Chapter Objectives กฎสี่เหลี่ยมด้านขนาน (Parallelogram Law) รูปแบบคาร์ทีเชียนสำหรับเวกเตอร์ (Cartesian vector form) Dot product และมุมระหว่าง 2 เวกเตอร์

Chapter Outline Scalars and Vectors Vector Operations Vector Addition of Forces Addition of a System of Coplanar Forces (การรวมเวกเตอร์ที่อยู่บนระนาบเดียวกัน) Cartesian Vectors Addition and Subtraction of Cartesian Vectors Position Vectors (เวกเตอร์ระบุตำแหน่ง) Force Vector Directed along a Line (เวกเตอร์แรงในแนวเส้น) Dot Product

2.1 Scalars and Vectors Scalar – A quantity characterized by a positive or negative number (ปริมาณที่กำหนดค่าได้ มีค่าทั้ง บวก หรือ ลบ) – Indicated by letters in italic such as A (แสดงด้วยอักษรตัวเอียง) e.g.

2.1 Scalars and Vectors Vector – A quantity that has magnitude and direction (ปริมาณที่กำกับด้วยทั้งขนาดและทิศทาง) e.g. – เขียนแทนด้วยตัวอักษรที่มีลูกศรอยู่ด้านบน – ขนาดเขียนด้วยสัญลักษณ์ – ในวิชานี้ เวกเตอร์เขียนด้วยอักษรตัวหนา A และขนาดเขียนด้วยอักษรปกติ A

2.2 Vector Operations Multiplication and Division of a Vector by a Scalar (การคูณและการหารเวกเตอร์ด้วยสเกลาร์) - Product of vector A and scalar a - Magnitude = - Law of multiplication applies e.g. A/a = ( 1/a ) A, a≠0

2.2 Vector Operations Vector Addition (ผลรวมของเวกเตอร์) - ผลรวมของ 2 เวกเตอร์ A and B ได้ผลลัพท์คือเวกเตอร์ R โดยกฎสี่เหลี่ยมด้านขนาน (parallelogram law) - R ได้จากการสร้างรูปสามเหลี่ยม - R = A + B = B + A - กรณีพิเศษ: เวกเตอร์ A และ B อยู่ใน แนวเส้นตรงเดียวกัน (collinear)

2.2 Vector Operations Vector Subtraction (การลบเวกเตอร์) - Special case of addition e.g. R’ = A – B = A + ( - B ) - ใช้หลักการรวมของเวกเตอร์ได้

2.3 Vector Addition of Forces การหาแรงลัพท์ (Resultant Force) ใช้กฎสี่เหลี่ยมด้านขนาน (Parallelogram law) Resultant, FR = ( F1 + F2 )

2.3 Vector Addition of Forces ขั้นตอนการวิเคราะห์ Parallelogram Law วาดรูปสี่เหลี่ยมด้านขนาน 2 องค์ประกอบของแรงเป็นด้านของรูปสี่เหลี่ยม แรงลัพท์ได้จากเส้นทแยงมุมของรูปสี่เหลี่ยม

2.3 Vector Addition of Forces ขั้นตอนการวิเคราะห์ ตรีโกณมิติ วาดครึ่งหนึ่งของรูปสี่เหลี่ยมด้านขนาน ขนาดของแรงลัพท์สามารถหาได้โดยกฎของโคซายน์ (law of cosines) ทิศทางของแรงลัพท์หาจากกฎของซายน์ (law of sines)

Example 2.1 The screw eye is subjected to two forces, F1 and F2. Determine the magnitude and direction of the resultant force.

Solution Parallelogram Law Unknown: magnitude of FR and angle θ

Solution

Solution Trigonometry Direction Φ of FR measured from the horizontal

2.4 Addition of a System of Coplanar Forces Scalar Notation ใช้ระบบแกน x และ y ที่มีค่าทั้งบวกและลบ เขียนองค์ประกอบของแรงอยู่ในรูปของพีชคณิตของสเกลาร์

2.4 Addition of a System of Coplanar Forces Cartesian Vector Notation เวกเตอร์คาร์ทีเชียนหนึ่งหน่วย i และ j ใช้สำหรับการระบุทิศทางใน x และ y เวกเตอร์หนึ่งหน่วย i and j ไม่มีหน่วยและมีขนาดเท่ากับหนึ่ง ขนาดของเวกเตอร์ใด ๆ นิยมเขียนเป็นค่าบวก และเขียนเป็นสเกลาร์ เช่น Fx และ Fy

2.4 Addition of a System of Coplanar Forces Coplanar Force Resultants (แรงลัพท์บนระนาบ) ในการหาแรงลัพท์จากแรงหลายตัวบนระนาบ: แตกแรงใด ๆ ออกเป็นองค์ประกอบ x และ y รวมองค์ประกอบเหล่านั้นด้วยพีชคณิตของสเกลาร์ แรงลัพท์สามารถหาได้จากกฎสี่เหลี่ยมด้านขนาน Cartesian vector notation:

2.4 Addition of a System of Coplanar Forces Coplanar Force Resultants

2.4 Addition of a System of Coplanar Forces Coplanar Force Resultants เราสามารถแสดงได้ทุกกรณีว่า ขนาดของ FR สามารถหาจากทฤษฎีปิธากอรัส

Example 2.5 Determine x and y components of F1 and F2 acting on the boom. Express each force as a Cartesian vector.

Solution Scalar Notation Cartesian Vector Notation

Solution By similar triangles we have Scalar Notation: Cartesian Vector Notation:

Example 2.6 The link is subjected to two forces F1 and F2. Determine the magnitude and orientation of the resultant force.

Solution I Scalar Notation:

Solution I Resultant Force From vector addition, direction angle θ is

Solution II Cartesian Vector Notation Thus, ขนาดของแรง FR สามารถหาได้เหมือนวิธีก่อนหน้า

Right-Handed Coordinate System (ระบบพิกัดตามกฎมือขวา) 2.5 Cartesian Vectors (3D) Right-Handed Coordinate System (ระบบพิกัดตามกฎมือขวา) ระบบพิกัดฉากหรือพิกัดคาร์ทีเชียนมีลักษณะตามมือขวา: นิ้วโป้งของมือขวาชี้ไปทางบวกของแกน z นิ้วอื่น ๆ กวาดจากแกน x ไป y แกน z สำหรับปัญหา 2 มิติ มีทิศตั้งฉากและพุ่งออกจากหน้ากระดาษ

2.5 Cartesian Vectors ใช้กฎสี่เหลี่ยมด้านขนาน 2 ครั้ง Rectangular Components of a Vector (องค์ประกอบฉากของเวกเตอร์) เวกเตอร์ A สามารถแตกได้เป็น หนึ่ง สอง หรือ สาม องค์ประกอบตามแกน x, y และ z ขึ้นอยู่กับแนวของเวกเตอร์นั้น ใช้กฎสี่เหลี่ยมด้านขนาน 2 ครั้ง A = A’ + Az A’ = Ax + Ay รวมผลของสมการทั้งสอง A เขียนได้เป็น A = Ax + Ay + Az

2.5 Cartesian Vectors Unit Vector (เวกเตอร์หนึ่งหน่วย) เวกเตอร์หนึ่งหน่วยมีขนาดเท่ากับ 1 ถ้า A คือเวกเตอร์ที่มีขนาดไม่เท่ากับศูนย์แล้ว เวกเตอร์หนึ่งหน่วยที่มีทิศทางเดียวกับ A สามารถเขียนเป็น uA = A / A ดังนี้ A = A uA เวกเตอร์หนึ่งหน่วยสำหรับแกน x, y, z

2.5 Cartesian Vectors Cartesian Vector Representations (การแสดงผลสำหรับเวกเตอร์คาร์ทีเชียน) 3 องค์ประกอบของ A ในทิศทาง i, j และ k directions *ข้อสังเกต การแยกขนาดและทิศทาง ให้เป็นแต่ละองค์ประกอบทำให้การ บวก ลบ เวกเตอร์ทำได้ง่ายขึ้น

2.5 Cartesian Vectors Magnitude of a Cartesian Vector จากรูปสามเหลี่ยมด้านบน, จากรูปสามเหลี่ยมด้านล่าง, รวมสมการเพื่อหา A

2.5 Cartesian Vectors Direction of a Cartesian Vector ทิศทางของ A นิยามด้วยมุมในระบบพิกัด α, βและ γ ที่วัดระหว่างหางของ A กับทิศบวกของแกน x, y และ z 0° ≤ α, β และ γ ≤ 180 ° The direction cosines of A is

2.5 Cartesian Vectors Direction of a Cartesian Vector มุม α, β และ γ สามารถหาได้จาก inverse cosines กำหนด A = Axi + Ayj + AZk ดังนั้น, uA = A /A = (Ax/A)i + (Ay/A)j + (AZ/A)k โดย

2.5 Cartesian Vectors Direction of a Cartesian Vector uA สามารถเขียนได้เป็น uA = cosαi + cosβj + cosγk เนื่องจาก และ uA = 1, จะได้ A เขียนในรูปเวกเตอร์คาร์ทีเชียน A = AuA = Acosαi + Acosβj + Acosγk = Axi + Ayj + AZk

2.6 Addition and Subtraction of Cartesian Vectors Concurrent Force Systems (ระบบแรงที่มีจุดรวมกัน) แรงลัพท์หาได้จากผลรวมเวกเตอร์ของทุกแรงในระบบ FR = ∑F = ∑Fxi + ∑Fyj + ∑Fzk

Example 2.8 Express the force F as Cartesian vector.

Solution จากโจทย์ได้กำหนดมุมทั้งสองไว้ มุมที่สามสามารถหาได้ มีสองคำตอบที่เป็นไปได้

Solution จากการสังเกต, α = 60º เนื่องจาก Fx อยู่ในทิศ +x จากค่า F = 200N ตรวจสอบ:

2.7 Position Vectors x,y,z Coordinates Right-handed coordinate system แกน +z พุ่งขึ้นด้านบน,ใช้ระบุความสูงของวัตถุ หรือระดับของจุด ที่สนใจ จุดต่าง ๆ อ้างอิงเทียบกับจุดเริ่มต้น O

2.7 Position Vectors Position Vector Position vector r มีนิยามคือเวกเตอร์ (คงที่) ที่ใช้ระบุตำแหน่งของจุดใดจุดหนึ่งเมื่อเทียบกับจุดอื่น E.g. r = xi + yj + zk

2.7 Position Vectors Position Vector (between 2 points) Vector addition rA + r = rB Solving r = rB – rA = (xB – xA)i + (yB – yA)j + (zB –zA)k or r = (xB – xA)i + (yB – yA)j + (zB –zA)k

2.7 Position Vectors ความยาวและทิศทางของเคเบิล AB สามารถหาได้โดยการพิจารณา A และ B โดยพิกัด x, y, z สามารถสร้าง Position vector r ได้ ขนาดของเวกเตอร์ r แสดงถึงความยาวของเคเบิล มุม, α, β และ γ แสดงถึงทิศทาง ของเคเบิล Unit vector เขียนเป็น u = r/r

Example 2.12 An elastic rubber band is attached to points A and B. Determine its length and its direction measured from A towards B. A (1, 0, -3) m B (-2, 2, 3) m

Solution Position vector Magnitude = length of the rubber band Unit vector in the director of r

Solution

2.8 Force Vector Directed along a Line สำหรับปัญหา 3D ทิศทางของแรง F สามารถเขียนด้วย 2 จุดที่วางอยู่บนแนวของแรงนั้น F สามารถเขียนในรูปเวกเตอร์คาร์ทีเชียน F = F u = F (r/r) ให้สังเกตว่า แรง F มีหน่วยเป็น (N) ขณะที่เวกเตอร์ r มีหน่วยเป็น (m) และ (r/r) ไม่มีหน่วย

2.8 Force Vector Directed along a Line - สร้างระบบพิกัด x, y, z - สร้าง position vector r ตามแนวของเคเบิล เวกเตอร์หนึ่งหน่วย u = r/r ใช้บอกทิศทางทั้งของแนวเส้นเคเบิลและแรง ดังนั้น F = Fu

Example 2.13 The man pulls on the cord with a force of 350N. Represent this force acting on the support A, as a Cartesian vector and determine its direction.

Solution End points of the cord are A (0m, 0m, 7.5m) and B (3m, -2m, 1.5m) Magnitude = length of cord AB Unit vector,

Solution Force F has a magnitude of 350N, direction specified by u.

2.9 Dot Product Dot product ของเวกเตอร์ A และ B เขียนเป็น A·B (อ่านว่า A dot B) กำหนดค่าขนาดของ A และ B และมุมระหว่างหางของเวกเตอร์ทั้งสอง A·B = AB cosθ where 0°≤ θ ≤180° เรียกว่าผลคูณแบบสเกลาร์ของเวกเตอร์ (ผลลัพท์ที่ได้เป็นสเกลาร์)

2.9 Dot Product Laws of Operation 1. Commutative law A·B = B·A 2. Multiplication by a scalar a(A·B) = (aA)·B = A·(aB) = (A·B)a 3. Distribution law A·(B + D) = (A·B) + (A·D)

2.9 Dot Product Cartesian Vector Formulation - Dot product of Cartesian unit vectors i·i = (1)(1)cos0° = 1 i·j = (1)(1)cos90° = 0 - Similarly i·i = 1 j·j = 1 k·k = 1 i·j = 0 i·k = 0 j·k = 0

2.9 Dot Product Cartesian Vector Formulation การนำไปใช้ประโยชน์ Dot product of 2 vectors A and B A·B = AxBx + AyBy + AzBz การนำไปใช้ประโยชน์ ใช้หามุมระหว่างสองเวกเตอร์หรือเส้นที่ตัดกัน θ = cos-1 [(A·B)/(AB)] 0°≤ θ ≤180° ใช้หาองค์ประกอบของเวกเตอร์ที่ขนาน หรือตั้งฉากกับแนวเส้น Aa = A cos θ = A·u

Example 2.17 The frame is subjected to a horizontal force F = {300j} N. Determine the components of this force parallel and perpendicular to the member AB. A (0, 0, 0) B (2, 6, 3)

Solution Since Thus

Solution Since result is a positive scalar, FAB has the same sense of direction as uB. Express in Cartesian form Perpendicular component

Solution Magnitude can be determined from F┴ or from Pythagorean Theorem, or