ดาวน์โหลดงานนำเสนอ
งานนำเสนอกำลังจะดาวน์โหลด โปรดรอ
1
3 The Discrete-Time Fourier Analysis การวิเคราะห์ฟูริเยร์แบบไม่ต่อเนื่องทางเวลา
ผศ.ดร. พีระพล ยุวภูษิตานนท์ ภาควิชา วิศวกรรมอิเล็กทรอนิกส์ CESdSP EEET0485 Digital Signal Processing Asst. Prof. Dr. P.Yuvapoositanon
2
เป้าหมาย นศ เรียนรู้การแปลงฟูริเยร์แบบไม่ต่อเนื่องทางเวลา (The Discrete-Time Fourier Transform; DTFT) (DTFT แตกต่างกับ Discrete Fourier Transform (DFT) ในบทที่ 5) นศ เรียนรู้ทฤษฎีการสุ่มสัญญาณ นศ รู้จักความหมายของผลตอบสนองความถี่ CESdSP EEET0485 Digital Signal Processing Asst. Prof. Dr. P.Yuvapoositanon
3
ทำไมจึงต้องแปลง DTFT ? เราทราบว่า องค์ประกอบทางการประสานนั้น ซึ่งคือ “หน่วงเวลา” และการ “สเกลค่า” ซึ่งมีประโยชน์ในการวิเคราะห์ ระบบสำหรับสัญญาณอินพุท หลากรูปแบบ แต่เมื่อระบบเป็น linear shift-invariant (LSI) เราสามารถจะใช้การแปลงฟูริเยร์แบบไม่ต่อเนื่องทางเวลา (Discrete-time Fourier Transform; DTFT)เพื่อทำให้การวิเคราะห์ง่ายขึ้นกว่า การทำConvolution และผลจากการแปลง DTFT ทำให้ทราบ “ผลตอบสนองความถี่ ของระบบ” CESdSP EEET0485 Digital Signal Processing Asst. Prof. Dr. P.Yuvapoositanon
4
The Discrete-Time Fourier Transform
การแปลงฟูริเยร์ แบบไม่ต่อเนื่องทางเวลา DTFT ของ x(n) คือ ความถี่ดิจิตอลเชิงมุม หมด ความหมายของการเป็น ความถี่ ทำนองเดียวกับ n ที่ หมดความหมาย ในการเป็น “เวลา”. = ความถี่ดิจิตอลหน่วยเป็น เรเดียน ผลการแปลงในโดเมนความถี่ดิจิตอลนี้ สามารถแสดงในรูป วงกลมหนึ่งหน่วย CESdSP EEET0485 Digital Signal Processing Asst. Prof. Dr. P.Yuvapoositanon
5
เรื่องของวงกลมหนึ่งหน่วย (unit circle)
แกนจินตภาพ 1. วงรอบของความถี่มีค่าซ้ำทุกๆ เรเดียน แกนจริง 2. ความถี่ดิจิตอลมีค่าในช่วง เรเดียน CESdSP EEET0485 Digital Signal Processing Asst. Prof. Dr. P.Yuvapoositanon
6
1.วงรอบของความถี่มีค่าซ้ำทุกๆ เรเดียน
1.วงรอบของความถี่มีค่าซ้ำทุกๆ เรเดียน n=2,10,.. n=1,9,.. n=0,8,.. CESdSP EEET0485 Digital Signal Processing Asst. Prof. Dr. P.Yuvapoositanon
7
2. ความถี่ดิจิตอลมีค่าในช่วง
หาก เช่น ตัวอย่าง จะให้ผลลัพธ์ซ้ำกับค่าในช่วง คือ CESdSP EEET0485 Digital Signal Processing Asst. Prof. Dr. P.Yuvapoositanon
8
Unit Step Function ยูนิทสเตปฟังก์ชัน 1 n CESdSP
CESdSP EEET0485 Digital Signal Processing Asst. Prof. Dr. P.Yuvapoositanon
9
ตัวอย่างการแปลง DTFT I
จงหาการแปลง DTFT ของ x(n)=0.5nu(n) วิธีทำ ผลรวมเรขาคณิตแบบไม่จำกัด (Infinite geometric sum): CESdSP EEET0485 Digital Signal Processing Asst. Prof. Dr. P.Yuvapoositanon
10
ตัวอย่างการแปลง DTFT II
จงหาการแปลง DTFT ของ x(n)=0.5 เมื่อ และเป็น 0 เมื่อ n เป็นค่าอื่นๆ วิธีทำ ผลรวมเรขาคณิตแบบจำกัด (Finite geometric sum): CESdSP EEET0485 Digital Signal Processing Asst. Prof. Dr. P.Yuvapoositanon
11
MATLAB simulation หาก x(n) มีค่าไม่จำกัด เราจะใช้
MATLAB หา DTFT ของ x(n) โดยตรงไม่ได้ แต่เราจะใช้สมการที่ได้จาก power series >>w = [0:1:500]*pi/500; % [0, pi] axis divided into 501 points. >> X = exp(j*w) ./ (exp(j*w) - 0.5*ones(1,501)); exp_3_1.eps CESdSP EEET0485 Digital Signal Processing Asst. Prof. Dr. P.Yuvapoositanon
12
ตัวอย่างการแปลง DTFT III
วิธีทำ สังเกต เครื่องหมาย ว่า n=0 อยู่ ณ ตำแหน่งของค่า 2 CESdSP EEET0485 Digital Signal Processing Asst. Prof. Dr. P.Yuvapoositanon
13
หากอินพุทมีจำนวนจำกัด เราใช้ MATLAB คำนวณ DTFT ได้โดยตรง
M ช่วง CESdSP EEET0485 Digital Signal Processing Asst. Prof. Dr. P.Yuvapoositanon
14
จาก เรากำหนดการหา ค่า n ในช่วง -1 ถึง 3 เราหา DTFT ของ x(n) ได้จาก
MATLAB code >>n = -1:3; x = 1:5; % sequence x(n) >> k = 0:500; w = (pi/500)*k; % [0, pi] axis divided into 501 >> X = x * (exp(-j*pi/500)) .^ (n'*k); % DTFT using matrix-vector CESdSP EEET0485 Digital Signal Processing Asst. Prof. Dr. P.Yuvapoositanon
15
ผลตอบสนองความถี่ของระบบ
เมื่อทำการประสานจะได้ การแปลงฟูริเยร์ที่ความถี่ CESdSP EEET0485 Digital Signal Processing Asst. Prof. Dr. P.Yuvapoositanon
16
เป็นผลตอบสนองความถี่ของระบบ h(n)
ใช้หาค่าของเอาท์พุท y(n) หรือเขียนในรูปโดเมนความถี่ CESdSP EEET0485 Digital Signal Processing Asst. Prof. Dr. P.Yuvapoositanon
17
Frequency Response from Poles and Zeros
ขนาดผลตอบสนองความถี่เป็น ขนาดจากซีโร่ ไปยังวงกลมหนึ่งหน่วย หารด้วย ขนาดจากโพลไปยังวงกลมหนึ่งหน่วย ณ ความถี่หนึ่ง B A ขนาดที่ CESdSP EEET0485 Digital Signal Processing Asst. Prof. Dr. P.Yuvapoositanon
18
Example for Frequency Response
สมมติว่า โพล = .8 ซีโร่ =0 ความถี่ต่ำ ความถี่กลางๆ ความถี่สูง B B A A A B B > A B = A B < A = มาก = กลางๆ = น้อย CESdSP EEET0485 Digital Signal Processing Asst. Prof. Dr. P.Yuvapoositanon
19
Plot of Magnitude สูง ต่ำ กลาง B A CESdSP
EEET0485 Digital Signal Processing Asst. Prof. Dr. P.Yuvapoositanon
20
ตัวอย่าง Example หาผลลัพท์ของระบบ โดยมีอินพุทเป็น ลำดับ exponential ที่ ได้ ดังนั้น CESdSP EEET0485 Digital Signal Processing Asst. Prof. Dr. P.Yuvapoositanon
21
หาผลตอบสนองของ h(n) แสดงว่า zero มีตัวเดียว คือ z1=0 Pole มี p1=1/2
CESdSP EEET0485 Digital Signal Processing Asst. Prof. Dr. P.Yuvapoositanon
22
การหาผลตอบสนองความถี่จากสมการผลต่าง (Frequency Response from Difference Equations)
ให้ ดังนั้น ตัด CESdSP EEET0485 Digital Signal Processing Asst. Prof. Dr. P.Yuvapoositanon
23
มีระบบ LSI ที่อธิบายได้ด้วย สมการผลต่าง ของอินพุทและเอาท์พุท
ตัวอย่าง มีระบบ LSI ที่อธิบายได้ด้วย สมการผลต่าง ของอินพุทและเอาท์พุท จงหา ผลตอบสนองและสัญญาณ y(n) เมื่อ อินพุทเป็น วิธีทำ ผลตอบสนองความถี่ CESdSP EEET0485 Digital Signal Processing Asst. Prof. Dr. P.Yuvapoositanon
24
จึงได้จากการแปลง “เฟสเซอร์”
ที่ ดังนั้น จึงได้จากการแปลง “เฟสเซอร์” ขนาด เฟส CESdSP EEET0485 Digital Signal Processing Asst. Prof. Dr. P.Yuvapoositanon
25
ทดสอบ ค่า y(n) ที่คำนวณ
4.092 ต่างเฟส =3.42 CESdSP EEET0485 Digital Signal Processing Asst. Prof. Dr. P.Yuvapoositanon
26
การสุ่มสัญญาณ (Sampling)
ทฤษฎีการสุ่มกล่าวว่า “ความถี่ของสัญญาณสุ่มจะต้องมากกว่า 2 เท่าของ ความถี่สูงสุดของสัญญาณ ( fmax)” หากความถี่สุ่ม = fs ดังนั้น ... สัญญาณสุ่ม CESdSP EEET0485 Digital Signal Processing Asst. Prof. Dr. P.Yuvapoositanon
27
สเปคตรัม (Spectrum) และ ผลของการสุ่มสัญญาณ
สเปคตรัมเป็นการแสดงค่าการกระจายของสัญญาณในเชิงความถี่ ผลของการสุ่มทำให้เกิด สเปคตรัมแบบเป็นคาบ (periodic) ความถี่ fmax หรือ f0 เรียกว่า ความถี่ไนควิสต์ (Nyquist Frequency) ความถี่สุ่มต่ำสุดที่จะไม่เกิด aliasing จะเรียกว่า อัตราไนควิสต์ (Nyquist rate) สเปคตรัม ความถี่ = Nyquist rate CESdSP EEET0485 Digital Signal Processing Asst. Prof. Dr. P.Yuvapoositanon
28
อะไรคือแอลิแอส (Aliasing) ?
การเกิดแอลิแอส ในทาง dsp คือ “การเกิดการซ้อนทับของสเปคตรัม” สาเหตุคือ การที่ความถี่สุ่มน้อยกว่าสองเท่าของความถี่ไนควิสต์ หรือ ทางแก้: 1 ใช้ Anti-aliasing filter ซึ่งเป็น วงจรกรองต่ำผ่าน (Low pass filter) 2 ทำ Oversampling แอลิแอส CESdSP EEET0485 Digital Signal Processing Asst. Prof. Dr. P.Yuvapoositanon
29
ทฤษฎีการสุ่มและคืนรูปสัญญาณ (Sampling and Reconstruction)
ผลตอบสนองของสัญญาณต่อเนื่องทางเวลา xa(t) คือ = ความถี่แอนาลอก เป็น เรเดียนต่อวินาที หาได้จากการแปลงฟูริเยร์ของ แปลงฟูริเยร์ CESdSP EEET0485 Digital Signal Processing Asst. Prof. Dr. P.Yuvapoositanon
30
ความถี่แอนาลอกกับ ความถี่ดิจิตอล สัมพันธ์กันดังนี้
ผลของการสุ่ม ทำให้การแปลงฟูริเยร์เป็น รายคาบ (periodic) แปลงฟูเรียร์ สัญญาณสุ่ม มีความถี่= 1/T CESdSP EEET0485 Digital Signal Processing Asst. Prof. Dr. P.Yuvapoositanon
31
ทฤษฎีการสุ่ม สัญญาณสุ่ม: สัญญาณแอนะลอกที่ถูกสุ่ม:
แปลง อิมพัลส์ เป็น สัญญาณ DT สัญญาณสุ่ม: สัญญาณแอนะลอกที่ถูกสุ่ม: สัญญาณไม่ต่อเนื่อง (DT): CESdSP EEET0485 Digital Signal Processing Asst. Prof. Dr. P.Yuvapoositanon
32
ทฤษฎีการสุ่ม (ต่อ) การแปลงฟูริเยร์สำหรับสัญญาณแอนาลอก xa(t)
เมื่อ คือ ความถี่แอนาลอก หน่วยเรเดียนต่อวินาที (rad/sec) ทำการสุ่ม สัญญาณ แอนาลอก ด้วย ความถี่ T วินาที และแปลงฟูริเยร์ ก็ได้เป็น สัญญาณไม่ต่อเนื่องทางเวลา CESdSP EEET0485 Digital Signal Processing Asst. Prof. Dr. P.Yuvapoositanon
33
สมการแอลิแอส (Aliasing formula)
การแปลง DTFT ของ x(n) ได้เป็น เป็น ผลรวมของ ที่ต่างความถี่ สมการแอลิแอส (aliasing formula) CESdSP EEET0485 Digital Signal Processing Asst. Prof. Dr. P.Yuvapoositanon
34
เมื่อช่วงเวลาในการสุ่ม
เกิด แอลิแอสและไม่สามารถคืนรูปสัญญาณได้ CESdSP EEET0485 Digital Signal Processing Asst. Prof. Dr. P.Yuvapoositanon
35
แบนด์วิทของสัญญาณที่ใช้ได้ (คือไม่เกิดแอลิแอส)
ความถี่ในการสุ่มสัญญาณ Hertz แบนด์วิทมากสุดของสัญญาณ (ความถี่ไนควิสต์) Hertz สัญญาณสุ่มต้อง มีค่ามากกว่า แบนด์วิท 2 เท่า CESdSP EEET0485 Digital Signal Processing Asst. Prof. Dr. P.Yuvapoositanon
36
ตัวอย่าง fs = 1 kHz x(n) y(n) x(t) ตัวสุ่มสัญญาณ
DSP chip TMS320 ตัวสุ่มสัญญาณ มีสัญญาณ x(t) ถูกสุ่มที่ fs = 1kHz โดย จากความถี่แอนาลอกของ x(t) แปลงเป็นความถี่ดิจิตอล เรเดียน ตัดให้อยู่ในย่าน CESdSP EEET0485 Digital Signal Processing Asst. Prof. Dr. P.Yuvapoositanon
37
ทำให้ได้ สัญญาณไม่ต่อเนื่องทางเวลา x(n) เป็น
แต่เนื่องด้วยความเป็น “คาบ” ทุกๆ มีสัญญาณความถี่แอนาลอกทุกๆ เท่าของ ที่ให้สัญญาณแบบเดียวกับ x(n) f1= 250 Hz f2= 1250 Hz f3 =2250 Hz และต่อเนื่อง ไปเรื่อยๆ CESdSP EEET0485 Digital Signal Processing Asst. Prof. Dr. P.Yuvapoositanon
38
fs = 1 kHz 2250Hz 1250 Hz 250 Hz dsp_3_7.jpg CESdSP
EEET0485 Digital Signal Processing Asst. Prof. Dr. P.Yuvapoositanon
39
สเปคตรัม เมื่อความถี่สุ่ม Fs= 1 KHz
จะเกิดความถี่เงาหรือแอลิแอสขึ้น ที่ 250 และ 2250 CESdSP EEET0485 Digital Signal Processing Asst. Prof. Dr. P.Yuvapoositanon
40
เมื่อ fs มากขึ้นแต่ยังน้อยกว่า 2 เท่าของ 1250 Hz
เมื่อ fs =2 kHz จะได้ มีสัญญาณหลายความถี่แอนาลอกที่ให้สัญญาณแบบเดียวกับ x(n) f1= 250 Hz f2= 2250 Hz f3 =4250 Hz ยังคงเกิด แอลิแอส CESdSP EEET0485 Digital Signal Processing Asst. Prof. Dr. P.Yuvapoositanon
41
fs=2 kHz 4250Hz 2250 Hz 250 Hz dsp_3_6.jpg CESdSP
EEET0485 Digital Signal Processing Asst. Prof. Dr. P.Yuvapoositanon
42
สเปคตรัม เมื่อความถี่สุ่ม Fs= 2 KHz
CESdSP EEET0485 Digital Signal Processing Asst. Prof. Dr. P.Yuvapoositanon
43
หาก fs = 2500 Hz (2 เท่าของ 1250 Hz) f1= 1250 Hz f2= 2500 Hz
CESdSP EEET0485 Digital Signal Processing Asst. Prof. Dr. P.Yuvapoositanon
44
fs = 2500 Hz 6250Hz 2500 Hz 1250 Hz dsp_3_8.jpg CESdSP
EEET0485 Digital Signal Processing Asst. Prof. Dr. P.Yuvapoositanon
45
สเปคตรัมที่ความถี่สุ่มต่างๆ
x(t) fs= 1kHz 250Hz fs 2250Hz ความถี่ x(t) fs= 2kHz ความถี่ 250Hz fs 2250Hz fs= 2.5kHz x(t) 1250Hz fs CESdSP EEET0485 Digital Signal Processing Asst. Prof. Dr. P.Yuvapoositanon
46
ตัดสัญญาณ fs ด้วย Low pass filter
fs= 2.5kHz x(t) ความถี่ 1250Hz fs สามารถคืนรูปสัญญาณได้ fs= 2.5kHz x(t) ความถี่ 1250Hz fs CESdSP EEET0485 Digital Signal Processing Asst. Prof. Dr. P.Yuvapoositanon
47
การคืนรูปสัญญาณ (Reconstruction)
ใช้วงจรกรองต่ำผ่านอุดมคติ กรองต่ำผ่าน CESdSP EEET0485 Digital Signal Processing Asst. Prof. Dr. P.Yuvapoositanon
48
จากเรื่องการสุ่มเราได้
แปลงกลับเป็น อิมพัลส์ กรองต่ำผ่าน อุดมคติ ตัวแปลง D/C อุดมคติ CESdSP EEET0485 Digital Signal Processing Asst. Prof. Dr. P.Yuvapoositanon
49
ผลตอบสนองของวงจรกรองต่ำผ่านอุดมคติ
แปลงผกผันฟูเรียร์ การคืนรูปสัญญาณ สูตรการทำ Interpolation CESdSP EEET0485 Digital Signal Processing Asst. Prof. Dr. P.Yuvapoositanon
50
แต่ละจุดของ x(n) ถูกคูณด้วย sinc function ที่มีการเลื่อน ตำแหน่ง
dsp_3_1.jpg แต่ละจุดของ x(n) ถูกคูณด้วย sinc function ที่มีการเลื่อน ตำแหน่ง dsp_3_2.jpg CESdSP EEET0485 Digital Signal Processing Asst. Prof. Dr. P.Yuvapoositanon
51
ผลการคูณของแต่ละตำแหน่ง
CESdSP EEET0485 Digital Signal Processing Asst. Prof. Dr. P.Yuvapoositanon
52
ผลรวมของการทำ interpolation คือสัญญาณคืนรูป
dsp_3_9.jpg CESdSP EEET0485 Digital Signal Processing Asst. Prof. Dr. P.Yuvapoositanon
53
สรุป การแปลง DTFT ทำให้ หาผลตอบสนองความถี่ของระบบได้
การสุ่มสัญญาณทำให้เกิดผลตอบสนองความถี่เป็นรายคาบ ความถี่การสุ่มจะต้องมากกว่า 2 เท่า ของ ความถี่แอนาลอกสูงสุด โดยคืนรูปสัญญาณได้โดยการใช้วงจรกรองต่ำผ่านกับสัญญาณไม่ต่อเนื่องทางเวลา CESdSP EEET0485 Digital Signal Processing Asst. Prof. Dr. P.Yuvapoositanon
งานนำเสนอที่คล้ายกัน
