Principal Facts and Ideas Objectives 1. 1.Understand principal properties of central-force problem 2. 2.Solve problems : angular momentum of a single particle.

งานนำเสนอเรื่อง: "Principal Facts and Ideas Objectives 1. 1.Understand principal properties of central-force problem 2. 2.Solve problems : angular momentum of a single particle."— ใบสำเนางานนำเสนอ:

1 Principal Facts and Ideas Objectives 1. 1.Understand principal properties of central-force problem 2. 2.Solve problems : angular momentum of a single particle 3. Understand the solution of the Schr Ö dinger eq. for H-atom, H-like atoms 3. The Electronic States of Atoms. I. Hydrogen Atom and the Simple Obital I. Hydrogen Atom and the Simple Obital Approximation for Multielectron Atoms Approximation for Multielectron Atoms

2 จะพิจารณาระบบที่ประกอบด้วยค่าพลังงานศักย์ขึ้นกับระยะทาง ระหว่างสองอนุภาค เรียกระบบนี้ว่า “central force system” ตัวอย่างเช่น อะตอมไฮโดรเจน.... 3.1 The Hydrogen Atom System hydrogen atom (H) ประกอบด้วย 2 particles : single electron + a nucleus (single proton) (proton, Z=n) He + (1 e, Z = 2) Li 2+ (?)

3 Hydrogen-like atom ประกอบด้วย 2 particles : single electron + a nucleus (proton, Z=n) ภาพที่ 3.1 ภาพที่ 3.1 System consisting of a nucleus and an electron coordinate ของ nucleus : x p, y p, z p coordinate ของ electron : x e, y e, z e zezezeze zpzpzpzp xexexexe yeyeyeye xpxpxpxp ypypypyp r Nucleus (proton) Electron

4 Potential energy ของ Hydrogen-like atom : _ _ _ (3.1) = permittivity of the vacuum (8.854518 x 10 -12 N -1 m -2 ) = distance between the particles _ _ _ (3.2) x, y, z เรียกว่า relative coordinates : x = x e - x p y = y e - y p z = z e - z p _ _ _ (3.3c) _ _ _ (3.3b) _ _ _ (3.3a)

5 coordinates of the center of mass : _ _ _ (3.4b) _ _ _ (3.4c) _ _ _ (3.4a) โดยที่ M = m e + m p potential en. ขึ้นกับค่า r เท่านั้น ( r ระหว่าง 2 อนุภาค ) “central force” apply กับระยะทางของ hydrogen atom

6 The Central - Force Hamiltonian พิจารณาการสร้าง Hamiltonian operator สำหรับ two-particle system Kinetic en. (K) แสดงโดย velocity ของอนุภาค (velocity of center of mass) _ _ _ (3.7) _ _ _ (3.6) = ความเร็วของ proton, electron = ความเร็วของ center of mass และ relative velocity

7 (reduced mass) : ในการสร้าง Hamiltonian operator จะแสดง K.E. ในเทอมของ momenta momenta conjugate to center of mass _ _ _ (3.8)

8 momenta conjugate to relative coordinate _ _ _ (3.9) The classical Harmiltonian operator คือ _ _ (3.10) _ _ (3.10) จาก postulate III และจาก _ _ _ (3.11)

9 สมการ (3.10) แสดงได้ดังนี้ _ _(3.12) _ _ _(3.13) เทอมแรก เทอมที่สอง + สาม = center-of-mass Laplacian = relative Laplacian เทอมแรก “center-of-mass Hamiltonian” เทอมที่สอง + สาม “relative Hamiltonian”

10 center-of-mass terms จะแยกจาก relative terms เขียน time-independent Schr Ö dinger equation : _ _ _(3.14) separate the variables _ _ _(3.15) _ _ _(3.16) _ _ _(3.17)

11 eigen energy E : E = E c + E r _ _ _(3.18) Note : Note : center of mass do not occur in relative Hamiltonian and V depends only on r (separation of variable)

12 Solution of the Relative Schr Ö dinger Eq. การแก้ปัญหาใน Schr Ö dinger eq. จะมีการ transform cartesian spherical polar coordinates coordinates spherical polar coordinatesspherical polar coordinatesspherical polar coordinates ภาพที่ 3.2 ภาพที่ 3.2 Spherical polar coordinatesZX Y r

13 แสดง Laplacian eq. ได้โดย _ _ _(3.19) (Appendix B. Mortimer) relative Schr Ö dinger eq. _ _ _(3.20)

14 จาก angular momentum ( L ) และ _ _ _ (3.21) (3.20) แสดงได้เป็น _ _ _ (3.22) Note : Note : angular momentum ( ) is contained in the Hamiltonian op.

15 solve by separation of variables _ _ _ (3.23) แทนค่า ใน (3.22) และคูณด้วย จะได้ r แยกจาก variables อื่น ( ค่าคงที่ = K ) _ _ _ (3.24) “eigen-value equation”

16 The Angular Factors in the Wave Function จาก (3.24) และ (3.21) _ _ _ (3.24a) separate _ _ _ (3.24b)

17 แทนค่า Y ใน (3.24a) แล้วคูณด้วย _ _ _ (3.24c) ( = constant or -m 2 ) _ _ _ (3.24d) solution คล้ายคลึงกับ one-particle in the box เป็นค่าคงที่ range ระหว่าง 0 ถึง 2¶ จะ continuouse เมื่อ m ต้องเป็นค่า integer โดย

18 solve ได้เป็น angular momentum “quantization” _ _ _ (3.25) _ _ _ (3.24) “eigen-value equation”

19 Ex : Ex : Interpreting a wave function. The wave function of an electron in the lowest energy state of a hydrogen atom is, with a 0 =52.9 pm and r the distance from the nucleus. Calculate the relative probabilities of finding the electron inside a small volume of magnitude 1.0 pm 3 located at (a) the nucleus, (b) a distance a 0 from the nucleus. (a) At the nucleus, r=0, and so

20 (b) At a distance r=a 0 in an arbitary direction,  the ratio of probabilities is 1.0 / 0.14 = 7.1 electron will be found at the nucleus than at the distance a 0 from the nucleus