งานและพลังงาน

James Prescott Joule (1818-1889)

งานของแรงคงตัว ถ้า เป็นแรงที่มีค่าคงตัวกระทำกับวัตถุ แล้วทำให้วัตถุเคลื่อนที่ด้วยการกระจัด ดังรูป จะได้งานมีค่า เมื่อ คือ มุมระหว่าง และ

กรณีที่มีแรงหลายแรงกระทำต่อวัตถุ งานรวมจะมีค่าเท่ากับผลรวมของงานของแต่ละแรง หน่วยของงาน : ในระบบ SI มีหน่วยเป็น จูล (joules) ในกรณีที่งานมีขนาดต่ำ ๆ : หน่วยของงานเป็น อิเล็กตรอนโวลต์ (electron volt)

นี้กระทำถ้ากล่องเคลื่อนที่ไปเป็นระยะ 50 เมตร ตัวอย่าง 4.1 คนงานห้างสรรพสินค้าคนหนึ่งกำลังทำการเข็นกล่องด้วยแรง 35 นิวตัน และมุมก้ม 25๐ กับแนวระดับ จงหางานที่คนงานคน นี้กระทำถ้ากล่องเคลื่อนที่ไปเป็นระยะ 50 เมตร วิธีทำ เขียนแผนภาพอิสระของแรงที่คนงานกระทำต่อกล่อง 50 m F = 35 N o 25 งานที่คนงานกระทำต่อกล่อง : ในที่นี้ แทนค่า

ตัวอย่าง 4.2 พนักงานต้อนรับบนเครื่องบินลำหนึ่งทำการลากกระเป๋าเดินทางด้วยแรง 40 นิวตัน เป็นระยะ 200 เมตร บนพื้นของสนามบินในทิศทำมุม 50๐ เหนือ แนวระดับ ถ้ากระเป๋าหนัก 70 นิวตัน จงหา ก ) งานที่พนักงานต้อนรับกระทำในการลากกระเป๋า ข ) งานของแรงเสียดทานระหว่างกระเป๋ากับพื้นสนามบิน ค ) สัมประสิทธิ์ความเสียดทานจลน์ระหว่างกระเป๋าและพื้นสนามบิน วิธีทำ เขียนแผนภาพอิสระของแรงที่ พนักงานต้อนรับกระทำต่อกระเป๋า ก ) งานที่พนังงานต้อนรับกระทำต่อกระเป๋า : ในที่นี้ แทนค่า

ข ) แรงเสียดทานจะมีค่าเท่ากับแรงที่ลากกระเป๋าแต่ทิศทางตรงกันข้าม หรือ ดังนั้นจะได้งานของแรงเสียดทาน : ค ) สัมประสิทธิ์ของความเสียดทาน หาได้จากสูตร แทนค่า

งานของแรงไม่คงตัว งานของแรงไม่คงตัวจะมี 2 ลักษณะ 1. กรณีแรงที่มีขนาดไม่คงตัวแต่ทิศทางคงตัว งานก็คือพื้นที่ใต้กราฟของ กราฟ ระหว่าง F(x) และ x

2. กรณีของแรงที่มีขนาดและทิศทางไม่คงตัว งานของแรงที่มีขนาดและทิศทางไม่คงตัวที่กระทำต่อวัตถุจากตำแหน่งที่ 1 ถึง 2 คือ เมื่อ คือแรงที่กระทำกับวัตถุ และ คือการกระจัด กรณีที่วัตถุเคลื่อนที่ใน 2 มิติ :

ตัวอย่าง 4.3 วัตถุมวล 1 กิโลกรัม ซึ่งอยู่นิ่งถูกกระทำด้วยแรงที่มีค่าไม่คงตัว แล้วเคลื่อนที่ได้ ระยะทาง 3 เมตร ดังรูป จงหา ก ) งานที่กระทำต่อวัตถุเมื่อเคลื่อนที่ได้ 3 เมตร ข ) อัตราเร็วของวัตถุเมื่อ X = 3 เมตร วิธีทำ ก ) งานในการเคลื่อนที่วัตถุไปเป็นระยะทาง 3 เมตร ก็คือพื้นที่ได้กราฟซึ่งมีค่า x ฐาน x สูง ข ) วัตถุจะเคลื่อนที่ด้วยความเร่ง ซึ่งหาได้จากสูตร อัตราเร็วของวัตถุหาได้จากสูตร แทนค่า

งานและพลังงาน งานและพลังงานมีความสัมพันธ์ต่อกันและทดแทนกันได้ ความสัมพันธ์ระหว่างงานและพลังงานสามารถใช้แทนกฎการเคลื่อนที่ของนิวตัน เพื่ออธิบายการเคลื่อนที่ของวัตถุได้ ถ้าวัตถุมวล m ถูกกระทำด้วยแรงลัพธ์ วัตถุจะเคลื่อนที่ด้วยความเร่ง a ซึ่ง สามารถเขียนสมการการเคลื่อนที่ได้เป็น งานของแรง จะมีค่า

ถ้าวัตถุเคลื่อนที่ด้วยความเร็วต้น และความเร็วปลาย จะได้ ดังนั้น ทฤษฎีบท งาน-พลังงาน

ตัวอย่าง 4. 4 ถ้าในการลากรถยนต์มวล 1,400 กิโลกรัม คันหนึ่งบนถนนตรงใน ตัวอย่าง 4.4 ถ้าในการลากรถยนต์มวล 1,400 กิโลกรัม คันหนึ่งบนถนนตรงใน แนวระดับจากหยุดนิ่งต้องใช้แรง 4,500 นิวตัน จงหาพลังงานจลน์และ ความเร็วของรถยนต์คันดังกล่าว เมื่อรถยนต์เคลื่อนที่เป็นระยะทาง 100 m วิธีทำ จาก ในที่นี้ และ แทนค่าจะได้ ดังนั้นพลังงานจลน์ และความเร็ว

กำลัง (Power) กำลังเป็นปริมาณที่ใช้วัดความสามารถหรือ ประสิทธิภาพการทำงานของระบบ ซึ่งมีค่าเท่ากับอัตราการทำงานต่อหนึ่งหน่วยเวลา กำลังเฉลี่ย : กำลังบัดดล : เนื่องจาก หน่วยของกำลังคือ วัตต์ (watts) : สำหรับเครื่องยนต์ นิยมใช้หน่วยกำลังม้า (horse power) :

ตัวอย่าง 4.5 รถแข่งคันหนึ่งซึ่งมีมวล 200 กิโลกรัมเริ่มเคลื่อนที่จากหยุดนิ่งจนมี ความเร็วสุดท้ายเป็น 20 เมตร/ วินาที ในเวลา 15 วินาที ถ้าสมมติให้แรง ต้านของอากาศมีค่าคงตัวเท่ากับ -500 นิวตัน ตลอดการเคลื่อนที่ จงหา กำลังเฉลี่ยตลอดการเคลื่อนที่ และกำลังบัดดล ณ ความเร็วสุดท้ายของ เครื่องยนต์ของรถแข่ง วิธีทำ - หาความเร่งของรถแข่งจาก ในที่นี้ แทนค่าจะได้ - หาแรงลัพธ์ (F) ที่เครื่องยนต์กระทำต่อรถแข่งจาก ในที่นี้ แทนค่า

กำลังเฉลี่ย : ในที่นี้ แทนค่า กำลังบัดดล : แทนค่า

พลังงาน (energy) พลังงานอาจแบ่งออกเป็น 2 ชนิด คือ พลังงานจลน์ (kinetic energy) และพลังงานศักย์ (potential energy) พลังงานจลน์จะขึ้นอยู่กับความเร็ว แต่พลังงานศักย์จะขึ้นอยู่กับตำแหน่ง เนื่องจากพลังงานของวัตถุมีค่าคงตัว ดังนั้นถ้าพลังงานจลน์ของระบบมี ค่าเพิ่มขึ้น พลังงานศักย์ของระบบจะลดลง และตรงกันข้ามในทางกลับกัน พลังงานศักย์มีหลายประเภท เช่น พลังงานศักย์โน้มถ่วง ซึ่งเกิดจากแรง โน้มถ่วง และพลังงานศักย์ยืดหยุ่นของสปริง ซึ่งเกิดจากแรงยืดหยุ่นของ สปริง

งานที่ทำด้วยแรงโน้มถ่วง = ผลต่างของพลังงานศักย์โน้มถ่วง พลังงานศักย์โน้มถ่วงจะขึ้นอยู่กับตำแหน่งของวัตถุเทียบกับระดับอ้างอิง ซึ่งอาจหาค่าได้จากรูป ถ้าวัตถุมวล m อยู่สูงจากระดับ อ้างอิงเป็น y1 และ y2 จะมีพลังงาน ศักย์โน้มถ่วง ถ้า เป็นการกระจัดในการเลื่อนวัตถุจากตำแหน่ง y1 สู่ y2 จะได้งาน ของแรงโน้มถ่วงมีค่า งานที่ทำด้วยแรงโน้มถ่วง = ผลต่างของพลังงานศักย์โน้มถ่วง

ตัวอย่าง 4.6 จงหาพลังศักย์โน้มถ่วงของวัตถุมวล m ซึ่งอยู่ห่างจากจุดศูนย์กลาง ของโลกเป็นระยะ r กำหนดให้โลกมีมวลเป็น M วิธีทำ พลังงานศักย์โน้มถ่วง คืองานในการเคลื่อนวัตถุมวล m จากระยะ r2 มายัง r1 ดังรูป ถ้า และ r1= r จะได้

พลังงานศักย์ยืดหยุ่นของสปริง เป็นพลังงานศักย์ที่เกิดจากแรงดึงกลับของสปริงเมื่อถูกยืดออก พลังงานศักย์ยืดหยุ่นของสปริงจะมีค่าเท่ากับงานของแรงดึงกลับซึ่ง เป็นไปตามกฎของฮุค (Hook’s law)

แรงอนุรักษ์ (conservative force) เป็นแรงที่ให้งานที่ไม่ขึ้นกับวิถีแต่ขึ้นอยู่กับตำแหน่งเริ่มต้นและตำแหน่ง สุดท้าย งานของแรงอนุรักษ์มีลักษณะผันกลับได้ (reversible) หรือสามารถเก็บกัก เอาไว้ได้ในรูปของพลังงานและนำกลับมาใช้ได้ในภายหลัง เงื่อนไขทางคณิตศาสตร์ของแรงอนุรักษ์ : Integral form : Differential form :

ตัวอย่าง 4.7 จงพิสูจน์ว่าแรง เป็นแรงอนุรักษ์เมื่อ วิธีทำ

แสดงว่า เป็นแรงอนุรักษ์

กฎการอนุรักษ์พลังงาน (conservative of energy) เป็นกฎที่แสดงให้เห็นว่าพลังงานกล (mechanical energy) ของวัตถุซึ่ง ประกอบด้วยพลังงานจลน์ และพลังงานศักย์มีค่าคงตัว พิสูจน์ จากทฤษฎีบท งาน-พลังงาน: จากเรื่องงานของแรงอนุรักษ์: หรือ ดังนั้น - กฎการอนุรักษ์พลังงาน

ตัวอย่าง 4.8 ก้อนวัตถุตกจากจุดปล่อยซึ่งสูงเป็นระยะ h จงหาพลังงานจลน์ และพลังงานศักย์ของก้อนวัตถุในฟังก์ชันของ เวลาและความสูง วิธีทำ เมื่อวัตถุตกลงเป็นระยะ y จะมีความเร็ว ดังนั้น พลังงานจลน์ : พลังงานศักย์ : ในที่นี้ ดังนั้น พลังงานรวม :

ในฟังก์ชันของตำแหน่ง : พลังงานจลน์ : พลังงานศักย์ : พลังงานรวม :

กราฟของพลังงานจลน์และพลังงานศักย์ ในฟังก์ชันของเวลา ในฟังก์ชันของตำแหน่ง

ตัวอย่าง 4. 9 จงหาว่าถ้ามวล 9 กิโลกรัมกรัมวิ่งเข้าชนสปริงด้วยความเร็ว 1.5 เมตร/ วินาที จะทำให้สปริงที่มีค่าคงตัว 100 นิวตัน / เมตร ถูกอัดเป็นระยะเท่าใด วิธีทำ จากหลักการอนุรักษ์พลังงานจะได้พลังงานจลน์ของมวลเท่ากับ พลังงานศักย์ของสปริงหรือ ( มวล ) ( สปริง ) ในที่นี้ แทนค่า

ตัวอย่าง 4.10 วัตถุมวล 100 กรัมไถลลงรางเกลี้ยงเข้าชนสปริงที่มีค่าคงตัวของสปริง 98 นิวตัน/ เมตร ซึ่งวางอยู่ในแนวราบบนพื้นด้านล่างของราง ปรากฏ ว่าสปริงถูกอัดเป็นระยะ 10 เซนติเมตรก่อนที่จะยืดตัวออกเพื่อดันให้ วัตถุดังกล่าวไถลขึ้นไปตามราง จงหา ก) วัตถุจะถูกดันไปบนรางด้วยความสูงเท่าไร ข) งานของแรงปฏิกิริยาของพื้นรางที่ยกวัตถุขึ้นรางตามข้อ ก) ค) ความเร็วต้นของวัตถุในการไถลขึ้นบนราง ง) ถ้าพื้นรางไม่เกลี้ยงและเกิดการสูญเสียพลังงาน 0.5 จูล วัตถุจะ ขึ้นสูงเท่ไร วิธีทำ ก) ใช้หลักการอนุรักษ์พลังงาน : ( สปริง ) ( มวล ) แทนค่า

ข ) งานของแรงปฏิกิริยาที่ยกวัตถุขึ้นบนรางก็คือพลังงานศักย์ของวัตถุ หรือ ค ) ใช้หลักการอนุรักษ์พลังงาน : ( สปริง ) ( มวล ) แทนค่าจะได้ ง ) ใช้หลักการอนุรักษ์พลังงาน : ( สปริง ) ( มวล ) แทนค่า ดังนั้น h = 0.2 m

แบบฝึกหัด 1 อนุภาคถูกขับเคลื่อนด้วยแรง 1 อนุภาคถูกขับเคลื่อนด้วยแรง ในแนวเส้นตรงจากจุด A ถึงจุด B โดยมี และ จงคำนวณหางาน 2. สปริงมีค่านิจสปริงเท่ากับ 15.0 นิวตัน/เซนติเมตร จงคำนวณหา (a) งานในการยืดสปริงออก 7.60 มิลลิเมตร จากจุดสมดุลสปริง (b) ต้องใช้งานอีกเท่าใดในการยืดสปริงเพิ่มขึ้นอีก 7.60 มิลลิเมตร

ในการแข่งขันเทนนิส Thailand Open ครั้งที่แล้ว ภารดร ศรีชาพันธ์ ตี ลูกท็อปสปินขนานเส้นข้างใส่คู่ต่อสู่ตามเส้นทาง จงหางานเป็นจูลของแรง ที่ ขับเคลื่อนลูกเทนนิสครั้งนี้ จากจุดเวลา t = 1 วินาที ถึง t = 2 วินาที

เด็กหญิงซึ่งมีมวล 20 กิโลกรัม กำลังเล่นกระดานลื่นซึ่งสูง 6 เมตร และไม่มีความเสียดทาน ดังรูป ถ้าเด็กหญิงเริ่มต้นจากหยุดนิ่ง จงหาความเร็วของเขาเมื่อลงถึงพื้น กำหนดให้ g = 10 เมตร/วินาที2

ลิฟต์ที่ศูนย์การค้า The Mall กำลังเคลื่อนที่ลงจากชั้นบนด้วยอัตราเร็ว คงตัว 2 เมตร/วินาที ภายใต้แรงเสียดทานระหว่างโครงลิฟต์กับตัวลิฟต์ที่มีขนาดคงตัว 1500 นิวตัน ถ้าลิฟต์มีมวล 500 กิโลกรัม บรรทุกผู้โดยสาร 5 คน ซึ่งมีมวลคนละ 80 กิโลกรัม จงหากำลังม้า (hp) ของมอเตอร์ที่ขับเคลื่อนลิฟต์ในขณะนั้น กำหนดให้ g = 10 เมตร/วินาที2 ถ้ายกกล่องมวล M จากพื้นขึ้นในแนวดิ่งด้วยเชือกเส้นหนึ่งด้วยความเร็วคงตัว เป็นระยะ d จงหางานของแรงตึงเชือกและงานของแรงโน้มถ่วงในการยกกล่องดังกล่าว

ถ้าอนุภาคเคลื่อนที่ในแนวแกน x และมีพลังงานศักย์ Ep(x) ณ ตำแหน่งต่างๆ บนแกน x เป็นดังรูป จงพิจารณาความเป็นไปได้ของการเคลื่อนที่ของอนุภาค

10. วัตถุมวล m เริ่มไถลจากจุดหยุดนิ่งไปตามรางลื่นดังรูป ถ้าวัตถุหลุดจากรางในแนวขนานกับพื้นดิน จากนั้นจึงตกถึงพื้นตามเส้นทางดังรูป ถ้าไม่คิดแรงต้านอากาศ จงหาความสูง h ที่วัตถุเริ่มไถล 11. ลูกบอลถูกปล่อยจากระดับความสูง 1 m และตกกระทบพื้น ถ้าลูกบอลเสียพลังงานไปเนื่องจากการชนพื้น 10% จงหาระดับความสูงที่ลูกบอลกระเด้งกลับขึ้นมา