตัวอย่างที่ 4 จงหาค่าลิมิตต่อไปนี้ 1.

11 ลิมิตค่าอนันต์ ตัวอย่างที่ 4 จงหาค่าลิมิตต่อไปนี้ 2.

12 ลิมิตค่าอนันต์ ตัวอย่างที่ 4 จงหาค่าลิมิตต่อไปนี้ 3.

13 ลิมิตค่าอนันต์ ตัวอย่างที่ 4 จงหาค่าลิมิตต่อไปนี้ 4.

14 ลิมิตค่าอนันต์ ตัวอย่างที่ 4 จงหาค่าลิมิตต่อไปนี้ 5.

15 ลิมิตค่าอนันต์ ตัวอย่างที่ 4 จงหาค่าลิมิตต่อไปนี้ 6.

16 ลิมิตค่าอนันต์ H.W. 1. จงหาค่าของ 2. จงหาค่าของ ทำ Exercise set 2.2

17 ลิมิตค่าอนันต์ เส้นกำกับแนวตั้ง (Vertical Asymptotes)
สังเกตกราฟของสมการ สรุปการหาเส้นกำกับแนวตั้ง

18 ลิมิตค่าอนันต์ ตัวอย่างที่ 5 จงหาเส้นกำกับแนวตั้งของกราฟของฟังก์ชัน

19

20 ลิมิตที่อนันต์ (limit at Infinity)
ในการพิจารณาว่า ค่าของฟังก์ชันเป็นอย่างไร เมื่อ x มีค่าเพิ่มขึ้นอย่างไม่มีขอบเขต เราจะใช้สัญลักษณ์ เช่น หมายความว่า เมื่อ x มีค่าเพิ่มขึ้นอย่างไม่มีขอบเขตแล้ว f(x) มีค่าเข้าใกล้จำนวนจริงค่าหนึ่งค่าเดียว คือ 3

21 ลิมิตที่อนันต์ (limit at Infinity)
ตัวอย่างที่ 1 จากกราฟของฟังก์ชัน จงหาค่าของ . เราสามารถพิสูจน์ได้แต่ต้องใช้นิยามลิมิตแบบ

22 ลิมิตที่อนันต์ (limit at Infinity)
ตัวอย่างที่ 1 เป็นตัวอย่างที่สำคัญซึ่งเรานำไปช่วยหาลิมิตที่อนันต์ของฟังก์ชันอื่นได้

23 ลิมิตที่อนันต์ (limit at Infinity)
ตัวอย่างที่ 2 จงหา เมื่อ k เป็นจำนวนนับ Hint: ทฤษฎีลิมิตยังเป็นจริงสำหรับ ลิมิตที่อนันต์ ทำนองเดียวกันนักเรียนสามารถหา ได้

24 ลิมิตที่อนันต์ (limit at Infinity)
ตัวอย่างที่ 3 จงหา ลองพิจารณากราฟของฟังก์ชันต่อไปนี้ ลองสรุปเป็นกรณีทั่วไป เมื่อต้องการหา

25 ลิมิตที่อนันต์ (limit at Infinity)
ตัวอย่างที่ 4 จงหา

26 ลิมิตที่อนันต์ (limit at Infinity)
ตัวอย่างที่ 5 จงหา ลองพิจารณากราฟของฟังก์ชันต่อไปนี้ ลองสรุปเป็นกรณีทั่วไป เมื่อต้องการหา

27 ลิมิตที่อนันต์ (limit at Infinity)
ถ้าเราเปลี่ยนจาก เป็นฟังก์ชันพหุนามใดๆ จะหาลิมิตได้หรือไม่

28 ลิมิตที่อนันต์ (limit at Infinity)
ลิมิตของฟังก์ชันพหุนาม เมื่อ ลองวาดกราฟของฟังก์ชันพหุนามดู Why? Why?

29 ลิมิตที่อนันต์ (limit at Infinity)
ลิมิตของฟังก์ชันพหุนาม เมื่อ ตัวอย่างที่ 6 จงหาค่าของ

30 ลิมิตที่อนันต์ (limit at Infinity)
ลิมิตของฟังก์ชันตรรกยะ เมื่อ ตัวอย่างที่ 7 จงหาค่าของ Hint:

31 ลิมิตที่อนันต์ (limit at Infinity)
ลิมิตของฟังก์ชันตรรกยะ เมื่อ ตัวอย่างที่ 7 จงหาค่าของ

32 ลิมิตที่อนันต์ (limit at Infinity)
ลิมิตของฟังก์ชันตรรกยะ เมื่อ ตัวอย่างที่ 7 จงหาค่าของ

33 ลิมิตที่อนันต์ (limit at Infinity)
ลิมิตของฟังก์ชันตรรกยะ เมื่อ เราสามารถหาลิมิตของฟังก์ชันตรรกยะได้อย่างรวดเร็วจากข้อสังเกตต่อไปนี้ ถ้า และ แล้ว

34 ลิมิตที่อนันต์ (limit at Infinity)
ลิมิตของฟังก์ชันที่มีกรณฑ์ เมื่อ ตัวอย่างที่ 8 จงหาค่าของ ทีนี้ก็ทำแบบฝึกหัด เรื่อง ลิมิตค่าอนันต์และลิมิตที่อนันต์ได้แล้ว

35 ลิมิตที่อนันต์ (limit at Infinity)
เส้นกำกับแนวนอน (Horizontal Asymptote) สังเกตจากตัวอย่างที่ผ่านมา จะเห็นว่า กราฟของฟังก์ชัน จะมีเส้นกำกับแนวนอน เมื่อ และมีสมการเส้นกำกับเป็น y=L

36