ดาวน์โหลดงานนำเสนอ
งานนำเสนอกำลังจะดาวน์โหลด โปรดรอ
1
CPE 332 Computer Engineering Mathematics II
Week 7 Part II, Chapter 6 Queuing Theory
2
Today Topics Birth and Death Process Unlimited Server N Servers
Single Server, M/M/1 Kendal Notation Applications
3
Queuing System System Arrival Rate = Departure Rate = Customer
4
Queuing System System Birth Rate Death Rate Arrival Rate =
Departure Rate = System Customer Customer
5
Queuing System System Birth Rate Death Rate Arrival Rate =
Departure Rate = System Customer Customer
6
Queuing System < System Birth Rate Death Rate Arrival Rate =
Departure Rate = System Customer Customer
7
Queuing System Case 1: Unlimited Server; No Queue
< Arrival Rate = Departure Rate = System Customer Customer สมมุติว่า Customer แต่ละคนที่เข้ามาเป็น Poisson และได้รับการ Service จากระบบทันที เวลาที่ใช้ในการ Service เป็น Random สมมุติว่าเป็น Exponential ด้วยเวลาเฉลี่ย T ระบบสามารถรับ Customer ได้ไม่จำกัด ระบบนี้เรียก M/M/
8
Queuing System Case 1: Unlimited Server; No Queue
< Arrival Rate = Departure Rate = System Customer Customer สมมุติว่า Customer แต่ละคนที่เข้ามาเป็น Poisson และได้รับการ Service จากระบบทันที เวลาที่ใช้ในการ Service เป็น Random สมมุติว่าเป็น Exponential ด้วยเวลาเฉลี่ย T ระบบสามารถรับ Customer ได้ไม่จำกัด แต่เข้ามาได้ทีละคน และออกทีละคน ระบบนี้เรียก M/M/ แสดงได้ด้วย Simple Markov Model เราสามารถพิสูจน์ได้ว่าค่า State Probability จะมีการกระจายแบบ Poisson 1 2 i j
9
Queuing System Case 2: Limited Server; No Queue
< Arrival Rate = Departure Rate = System Customer Customer สมมุติว่า Customer แต่ละคนที่เข้ามาเป็น Poisson และได้รับการ Service จากระบบทันที เวลาที่ใช้ในการ Service เป็น Random สมมุติว่าเป็น Exponential ด้วยเวลาเฉลี่ย T ระบบสามารถรับ Customer ได้ N ถ้าทุก Server เต็ม จะรับ Customer ใหม่ไม่ได้ ระบบนี้เรียก M/M/N/N แสดงได้ด้วย Simple Markov Model State Probability จะมีการกระจายแบบ First Erlang (Erlang B) Distribution 1 2 i j N
10
Queuing System Case 3: Limited Server; With Queue
< Arrival Rate = Departure Rate = System Customer Customer สมมุติว่า Customer แต่ละคนที่เข้ามาเป็น Poisson และได้รับการ Service จากระบบทันที เวลาที่ใช้ในการ Service เป็น Random สมมุติว่าเป็น Exponential ด้วยเวลาเฉลี่ย T ระบบสามารถรับ Customer ได้ไม่จำกัด แต่จะ Service ได้สูงสุด N ถ้าทุก Server เต็ม Customer ใหม่จะต้องรอใน Queue ในกรณีนี้จะเกิด Queuing Delay ระบบนี้เรียก M/M/N หรือ M/M/N/ แสดงได้ด้วย Simple Markov Model State Probability จะมีการกระจายแบบ Second Erlang (Erlang C) Distribution 1 2 N N+1
11
Queuing System Arrival Rate = Queuing System Service R. = S
Customer Customer
12
Queuing System Special Case: M/M/1
Arrival Rate = Queue Service R. = S Customer Customer 1 2 N N+1
13
Queuing System Arrival Rate = FIFO Queue Service R. = S Customer
14
State probability is not change
Queuing System M/M/1 Queuing System Service Rate = =1/Ts Arrival Rate = S Customer Customer Steady-State State probability is not change
15
M/M/1 =1/Ts S Arrival = Poisson, Inter Arrival = Exponential, 1/
Service Rate, Service Time, Ts (1/) = Exponential Queue = FIFO 1 Server
16
Queuing Model(1 Server); M/M/1
Queue = 0, No Delay Queue = Delay 1 N+1 N+2 X Server ว่าง Server Busy 1/Ts = service rate For each server arrival rate
17
การทำงานของ M/M/1 No Q Delay Queue Empty Delay Customer Wait in Q
Severe Delay Queue Overflow (Full) Congestion Packet Lost
18
เปรียบเทียบ Queuing Model (N Server); M/M/N
Queue = 0, No Delay Queue = Delay 1 i j N N+1 N+2 X Server ว่าง i Server Busy N Server Busy 1 Server Busy 1/h = service rate For each server A/h=arrival rate Maximum Service Rate = N/h Service Rate at State k = k/h
19
M/M/N No Delay Queue Empty Delay Customer Wait in Q Severe Delay
Queue Overflow (Full) Congestion
20
Network Model (M/M/1)
21
Network Model (M/M/1)
22
Network Model (M/M/1)
23
Network Model (M/M/1)
24
Network Model (M/M/1)
25
Network Model (M/M/1)
26
Network Model (M/M/1) ถ้าเราให้ทุก Model เป็น M/M/1
ดังนั้น Delay จะเป็นผลรวมของ Delay แต่ละอัน
27
Kendal Notation
28
Kendal Notation
29
Kendal Notation
30
Analysis สมมุติตอนแรกว่า Queue มีขนาดไม่จำกัด
ใช้ M/M/1 ในการ Model แต่ละ Port ของ Router (หรือ Switch L3) Arrival คือจำนวน Packet ที่เข้ามาในช่วงเวลาหนึ่ง ปกติวัดเป็น pps ขนาดของ Packet สมมุติว่าไม่แน่นอน แต่มีการกระจายแบบ Exponential Service Time ของแต่ละ Packet จะเป็น Exponential ด้วย ทั้งนี้ขึ้นอยู่กับค่า Link Speed ของ Output Port ค่า Server Utilization เท่ากับอัตราส่วนของ Arrival Rate หารด้วย Service Rate จะบ่งบอกอัตราส่วนที่ Server จะ Busy และคือ Link Utilization ของ Output Port ด้วย
31
Queuing in Communication NW and M/M/1
Arrival Rate Service Rate = 1/Service Time
32
Example Router ได้รับ Packet เฉลี่ย 8 pps 1. Arrival Rate, = 8 pps
ความยาวของ Packet มีการกระจายแบบ Exponential ด้วยความยาวเฉลี่ย 500 Octet Link ที่จะส่งออกไป มีความเร็ว 64 kbps 1. Arrival Rate, = 8 pps 2. ความยาวเฉลี่ยของ Packet = 4000 bit 3. ความเร็ว Link = 64 k ดังนั้น Service Time, Ts ของแต่ละ Packet = 4000/64k = 1/16 4. Service Rate() = 16 pps 5. Server Utilization = 8/16 =0.5 = 50%
33
Assumption 1. อย่าลืมว่า Packet ที่เข้ามา ต้องเป็น Independent และ Random มันจึงเป็น Poisson 2. ความยาวของ Packet จะสมมุติว่าเป็น Exponential ดังนั้น Service Time จะเป็น Exponential ด้วย แม้ว่าสมมุติฐานนี้จะไม่ถูกต้องนัก 3. มี Output Link เดียว คือเป็น Single Server 4. ดังนี้แล้ว จึงจะเป็น M/M/1
34
Utilization Utilization บอกอัตราส่วนที่ Server จะ Busy และสัมพันธ์กับ Probability ที่ Queue จะว่าง Probability ที่ Q ว่าง ใน Network คือคือ Probability ที่ Output Link จะ Busy ด้วย
35
Arrival Rate เนื่องจาก Arrival Rate มีการกระจายแบบ Poisson ดังนั้นถ้าให้ เป็นอัตราเฉลี่ยของ Customer (Packet) ที่เข้ามาในช่วงเวลา 1 วินาที Probability ที่จะมี k customer (Packet) เข้ามาในช่วงเวลา T วินาทีจะหาได้จาก
36
Service Time เป็น Service Time เฉลี่ย และ Service Rate หาได้จาก
เนื่องจาก Service Time เป็น Random Variable ที่มีการกระจายแบบ Exponential ดังนั้น Probability ที่ Service Time จะมีค่าน้อยกว่า T จะเป็น
37
Queue Distribution การกระจายของ Customer (State Probability) สามารถคำนวณได้จาก Probability ที่ ระบบ จะมี k Packet อยู่ดังนี้ โดยที่ p0 คือ Probability ที่ ระบบ จะว่าง ดังนั้น เราได้ กล่าวคือ การกระจายของ Customer ในระบบ หรือค่า State Probability จะเป็น Geometric Distribution
38
Queue Distribution เราได้
กล่าวคือ การกระจายของ Customer ในระบบ หรือค่า State Probability จะเป็น Geometric Distribution และจาก Geometric Distribution ค่าเฉลี่ย คือจำนวน Customer เฉลี่ย คือจำนวน Packet เฉลี่ยในระบบ จะหาได้จาก
39
Queuing Delay ค่า เฉลี่ย คือจำนวน Packet หรือจำนวน Customer เฉลี่ยใน ระบบ จะหาได้จาก ถ้าคิดเฉพาะจำนวน Customer เฉลี่ยใน Queue เราจะได้
40
Queuing Delay จากค่าเฉลี่ย จำนวน Packet เฉลี่ยใน ระบบ และใน Queue จะหาได้จาก ถ้าแต่ละ Packet ต้องใช้เวลาเฉลี่ยในการ Service ดังนั้น ค่า Queuing Delay จะเป็น
41
System Delay ถ้าแต่ละ Packet ต้องใช้เวลาเฉลี่ยในการ Service ดังนั้น ค่า Queuing Delay จะเป็น และเวลาเฉลี่ยทั้งหมดที่ลูกค้าจะต้องรอในระบบทั้งหมดจะเป็น
42
Little’s Theorem ถ้า T เป็นเวลาเฉลี่ยที่ลูกค้าอยู่ในระบบ และ เป็น Arrival Rate ดังนั้นจำนวนลูกค้าเฉลี่ยในระบบจะเท่ากับ
43
สรุป M/M/1
44
สรุป M/M/1
45
สรุป M/M/1
46
M/M/1 Example 1
47
M/M/1 Example 1
48
M/M/1 Example 1
49
M/M/1 Example 1
50
M/M/1 Example 1
51
M/M/1 Example 2
52
M/M/1 Example 2
53
M/M/1 Example 3
54
M/M/1 Example 3
55
M/M/1 Example 3
56
Homework Chapter VI Homework 6 ส่งที่เลขาภาควิชา วันจันทร์ที่ 29 กรกฎาคม ก่อนเที่ยงเท่านั้น เฉลยจะขึ้น Web วันถัดไป ให้ส่งในกล่องการบ้านเท่านั้น ไม่รับโดยตรง
57
End of Week 7 Next Class Week 10;
August 14&16, 2013 MT Exam; 5 August 2013; สอบ 3 ชั่วโมง 6 ข้อ 60 คะแนน ทำทุกข้อ เก็บ 35 % สมการที่สำคัญจะให้มา ควรทำให้ได้อย่างน้อย 15-20% ของคะแนนเก็บ
58
สมการที่ให้ ในการสอบ MT
59
MT Topics: 6 ข้อ 6 บท 1. Vector, Direction Cosine, Dot/Cross Product and Application in Geometry 2. Matrix Determinant, Inverse 3. Eigenvalue, Eigenvector, Diagonalization 4. Conditional Probability, PDF and Expectation 5. Auto/Cross Correlation, Markov Chain, Global/Detailed Balance Equation 6. M/M/1 Queuing System
งานนำเสนอที่คล้ายกัน
