ดาวน์โหลดงานนำเสนอ
งานนำเสนอกำลังจะดาวน์โหลด โปรดรอ
1
การดำเนินการของลำดับ
2
กำหนด , เป็นลำดับจำนวนจริง ต่างก็เป็นฟังก์ชัน
จากเซตจำนวนเต็มบวกไปยังเซตจำนวนจริง ทำให้การดำเนินการ ทางพีชคณิต บวก, ลบ, คูณ, หารของลำดับย่อมทำได้ตาม บทนิยาม เช่น ย่อมได้ลำดับใหม่ แทนด้วย
3
ทฤษฎีบท 3.4.1 ให้ และ เป็นลำดับ
จำนวนจริง ถ้า = L และ = M แล้วลิมิตของผลบวกลำดับย่อมเท่ากับผลบวกของลิมิต นั่นคือ = L+M
4
การพิสูจน์ ให้ > 0 (จะหาจำนวนเต็มบวก k ที่ทำให้ | ( sn + tn ) – ( L + M ) | < , n k) เนื่องจาก = L ดังนั้นจะมีจำนวนเต็มบวก k1 ที่ทำให้ | sn – L | < , n k1 และ = M ดังนั้นจะมีจำนวนเต็มบวก k2 ที่ทำให้ | tn – M | < , n k2
5
ให้ k = max { k1, k2 } พิจารณา | ( sn + tn ) – ( L + M ) | = | ( sn – L ) + ( tn – M ) | | sn – L | + | tn – M | ดังนั้น | ( sn + tn ) – ( L + M ) | < = , n k นั้นคือ = L + M
6
ทฤษฎีบท 3.4.2 ให้ เป็นลำดับจำนวนจริง
ถ้า c และ = L แล้ว = cL การพิสูจน์ ถ้า c = 0 เห็นได้ชัดว่า = cL ถ้า c 0 ให้ > 0 เนื่องจาก = L ดังนั้นจะมีจำนวนเต็มบวก k ที่ทำให้ | sn – L | < , n k
7
| c || sn – L | < , n k ดังนั้น | csn – cL | < , n k นั้นคือ = cL
8
ทฤษฎีบท 3.4.3 ให้ และ เป็นลำดับจำนวนจริง
ถ้า = L และ = M แล้ว = L - M การพิสูจน์ จาก = M โดยทฤษฎีบท 3.4.2 = - M โดยทฤษฎีบท 3.4.1, = = L – M
9
บทแทรก 3.4.4 ให้ และ เป็นลำดับจำนวนจริง
ถ้า sn tn สำหรับ n และ = L , = M แล้ว L M การพิสูจน์ เนื่องจาก tn sn , n ดังนั้น tn – sn 0 จากทฤษฎีบท ทำให้ ลู่เข้าสู่ค่าที่มากกว่าหรือเท่ากับ 0
10
และ = M – L 0 นั่นคือ L M
11
ทฤษฎีบท 3.4.5 ให้ และ เป็นลำดับจำนวนจริง
ถ้า = L และ = M แล้ว = LM การพิสูจน์ ให้ > 0 (จะหาจำนวนเต็มบวก k ที่ทำให้ | ( sn tn ) – ( LM ) | < , n k) พิจารณา ( sn tn ) – ( LM ) = ( sn tn ) – ( L tn ) + ( L tn ) – ( LM ) = tn( sn – L ) + L( tn – M ) ดังนั้น | ( sn tn ) – ( LM ) | | tn|| sn – L | + | L || tn – M |
12
เป็นลำดับลู่เข้าจึงเป็นลำดับมีขอบเขต จะมี P1 > 0 ที่ทำให้ | tn | P1 , n
ให้ P = max { P1, | L | } ดังนั้น P > 0 | ( sn tn ) – ( LM ) | P | sn – L | + P | tn – M | จาก > 0, P > 0 ดังนั้น เป็นจำนวนจริงบวก
13
เนื่องจาก tn = M จะมีจำนวนเต็มบวก k1 ที่ทำให้
| tn – M | < , n k1 เนื่องจาก sn = L จะมีจำนวนเต็มบวก k2 ที่ทำให้ | sn – L | < , n k2 ให้ k = max { k1, k2 } ดังนั้น | ( sn tn ) – ( LM ) | < P P = , n k นั้นคือ = LM
14
บทตั้ง 3.4.6 ให้ เป็นลำดับจำนวนจริง
ถ้า = M และ M 0 แล้ว = การพิสูจน์ ให้ > 0 (จะหาจำนวนเต็มบวก k ที่ทำให้ | | < , n k) เนื่องจาก = M และ > 0 จะมีจำนวนเต็มบวก k1 ที่ทำให้ | tn – M | < , n k1 แต่ | | tn | – | M | | < | tn – M |
15
ทำให้ | | tn | – | M | | < , n k1
และจะมีจำนวนเต็มบวก k2 ที่ทำให้ | tn – M | < , n k2 เลือก k = max { k1, k2 } | | = = | tn – M | < = , n k นั้นคือ =
16
ทฤษฎีบท 3.4.7 ให้ และ เป็นลำดับจำนวนจริง
ถ้า = L และ = M โดยที่ M 0 แล้ว = การพิสูจน์ เนื่องจาก = M และ M 0 โดยทฤษฎีบท จะได้ว่า =
17
พิจารณา = โดยทฤษฎีบท จะได้ = L =
18
การดำเนินการของลำดับลู่ออก
19
ให้ = เป็นลำดับลู่ออก = เป็นลำดับลู่ออก ผลบวกของลำดับทั้งสอง = เป็นลำดับลู่เข้า หรือ
20
ให้ = เป็นลำดับลู่ออก = เป็นลำดับลู่ออก ผลบวกของลำดับทั้งสอง = เป็นลำดับลู่ออก
21
ทฤษฎีบท ให้ และ เป็นลำดับของจำนวนจริงที่ลู่ออกสู่บวกอนันต์ แล้วผลบวก และผลคูณของลำดับทั้งสองจะเป็นลำดับลู่ออกสู่บวกอนันต์ การพิสูจน์ ให้ M > 0 เนื่องจาก ลู่ออกสู่บวกอนันต์ เลือกจำนวนเต็มบวก k1 ที่ทำให้ sn > M , n k1 จาก ลู่ออกสู่บวกอนันต์ เลือกจำนวนเต็มบวก k2 ที่ทำให้ tn > 1 , n k2
22
ให้ k = max { k1 , k2 } ดังนั้น sn + tn > M + 1 > M , n k และ sn tn > M , n k นั้นคือ ลู่ออกสู่บวกอนันต์ และ ลู่ออกสู่บวกอนันต์
23
ทฤษฎีบท 3.4.9 ให้ และ เป็นลำดับ
จำนวนจริง ที่ เป็นลำดับลู่ออกสู่บวกอนันต์ และ เป็นลำดับที่มีขอบเขต แล้ว เป็นลำดับที่ลู่ออกสู่บวกอนันต์
24
การพิสูจน์ ให้ M > 0 เนื่องจาก เป็นลำดับที่มีขอบเขต จะมี Q > 0 ที่ทำให้ | tn | Q , n และจาก เป็นลำดับลู่ออกสู่บวกอนันต์ จะมีจำนวนเต็มบวก k ที่ทำให้ sn > M + Q , n k เนื่องจาก sn + tn sn – | tn | ดังนั้น sn + tn > ( M + Q ) – Q = M , n k นั่นคือ เป็นลำดับที่ลู่ออกสู่บวกอนันต์
25
1, 2, 1, 2, 1, 2, 1, … เป็นลำดับแกว่งกวัด 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, … เป็นลำดับแกว่งกวัด ผลบวกของลำดับทั้งสองคือ 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, … ผลบวกของลำดับแกว่งกวัดอาจเป็นลำดับลู่ออกสู่ลบอนันต์ เช่น 1, –2, 1, –4, 1, –6, 1, … เป็นลำดับแกว่งกวัด –2, 0, –4, 0, –6, 0, –8, … เป็นลำดับแกว่งกวัด ผลบวกของลำดับทั้งสองคือ –1, –2, –3, –4, –5, –6, –7, …
งานนำเสนอที่คล้ายกัน
© 2024 SlidePlayer.in.th Inc.
All rights reserved.