อินทิกรัลตามเส้น เป็นการหาปริพันธ์ของฟังก์ชันบน [a,b] จะศึกษาเรื่อง

งานนำเสนอเรื่อง: "อินทิกรัลตามเส้น เป็นการหาปริพันธ์ของฟังก์ชันบน [a,b] จะศึกษาเรื่อง"— ใบสำเนางานนำเสนอ:

1 อินทิกรัลตามเส้น เป็นการหาปริพันธ์ของฟังก์ชันบน [a,b] จะศึกษาเรื่อง
เป็นการหาปริพันธ์ของฟังก์ชันไปตามเส้นโค้ง C อินทิกรัลตามเส้นโค้ง

2 การหาค่าอินทิกรัลตามเส้น
(4,0) (0,4) จงหาค่าอินทิกรัลตามเส้นของ ไปตามเส้นโค้ง C ดังรูป วิธีทำ ให้เปลี่ยนค่าอินทิกรัลตามเส้นให้อยู่ในรูปการหาปริพันธ์แบบจำกัดเขต

3 การหาค่าอินทิกรัลตามเส้น
1) หาสมการพาราเมทริกซ์ของเส้นโค้ง C : 2) กำหนดให้ 3) แทนค่า x และ y ด้วย f(t) และ g(t)

4 หลักการในการหาค่าอินทิกรัลตามเส้น
1. แบ่ง [a,b] ออกเป็นหลายๆช่วง 2. พิจารณา [ti-1,ti] 3. กำหนดให้ xi=x(ti) , yi=y(ti) 4. จะได้ว่า Pi(xi, yi) แบ่งเส้นโค้ง C ออกเป็น n ส่วนโค้งที่แต่ละอันมีความกว้าง ∆s1, ∆s2, …, ∆sn.

5 หลักการในการหาค่าอินทิกรัลตามเส้น
5. เลือกจุด Pi*(xi*, yi*) ในส่วน โค้งที่ i ซึ่งสอดคล้องกับจุด ti* ใน [ti-1, ti]

6 หลักการในการหาค่าอินทิกรัลตามเส้น
6. คำนวณค่าฟังก์ชัน f ที่จุด (xi*, yi*) 7. จากนั้นคูณด้วยความยาวส่วนโค้ง ∆si 8. นำผลรวม ของทุกชิ้น มารวมกัน(คล้ายกับผลรวมรีมันน์) 9. เทคลิมิตของผลรวม จะได้ผลลัพธ์เป็นการหา ค่าอินทิกรัลตามปกติ

7 หลักการในการหาค่าอินทิกรัลตามเส้น
เนื่องจากความยาวของเส้นโค้ง C หาได้จาก ดังนั้นจะได้ว่า

8 ตัวอย่าง จงหาค่าของ เมื่อ C คือครึ่งบนของวงกลม x2 + y2 = 1

9 วิธีทำ เนื่องจากเส้นโค้ง C เป็นสมการวงกลมรัศมี 1 หน่วย กำหนดให้
x = cost และ y = sint จะได้ว่า และ

10 วิธีทำ (ต่อ) นั่นคือ

11 วิธีทำ (ต่อ)

12 ตัวอย่าง จงหาค่าของ เมื่อ C คือส่วนโค้งที่ประกอบด้วย C1 : y = x2 จากจุด (0,0) ไปยัง (1,1) และ C2 : เส้นตรงจากจุด (1,1) ไปยัง (1,2) ดังรูป

13 วิธีทำ เนื่องจากเส้นโค้ง C1 เป็นสมการพาราโบลา
กำหนดให้ x = t และ y = t2 จะได้ว่า และ

14 วิธีทำ นั่นคือ

15 วิธีทำ เนื่องจากเส้นโค้ง C2 เป็นสมการเส้นตรง กำหนดให้ x = 1 และ y = t
จะได้ว่า และ

16 วิธีทำ นั่นคือ

17 การกำหนดสัญลักษณ์ หรือ

18 ตัวอย่าง จงหาค่าของ ไปตามเส้นโค้ง C ระหว่างจุด (-1,2) และ (2,5) 2) 1)
(2,2) (2,5) (-1,2) (2,0) (2,5) (-1,0)

19 ตัวอย่าง (2,8) (-1,-1) จงหาค่าของ เมื่อกำหนดเส้นโค้ง C คือ

20 ตัวอย่าง จงหาค่าของ (4,0) (0,4) ไปตามเส้นโค้ง C ดังรูป

21 พิจารณาเส้นโค้ง C คือเส้นโค้งที่กำหนดโดย C is smooth
C is piecewise smooth

22 พิจารณาเส้นโค้ง C คือเส้นโค้งที่กำหนดโดย C เป็นเส้นโค้งปิด
ไม่มีเส้นตัดกันภายใน

23 ตัวอย่าง จงหาค่าของ เมื่อ C คือเส้นโค้งที่กำหนดดังรูป

24 ซึ่งการหาค่าอินทิกรัลตามเส้น หาก C เป็นเส้นโค้งปิดอย่างง่ายสามารถใช้ทฤษฎีบทที่สำคัญในการหาค่าอินทิกรัลได้เรียกว่า ทฤษฏีบทของกรีน (Green Theorem) จะเรียนในคาบต่อไป