การวิเคราะห์สภาวะชั่วครู่ในระบบไฟฟ้ากำลัง Power System Transient Analysis Piyadanai Pachanapan, 303427 Power System Analysis, EE&CPE, NU

การวิเคราะห์สภาวะชั่วครู่ (Transient Analysis) เป็นการวิเคราะห์การเปลี่ยนแปลงในระบบในช่วงเวลาสั้นๆ ซึ่งบางครั้งเครื่องมือวัดไม่สามารถตรวจจับได้ทัน การเปลี่ยนแปลงในระบบไฟฟ้า อาจมีสาเหตุจากการเปลี่ยนแปลงโหลดในระบบ หรือ เกิดฟอลต์ขึ้นในระบบ พารามิเตอร์ที่สนใจในการวิเคราะห์ คือ กระแสที่ไหลในวงจร และ แรงดันที่ตำแหน่งต่างๆ ขณะมีการเปลี่ยนแปลงเกิดขึ้นในระบบ ตำแหน่งที่สนใจวิเคราะห์สภาวะชั่วครู่ คือ ที่บัสเครื่องกำเนิดไฟฟ้า หม้อแปลง และ อุปกรณ์ตัดตอน

แบบจำลองเครื่องจักรกลซิงโครนัส สำหรับการวิเคราะห์สภาวะชั่วครู่ Cylindrical Salient pole

Amortisseur หรือ Damper Winding ขดลวดที่ติดตั้งอยู่ที่แกนโรเตอร์ของเครื่องจักรกล ใช้รักษาความเร็วในการหมุนของเครื่องจักรกลเมื่อมีการเปลี่ยนแปลงในระบบ ในสภาวะทำงานปกติ ไม่คิดผลกระทบในขดลวดส่วนนี้ (ตัดทิ้ง)

F – ขดลวดสนาม (Field Winding) D – direct axis Damper Winding เมื่อเกิดการลัดวงจรในระบบ โครงสร้างของเครื่องจักรซิงโครนัส มีลักษณะ ดังนี้ Synchronously rotating Reference frame F – ขดลวดสนาม (Field Winding) D – direct axis Damper Winding Q – quadrature axis Damper Winding

เครื่องจักรหมุนด้วยความเร็ว ซึ่งหมุนจากแกนอ้างอิงของเฟส a ที่ t = 0 สมมติให้ : เครื่องจักรหมุนด้วยความเร็ว ซึ่งหมุนจากแกนอ้างอิงของเฟส a ที่ t = 0 มุม คือ มุมที่แกน d ของโรเตอร์นำหน้าแกนแม่เหล็กของเฟส a จาก จะได้ เมื่อ - มุมที่แกน q เคลื่อนที่ตามแกนอ้างอิงการหมุนของเครื่องจักร แกนอ้างอิง การหมุน

ค่า inductance จะขึ้นกับตำแหน่งการหมุนของโรเตอร์ สามารถเขียนวงจรแสดงการเชื่อมต่อของค่าแม่เหล็กไฟฟ้า (magnetically couple circuit) ระหว่างโรเตอร์กับสเตเตอร์ ได้เป็น Damper Winding ค่า inductance จะขึ้นกับตำแหน่งการหมุนของโรเตอร์ ค่าต่างๆที่ฝั่งโรเตอร์จะขึ้นอยู่กับตำแหน่งในอากาศ (space) ส่วนค่าต่างๆที่ฝั่งสเตเตอร์จะขึ้นเวลา (time)

กรณีเครื่องจักรกลไฟฟ้าทำงานเป็นเครื่องกำเนิดไฟฟ้า Flux Linkage KVL :

เขียนสมการแรงดันในรูปเมตริก ได้เป็น เขียนได้เป็น เมื่อ

Flux Linkage เป็นฟังก์ชันของ Self และ Mutual Inductances ดังนี้ เขียนในรูปแบบกระทัดรัด (Compact form) ได้เป็น

Inductances of Salient - Pole Machine Self – Inductance ของขดลวดสเตเตอร์ (อาร์เมเจอร์) มีการเปลี่ยนแปลงเป็นฟังก์ชันคาบ (Periodically) มีค่ามากสุด เมื่อแกน d ตรงกับแกนสนามแม่เหล็กของขดลวด (Coil magnetic axis) มีค่าน้อยสุด เมื่อแกน q ตรงกับแกนสนามแม่เหล็กของขดลวด (Coil magnetic axis)

Variation of permeance with rotor position P - Permeance

mmf ของเฟส จะมีการกระจายเป็นรูป sine ตามขนาด Permeance ที่เปลี่ยนแปลงตามการเคลื่อนที่ของโรเตอร์ ขนาด mmf สูงสุด เฟส a จะเท่ากับ Naia เมื่อ Na คือ จำนวนรอบขดลวด Peak MMFad Peak MMFaq

Air gap fluxes ในแต่ละแนวแกน มีค่าเป็น : โดยที่ คือ the permeance coefficients ของแกน d และ q Pd, Pq Total Air gap fluxes linking phase a มีค่าเป็น

The self-inductance ของเฟส a เนื่องจาก air gap flux มีค่าเป็น : จาก พบว่า

The total self-inductance ของเฟส a จะเป็นการรวมกันของ Leakage Inductance (Lal) กับ Lgaa โดยที่เฟส b และ c จะวิเคราะห์ได้แบบเดียวกัน แต่มุมเฟสจะแตกต่างกัน

การเปลี่ยนแปลงของค่า Laa กับมุม มีลักษณะดังนี้

Mutual – Inductance ของขดลวดสเตเตอร์ (อาร์เมเจอร์) มีการเปลี่ยนแปลงเป็นฟังชั่นคาบ ในรูปของฮาร์โมนิคอันดับ 2 อันเนื่องจากรูปร่างของโรเตอร์ มีค่าเป็นลบ (Negative) มีค่าสูงสุดเมื่อขั้วแม่เหล็กอยู่กึ่งกลางระหว่างแกนของขดลวด 2 ขด (ตามหลังแกนขดลวดเฟส a 30o หรือ นำหน้าแกนขดลวดเฟส b 30o)

Mutual Inductance Lab สามารถหาได้จาก air gap flux ที่เกี่ยวคล้อง เฟส b เมื่อมีการกระแสที่เฟส a (ia) flux linking ที่เฟส b จะแทนที่มุม ด้วย จาก พบว่า

The mutual - inductance ระหว่างเฟส a และ b เนื่องจาก air gap flux มีค่าเป็น : จาก พบว่า

ผลของ mutual flux ที่ปลายขดลวด ซึ่งไม่ได้ข้าม air gap จะมีค่าน้อยมากๆ The mutual-inductance ระหว่างเฟส a และ b มีค่าเป็น โดยที่เฟส b และ c จะวิเคราะห์ได้แบบเดียวกัน แต่มุมเฟสจะแตกต่างกัน

การเปลี่ยนแปลงของค่า mutual inductance ระหว่างเฟส a กับ b เทียบกับมุม มีลักษณะดังนี้ ค่าเป็นลบ

Self – Inductance ของโรเตอร์ มีค่าคงที่ เมื่อไม่คิดผลกระทบของสล็อตสเตเตอร์และการอิ่มตัว สามารถเขียนค่า Self Inductance ค่าต่างๆ ได้เป็น

Mutual – Inductance ระหว่างแกนของโรเตอร์ mutual inductance ระหว่างวงจรในแนวแกน d จะมีค่าคงที่ (วงจรขดลวดสนาม กับ ขดลวด damper) ไม่มี mutual inductance เกิดขึ้นระหว่างวงจรที่อยู่ในแกน d และ แกน q

Mutual – Inductance ระหว่างโรเตอร์กับสเตเตอร์ เป็นฟังก์ชันคาบ ขึ้นกับมุมเคลื่อนที่ของโรเตอร์ ซึ่งจะเปลี่ยนแปลงในรูปแบบฟังก์ชัน sine

ค่า Inductance ที่ได้ จะนำมาแทนใน ค่า Flux Linkage จะนำมาแทนในสมการ เมื่อแก้สมการอนุพันธ์ได้ จะทราบค่าแรงดันและกระแสในสภาวะชั่วครู่ เนื่องจากมีตัวแปรในรูปสมการอนุพันธ์มีจำนวนมาก จึงไม่เหมาะที่จะใช้วิธีแก้ปัญหาโดยวิธีการแปลงลาปลาซ (Laplace Transform)

The Park Transformation การแปลงปริมาณทางด้านสเตเตอร์ (เฟส a, b, c) ให้อยู่ในเฟรมเดียวกับปริมาณทางด้านโรเตอร์ (แกน d, q) เรียกทฤษฎีการแปลงนี้กว่า ทฤษฎีสองแกน (Two Axis theory) ซึ่งคิดค้นโดย Blondel, Doherty, Nickle และ Park

สามารถแปลงค่ากระแสเฟสด้านสเตเตอร์ ให้เป็นกระแสในแนวแกน d และ แกน q ได้เป็น เมื่อ kd, kq คือ ค่าสัมประสิทธิ์ในการแปลง โดยทำให้ปริมาณสูงสุดใน แนวแกน d,q เท่ากับค่าสูงสุดของกระแสเฟสที่สเตเตอร์

กำหนดค่ากระแสแต่ละเฟสในสภาวะสมดุล เป็น แปลงเป็นค่ากระแสในแนวแกน d ได้เป็น ค่า id สูงสุด เท่ากับ Im  kd มีค่าเท่ากับ 2/3

สามารถหาค่ากระแสในแนวแกน q ได้เป็น ค่า iq สูงสุด เท่ากับ Im  kq มีค่าเท่ากับ 2/3

เพื่อให้ Degree of freedom ครบสมบูรณ์ จึงกำหนดปริมาณที่ 3 (นอกเหนือจากปริมาณในแนวแกน d,q ) ปริมาณที่ 3 ต้องไม่สร้างสนามขึ้นใน air gap (no space field in air gap) ปริมาณที่ 3 จะใช้ค่ากระแสลำดับศูนย์ในส่วนประกอบสมมาตร ซึ่งมีความสัมพันธ์เป็น ถือว่าปริมาณที่ 3 นี้ เป็นปริมาณในแกน stationary ในสภาวะสมดุล พบว่า

สามารถเขียนการแปลงปริมาณ abc เป็นปริมาณ dq0 ได้เป็น หรือ P เรียกการแปลงนี้ว่า Park Transformation

เขียน Inverse Park Transformation ได้เป็น หรือ P -1 = P T

เขียนเมตริกแสดงความสัมพันธ์ของปริมาณต่างๆ ได้เป็น กำหนดให้ U เป็น identity matrix ขนาด 3x3 พบว่า หรือ

จากสมการ เขียนใหม่ได้เป็น : หรือ

สามารถเขียน flux linkage matrix ให้เป็นปริมาณทางด้านโรเตอร์ได้เป็น โดยที่

แปลงปริมาณกระแสสเตเตอร์ (iabc) เป็นปริมาณกระแสโรเตอร์ (i0dq) หรือ ทำนองเดียวกัน ปริมาณแรงดันเขียนได้เป็น :

จากสมการ เขียนใหม่ได้เป็น :

โดยที่สามารถเขียน ใหม่ ได้เป็น โดยที่สามารถเขียน ใหม่ ได้เป็น เมื่อแทนค่า P และ P-1 จะได้ (มีต่อ)

แทนค่า ลงในสมการ จะได้

จากเมตริกที่ได้ พบว่า ซึ่งเป็นสมการที่ไม่ เกี่ยวข้องกับสมการอื่น เรียกตัวแปรต่างๆในสมการนี้ว่า Zero Sequence Variables จากเทคนิคการแปลง และ สมการคณิตศาสตร์ของค่าตัวแปรต่างๆ ที่ได้ จะนำมาใช้วิเคราะห์ปรากฏการณ์ต่างๆที่เกิดขึ้นในระบบ โดยเฉพาะในสภาวะชั่วครู่ (transient)

Balance Three – Phase Short Circuit สมมติกรณีเครื่องกำเนิดไฟฟ้าอยู่ในสภาวะไม่จ่ายโหลด (no load) ภาวะเริ่มต้นก่อนเกิดฟอลต์แบบ 3 เฟส พบว่า เมื่อใช้ Park Transformation จะได้ จะได้ค่าเริ่มต้นของกระแสขดลวดสนาม (Field Current) เป็น Initial Condition

เมื่อเกิดฟอลต์ 3 เฟส ที่ขั้วของเครื่องกำเนิดไฟฟ้า พบว่า : เมื่อใช้ Park Transformation จะได้ ตัดบัสทิ้ง เมื่อ i0 = 0 สามารถตัดออกจากเมตริกสมการเครื่องกำเนิดไฟฟ้าได้ (เพราะว่าไม่เกี่ยวข้องกับสมการอื่นที่เหลือในเมตริก) Fault Condition

นำปริมาณต่างๆ มาวิเคราะห์ในเฟรมอ้างอิงโรเตอร์ พบว่า

เขียนในรูป compact form ได้เป็น หรือ กรณีที่ความเร็วคงที่ สมการ state space จะเป็นเชิงเส้น สามารถใช้เทคนิคต่างๆในการแก้สมการอนุพันธ์ได้ (Laplace, ODE เป็นต้น) เมื่อแก้สมการ state space ได้แล้ว จะได้ค่ากระแสเป็นปริมาณด้านโรเตอร์ ซึ่งสามารถแปลงมาเป็นปริมาณด้านสเตเตอร์ โดยใช้ Park transformation

เมื่อแทนค่า P –1 และ i0 = 0 จะได้กระแสสเตเตอร์ในแต่ละเฟส เป็น

ตัวอย่างที่ 1 เครื่องกำเนิดไฟฟ้า 500 MVA, 30 kV, 60 Hz ทำงานในสภาวะ no load โดยมีค่าแรงดัน Excitation 400 Vdc และมีค่าพารามิเตอร์ต่างๆ ดังตาราง Ld = 0.0072 H Lq = 0.0070 H LF = 2.500 H LD = 0.0068 H LQ = 0.0016 H MF = 0.100 H MD = 0.0054 H MQ = 0.0026 MR = 0.125 H R = 0.0020 Ohm rF = 0.400 Ohm rD = 0.015 Ohm rQ = 0.0150 Ohm L0 = 0.0010 H

จงหา รูปคลื่นกระแสทรานเซียนต์ที่เกิดขึ้น จากการลัดวงจร 3 เฟสที่ขั้ว กระแสสเตเตอร์ทั้ง 3 เฟส กระแสสนาม (Field Current) สมมติให้ - ความเร็วโรเตอร์มีค่าคงที่ - ลัดวงจรขณะ

เครื่องกำเนิดไฟฟ้าที่สภาวะ no load มีภาวะเริ่มต้น (initial condition) เป็น ค่ากระแสสนาม ในภาวะเริ่มต้น หาจาก แก้สมการอนุพันธ์โดยใช้วิธี Runge – Kutta – Fehlberg Integration ซึ่งเป็นคำสั่ง ode45 ของ MATLAB (แก้สมการอันดับ 4-5 ได้ และมีความถูกต้องสูง)

Symshort.m

โปรแกรมหลัก

Unbalanced Short Circuit การวิเคราะห์จะทำได้ยากกว่ากรณีฟอลต์แบบสมมาตร แบบจำลอง d-q-0 อาจไม่เหมาะที่สุดสำหรับใช้ในการวิเคราะห์ฟอลต์แบบไม่สมมาตร และมีการแปลงมากขั้นตอน เพื่อลดความซับซ้อนลง อาจต้องมีการใช้การประมาณค่า (approximate)

Line to Line Short Circuit กรณีเกิด solid short circuit ระหว่างเฟส b และ c พบว่า และ เฟส a ไม่เกี่ยวข้องกับการลัดวงจร และเครื่องกำเนิดไฟฟ้าอยู่ในภาวะ no load (ia = 0)

จาก เมื่อ i0 = 0  v0 = 0

จาก จะได้ สามารถหาความสัมพันธ์ได้เป็น

(ia = 0 , ib = -ic) จาก จะได้ หาค่าอนุพันธ์ของกระแสในแกน d และ q ได้เป็น

จาก แทนค่า

ประยุกต์สมการ ลงไป จะได้ความสัมพันธ์เป็น

ตัวอย่างที่ 2 ใช้ระบบจากตัวอย่างที่ 1 แต่วิเคราะห์สภาวะชั่วครู่ในกรณีเกิด Line to Line Fault ที่เฟส b และ c

llshort.m

โปรแกรมหลัก

ib iF

Line to Ground Short Circuit เมื่อเกิด solid short circuit ระหว่างเฟส a กับ กราวนด์ พบว่า และ แทนค่าต่างๆลงในสมการ

สามารถเขียนสมการ state space กรณี Single line to ground phase a เป็น เมื่อ

ตัวอย่างที่ 3 ใช้ระบบจากตัวอย่างที่ 1 แต่วิเคราะห์สภาวะชั่วครู่ในกรณีเกิด Single Line to Ground Fault ที่เฟส a

lgshort.m

โปรแกรมหลัก

ia iF

โมเดลอย่างง่ายของเครื่องจักรซิงโครนัสสำหรับการวิเคราะห์สภาวะชั่วครู่ เป็นการศึกษาลักษณะทางกายภาพของเครื่องจักรขณะเกิดการลัดวงจรขึ้นในระบบ สามารถนำลักษณะทางกายภาพ มาแปลงเป็นแบบจำลองเพื่อใช้ในการวิเคราะห์สภาวะชั่วครู่อันเนื่องมาจากการลัดวงจรได้ ขณะเกิดลัดวงจร ค่ารีแอคแตนซ์ >> ค่าความต้านทาน  ใช้แบบจำลองรีแอคแตนซ์ในการวิเคราะห์

กรณีเกิดลัดวงจร 3 เฟส กระแสที่ไหลออกจากเครื่องจักรจะมีค่าสูงมาก ค่ารีแอคแตนซ์ของเครื่องจักรจะเปลี่ยนแปลงเนื่องจาก Armature Reaction ช่วงเวลาที่ทำการวิเคราะห์ มีดังนี้ - ช่วงก่อนเกิดการลัดวงจร - ช่วง Sub Transient - ช่วง Transient - ช่วง Steady State

ช่วงก่อนเกิดการลัดวงจร (The Instant prior to Short Circuit) เป็นสภาวะคงตัว (Steady State) ใช้เป็นภาวะเริ่มต้น (initial condition) จะมีฟลักซ์บางส่วนของแกน d เกี่ยวคล้องทั้งฝั่งสเตเตอร์และโรเตอร์ ในภาวะ no load จะมีเฉพาะ mmf ของโรเตอร์ ในภาวะจ่าย load จะมีกระแสสเตเตอร์ไหล จะมี mmf ของโรเตอร์ และ สเตเตอร์ (Resultant of Rotor and Stator mmf)

ช่วง Sub Transient ภาวะที่เกิดขึ้นทันทีทันใด เมื่อมีการลัดวงจรเกิดขึ้นในระบบ กระแสที่สเตเตอร์จะมีเพิ่มขึ้น อันเนื่องจากการลัดวงจร Flux linking ระหว่างสเตเตอร์กับโรเตอร์จะไม่สามารถเปลี่ยนได้อย่างทันทีทันใด อันเนื่องมาจากกระแส eddy ที่ไหลในโรเตอร์และขดลวด Damper (เป็นการต่อต้านการเปลี่ยนแปลงที่เกิดขึ้น) กระแสในขดลวดด้านโรเตอร์ ทำให้ stator mmf ไม่สามารถสร้าง Armature Reaction ได้  ค่า Armature Reactance ถูกตัดทิ้ง ค่ารีแอคแตนซ์ที่เกิดขึ้นจะมีค่าน้อยมาก และใกล้เคียงกับค่ารีแอคแตนซ์รั่วไหล (Leakage Reactance, Xl)

สามารถเขียนแบบจำลอง โดยคิดผลของขดลวดสนามและขดลวด Damper โดยอ้างอิงไปด้านสเตเตอร์ ได้เป็น เรียกรีแอคแตนซ์ทั้งหมดนี้ว่า Direct axis sub-transient reactance

กรณีที่ขดลวด Damper มีค่าความต้านทาน (Rk) จะสามารถหาค่าคงที่ของวงจร ได้ เรียกว่า Direct axis short circuit sub transient time constant ค่า Xd” จะขึ้นอยู่กับชนิดของเครื่องกำเนิดไฟฟ้าด้วย เช่น - 2 pole, Turbo Alternator  Xd” 0.07 – 0.12 - 2 pole, Water Wheel Alternator  Xd” 0.1 – 0.35 ใช้ในการวิเคราะห์เพื่อหาค่าพิกัดของ Circuit Breaker

ช่วง Transient เนื่องจากขดลวด Damper มีค่าความต้านทานสูง และ มีค่าน้อยมาก (ประมาณ 0.035 วินาที) กระแสฟอลต์จะลดลงอย่างรวดเร็ว กระแสที่เกิดในขดลวด Damper จะน้อยลง จนสามารถตัดในส่วนขดลวด Damper ทิ้งได้ สามารถเขียนแผนภาพรีแอคแตนซ์ได้เป็น

เรียกรีแอคแตนซ์ทั้งหมดนี้ว่า Direct axis short circuit transient reactance กรณีที่ขดลวดสนาม มีค่าความต้านทาน (RF) จะสามารถหาค่าคงที่ของวงจร ได้ เรียกว่า Direct axis short circuit transient time constant ค่า อยู่ช่วงระหว่าง 0.10 ถึง 0.25 ค่า อยู่ช่วงระหว่าง 1 ถึง 2 วินาที

ค่าคงที่เวลาของขดลวดสนาม สามารถแสดงได้ด้วยวงจร armature open – circuited ซึ่งเรียกว่า Direct axis open circuit transient time constant ค่า มีค่าโดยทั่วไป (Typical) ประมาณ 5 วินาที ความสัมพันธ์ระหว่าง กับ คือ

ช่วง Steady State เมื่อกระแสฟอลต์ลดลง จนเป็นค่าคงที่ค่าหนึ่ง ซึ่งจะไม่ปฏิกิริยาใดเกิดขึ้นที่ขดลวดด้านโรเตอร์ ไม่มีการแปลงการกระทำ (transformer action) กันระหว่างด้านสเตเตอร์และโรเตอร์ สามารถเขียนแผนภาพรีแอคแตนซ์ได้เป็น

การวิเคราะห์ค่ารีแอคแตนซ์ในแนวแกน q ก็จะทำในทำนองเดียวกัน ใช้ สำหรับการวิเคราะห์ ในกรณีที่วงจรมีค่าความต้านทาน และมี Power Factor มากกว่า ศูนย์ และ armature reaction ไม่ได้อยู่ในแนวแกน d กระแสอาร์เมเจอร์ที่วิ่งในขดลวดอาร์เมเตอร์ ขณะเกิดลัดวงจร ในสภาวะ no load หาได้จาก

ตัวอย่างที่ 4 เครื่องกำเนิดไฟฟ้า 3 เฟส 60 Hz ทำงานที่ค่าความเร็วซิงโครนัสคงที่ โดยที่ขดลวดอาร์เมเจอร์เปิดวงจรอยู่ในสภาวะเริ่มต้น ซึ่งผลิตแรงดันออกมาที่ค่าพิกัด (1.0 p.u.) ซึ่งเครื่องกำเนิดไฟฟ้ามีพารามิเตอร์ต่างๆ ดังนี้ จงวิเคราะห์เพื่อหารูปคลื่นของกระแสอาร์เมเจอร์ เมื่อเกิดฟอลต์ชนิด 3 เฟส ที่ขั้วของเครื่องกำเนิดไฟฟ้า โดยที่เกิดการลัดวงจรที่ มุม

จากข้อมูลที่ได้จากค่าพารามิเตอร์ต่างๆ สามารถหา iac ได้จาก สามารถหารูปคลื่นได้จากการเขียนโปรแกรม ดังนี้

The Short Circuit Waveform

DC Component of Stator Currents ในระบบ 3 เฟส เนื่องจากแรงดันสเตเตอร์ทำมุมกัน 120o ส่งผลให้ dc component ของกระแสอาร์เมเจอร์ในแต่ละเฟสแตกต่างกัน ขึ้นอยู่กับตำแหน่งของแรงดันขณะเกิดลัดวงจร ตำแหน่งของโรเตอร์ คือ DC Component จะขึ้นกับ ตำแหน่งของโรเตอร์ พบว่าจะขึ้นกับค่า ที่เวลา t = 0

การลดลงของ DC Component จะลดลงในระหว่างช่วง Sub Transient  การลดลงจะขึ้นอยู่กับค่า Xd” และ Xq” ค่าคงที่เวลาของในการลดลงของ DC Component เรียกว่า “armature short circuit time constant ” ค่าโดยทั่วไปของ ประมาณ 0.05 ถึง 0.17 วินาที

พิจารณาที่ เฟส a dc component มีค่าเท่ากับ กระแสอาร์เมเจอร์ ที่รวมผลของ dc component จะมีลักษณะไม่สมมาตร และเขียนสมการได้เป็น

ขนาดของกระแสไม่สมมาตรนี้ จะขึ้นอยู่กับตำแหน่งของแรงดันขณะที่เกิดการลัดวงจร (สังเกต มุม ) ในการวิเคราะห์กรณี worst case พบว่า จะมีค่า DC component สูงสุด (สมมติให้เกิดลัดวงจรที่ t = 0)

ค่า RMS กระแสอาร์เมเจอร์สูงสุด ขณะเกิดลัดวงจร เป็น ใช้ในการวิเคราะห์ momentary duty ของ Circuit breaker

ตัวอย่างที่ 5 จากตัวอย่างที่ 4 จงหารูปคลื่นกระแสอาร์เมเจอร์เฟส a เมื่อกำหนดให้เกิดการลัดวงจรที่ โดยที่ระบบมีค่า จากข้อมูลที่ได้จากค่าพารามิเตอร์ต่างๆ สามารถหา ia ได้จาก

สามารถหารูปคลื่นได้จากการเขียนโปรแกรม ดังนี้ w0 = 2*pi*60; E0 = 1.0; delta = pi/2; Xd2dash = 0.15; Xddash = 0.4; Xd = 1.2; tau2dash = 0.035; taudash = 1.0; ta = 0.15; t=0:1/(4*240):1; iasy = sqrt(2)*E0*((1/Xd2dash-1/Xddash)*exp(-t/tau2dash) +... (1/Xddash-1/Xd)*exp(-t/taudash) + 1/Xd).*sin(w0*t + delta) +... sqrt(2)*E0/Xd2dash *exp(-t/ta); plot(t, iasy), grid xlabel('t, sec'), ylabel('i_{asy}, A') [t' iasy']

Asymmetrical waveform of the armature current of phase a