ลำดับจำกัดและลำดับอนันต์

งานนำเสนอเรื่อง: "ลำดับจำกัดและลำดับอนันต์"— ใบสำเนางานนำเสนอ:

1 ลำดับจำกัดและลำดับอนันต์
ลำดับจำกัด (finite sequences) หมายถึง ลำดับที่มีจำนวนพจน์อยู่เป็นจำนวนๆหนึ่งเช่น 1,2,3,…,100 เป็นลำดับที่มีจำนวนพจน์อยู่ 100 พจน์ 10,20,30,…,100 เป็นลำดับที่มีจำนวนพจน์อยู่ พจน์ 1,2,4,…,1024 เป็นลำดับที่มีจำนวนพจน์อยู่ พจน์

2 ลำดับอนันต์ (infinite sequences) หมายถึง ลำดับที่มีจำนวนพจน์อยู่ไม่จำกัด เช่น
1.1,1.01,1.001,1.0001,…, ,...

3 พิจารณาลำดับ 1.1,1.01,1.001,1.0001,…, ,... เมื่อ n มีค่ามากขึ้นมากๆ หรือใช้สัญกรณ์ว่า ( เราเรียก ว่า n tends to infinity หรือ n มีค่าเป็นอนันต์)

4 โดยส่วนใหญ่จะใช้สัญกรณ์
( เราเรียกว่า limit n tends to infinity of an หรือ ลิมิต n เข้าสู่อนันต์ของ an) แทน

5 ถ้า แล้ว มีค่าใกล้เคียงหรือเท่ากับค่า เราจะกล่าวว่าลำดับ ลู่เข้าสู่ค่า A เมื่อ n มีค่าเป็นอนันต์ converges to A as n tends to infinity. ถ้า แล้ว ไม่มีค่าใกล้เคียงค่าใดเฉพาะ เราจะกล่าวว่าลำดับ ลู่ออก diverges as n tends to infinity.

6 ถ้า และ 1.) 2.) คุณสมบัติของลิมิต n เข้าสู่อนันต์ของลำดับ an และ bn
เมื่อ c เป็นค่าคงตัวใดๆ 1.) 2.)

7 3.) 4.)

8 5.) 6.) เมื่อ

9 7.) 8.) ถ้า 9.) และ ลู่ออกถ้า

10 จงพิจารณาว่าลำดับต่อไปนี้ลู่เข้าหรือลู่ออก ถ้าลู่เข้า
ให้ระบุว่าลู่เข้าสู่ค่าใด

11 อนุกรมจำกัดและอนุกรมอนันต์
อนุกรมจำกัด (finite series) หมายถึง อนุกรมที่มีผลรวมของจำนวนพจน์เป็นจำนวนๆหนึ่งเช่น 1+2+3+…+100 เป็นอนุกรมที่มีจำนวนพจน์อยู่ 100 พจน์ มีค่าเท่ากับ 1+2+4+…+1024 เป็นอนุกรมที่มีจำนวนพจน์อยู่ พจน์ มีค่าเท่ากับ

12 อนุกรมอนันต์ (infinite series) หมายถึง อนุกรมที่มีผลรวมของจำนวนพจน์อยู่ไม่จำกัด เช่น

13 ถ้า แล้ว มีค่าใกล้เคียงหรือเท่ากับค่า เราจะกล่าวว่าอนุกรม ลู่เข้าสู่ค่า A เมื่อ n มีค่าเป็นอนันต์ converges to A as n tends to infinity. Series ถ้า แล้ว ไม่มีค่าใกล้เคียงค่าใดเฉพาะ เราจะกล่าวว่าอนุกรม ลู่ออก Series diverges as n tends to infinity.

14 1+2+3+…+n+... จงพิจารณาว่าอนุกรมต่อไปนี้ลู่เข้าหรือลู่ออก ถ้าลู่เข้า
ให้ระบุว่าลู่เข้าสู่ค่าใด 1+2+3+…+n+...

15 ลิมิตของฟังก์ชัน ถ้าค่าของฟังก์ชัน f(x) มีค่าเข้าใกล้ L เมื่อค่าของ x มีค่าเข้าใกล้ a (โดยที่ x ไม่จำเป็นต้องมีค่าเท่ากับ a) แล้ว จะใช้สัญกรณ์ต่อไปนี้แทนความหมายดังกล่าว ซึ่งเราอ่านว่า “ลิมิตของฟังก์ชัน f(x) มีค่าเท่ากับ L เมื่อ x มีค่าเข้าใกล้ a

16

17

18 จากตัวอย่างที่ผ่านมาพบว่า
หรือ เมื่อ

19 จงหาค่า

20

21

22 จากกราฟเห็นได้ว่า

23 ลิมิตของฟังก์ชันข้างเดียว

24

25 จากตัวอย่างพบว่าฟังก์ชัน
มีค่าเป็น 1 เมื่อ x>0 เราพบว่าเมื่อพิจารณาลิมิตของฟังก์ชันเฉพาะกรณี x>0 หรือ เรียกว่าลิมิตทางขวามือ จะมีค่าเป็น 1

26 จากตัวอย่างพบว่าฟังก์ชัน
มีค่าเป็น -1 เมื่อ x<0 เราพบว่าเมื่อพิจารณาลิมิตของฟังก์ชันเฉพาะกรณี x<0 หรือ เรียกว่าลิมิตทางซ้ายมือ จะมีค่าเป็น -1

27 แต่จากทั้งสองกรณีเราบอกไม่ได้ว่า
หรือ มีค่าเป็นเท่าใด

28 ถ้าค่าของฟังก์ชัน f(x) มีค่าเข้าใกล้ L เมื่อค่าของ x มีค่าเข้าใกล้ a (โดยที่ x > a) แล้ว จะใช้สัญกรณ์ต่อไปนี้แทนความหมายดังกล่าว ซึ่งเราอ่านว่า “ลิมิตของฟังก์ชัน f(x) มีค่าเท่ากับ L เมื่อ x มีค่าเข้าใกล้ a ทางขวามือ

29 ถ้าค่าของฟังก์ชัน f(x) มีค่าเข้าใกล้ L เมื่อค่าของ x มีค่าเข้าใกล้ a (โดยที่ x < a) แล้ว จะใช้สัญกรณ์ต่อไปนี้แทนความหมายดังกล่าว ซึ่งเราอ่านว่า “ลิมิตของฟังก์ชัน f(x) มีค่าเท่ากับ L เมื่อ x มีค่าเข้าใกล้ a ทางซ้ายมือ

30 ทฤษฎีบท ก็ต่อเมื่อ และ สำหรับฟังก์ชัน f(x) ที่นิยามทุกๆ x ในย่านเพื่อนบ้านของ a

31 จากกราฟของฟังก์ชันที่กำหนดให้ต่อไปนี้จงหาค่า
และ f(a)

32 จากกราฟของฟังก์ชันที่กำหนดให้ต่อไปนี้จงหาค่า
และ f(a)

33 จากกราฟของฟังก์ชันที่กำหนดให้ต่อไปนี้จงหาค่า
และ f(a)

34 จากกราฟของฟังก์ชันที่กำหนดให้ต่อไปนี้จงหาค่า
และ f(a)

35 จากกราฟของฟังก์ชันที่กำหนดให้ต่อไปนี้จงหาค่า
และ f(a)

36 จากกราฟของฟังก์ชันที่กำหนดให้ต่อไปนี้จงหาค่า
และ f(a)

37 จากกราฟของฟังก์ชันที่กำหนดให้ต่อไปนี้จงหาค่า
และ f(a) เมื่อ a = 0

38

39 คุณสมบัติของลิมิต x เข้าสู่ a เมื่อ a เป็นจำนวนจริงใดๆ
ถ้า และ 1.) 2.)

40 3.) 4.) 5.) โดยที่

41 6.) 7.) หมายเหตุ คุณสมบัติของลิมิตที่กล่าวมา ก็คงเป็นจริง
สำหรับลิมิตข้างเดียวด้วย

42 จงหาค่าลิมิตต่อไปนี้

43 จงหาค่าลิมิตต่อไปนี้

44 จงหาค่าลิมิตต่อไปนี้

45 จงหาค่าลิมิตต่อไปนี้

46 จงหาค่าลิมิตต่อไปนี้

47 จงหาค่าลิมิตต่อไปนี้